微分幾何学における多様体の種類
数学 の一分野である 微分幾何 学において 、 シンプレクティック多様体 とは、シンプレクティック形式 と呼ばれる 閉じた 非退化 微分 2 形式 を備えた 滑らかな多様体 である 。シンプレクティック多様体の研究は、 シンプレクティック幾何学または シンプレクティック位相幾何学と呼ばれる。シンプレクティック多様体は、多様体の 余接束 として、 古典力学 および 解析力学 の抽象的な定式化において自然に生じる 。例えば、この分野の主要な動機の 1 つである古典力学の ハミルトン定式化 では、システムのすべての可能な構成の集合が多様体としてモデル化され、この多様体の余接束が システムの
位相空間を記述する。
ま
{\displaystyle M}
ω
{\displaystyle \omega}
モチベーション シンプレクティック多様体は古典力学 から生じ 、特に、 閉系の 位相空間の一般化である。 [1] ハミルトン方程式によって 微分方程式 の集合から系の時間発展を導くことができるの と同様に、シンプレクティック形式によって ハミルトン関数の 微分から系の流れを記述する ベクトル場 を得ることができるはずである 。 [2]したがって、 接多様体 から 余接多様体 への 線型写像 、またはそれと同等の の要素が必要となる。 を の断面 と すると、 が非退化で ある という要件は、すべての微分に対して と なる一意の対応するベクトル場が存在すること を保証する。 ハミルトニアンはフロー ライン に沿って一定であることが望まれるため、 となるはずであり 、これは が 交代的 であり、したがって 2 形式であることを意味する。最後に、 は フローラインの下で変化しない、すなわち に 沿った の リー微分 がゼロであるという要件を課す 。 カルタンの公式 を適用すると 、次のようになります (ここで は 内積 )。
d H
{\displaystyle dH}
H
{\displaystyle H}
T ま →
T
∗
ま
{\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}
T ま
{\displaystyle TM}
T
∗
ま
{\displaystyle T^{*}M}
T
∗
ま ⊗
T
∗
ま
{\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}
ω
{\displaystyle \omega}
T
∗
ま ⊗
T
∗
ま
{\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}
ω
{\displaystyle \omega}
d H
{\displaystyle dH}
五
H
{\displaystyle V_{H}}
d H = ω （
五
H
、 ⋅ ）
{\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}
ω （
五
H
、
五
H
） = d H （
五
H
） = 0
{\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}
ω
{\displaystyle \omega}
ω
{\displaystyle \omega}
ω
{\displaystyle \omega}
五
H
{\displaystyle V_{H}}
ι
バツ
{\displaystyle \iota_{X}}
ら
五
H
（ ω ） = 0 ─
d
（
ι
五
H
ω ） +
ι
五
H
d
ω =
d
（
d
H ） +
d
ω （
五
H
） =
d
ω （
五
H
） = 0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}
したがって、この議論を、対応 する関数が議論が適用される各点で接空間を張るような異なる滑らかな関数に対して繰り返すと、 任意の滑らかな関数に対応する の流れに沿ったリー導関数がゼロであるという要件は、 ω が 閉じて いる必要がある という要件と同等であることがわかります 。
H
{\displaystyle H}
五
H
{\displaystyle V_{H}}
五
H
{\displaystyle V_{H}}
H
{\displaystyle H}
意味 滑らかな 多様体上の シンプレクティック形式は 、 閉じた非退化微分 2 形式 です。 [3] [4] ここで、非退化とは、すべての点 に対して、 によって定義される 接空間 上の歪対称ペアリングが 非退化であることを意味します。つまり、 すべての に対して と なるようなが存在する場合 、 となります 。奇数次元では 歪対称行列は 常に特異であるため、 が非退化である という要件は、 が 偶数次元であることを意味します。 [3] [4] 閉じた条件は、の 外微分 が 0 であることを意味します。 シンプレクティック多様体は 、 が滑らかな多様 体であり がシンプレクティック形式である ペアです 。 にシンプレクティック形式を割り当てることを、 シン プレクティック構造 を 与えると言います 。
ま
{\displaystyle M}
ω
{\displaystyle \omega}
p ∈ ま
{\displaystyle p\in M}
T
p
ま
{\displaystyle T_{p}M}
ω
{\displaystyle \omega}
バツ ∈
T
p
ま
{\displaystyle X\in T_{p}M}
ω （ バツ 、 はい ） = 0
{\displaystyle \omega (X,Y)=0}
はい ∈
T
p
ま
{\displaystyle Y\in T_{p}M}
バツ = 0
{\displaystyle X=0}
ω
{\displaystyle \omega}
ま
{\displaystyle M}
ω
{\displaystyle \omega}
（ ま 、 ω ）
{\displaystyle (M,\omega )}
ま
{\displaystyle M}
ω
{\displaystyle \omega}
ま
{\displaystyle M}
ま
{\displaystyle M}
例
シンプレクティックベクトル空間 を の基底とします。 この基底に基づいて シンプレクティック形式 ω を 次のように定義します。
{
ヴ
1
、 … 、
ヴ
2 ん
}
{\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}
R
2 ん
。
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}
ω （
ヴ
私
、
ヴ
じゅう
） =
{
1
じゅう − 私 = ん
と
1 ⩽ 私 ⩽ ん
− 1
私 − じゅう = ん
と
1 ⩽ じゅう ⩽ ん
0
さもないと
{\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
この場合、シンプレクティック形式は単純な 2次形式 に簡約されます。I n が n × n 単位行列を表す場合 、 この 2 次 形式 の 行列 Ω は 2 n × 2 n ブロック行列 で与えられます。
Ω =
（
0
私
ん
−
私
ん
0
）
。
{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}
余接束 を次元 の滑らかな多様体と する。このとき、 余接束 の全空間は 自然なシンプレクティック形式を持ち、これはポアンカレ2次元形式または 標準シンプレクティック形式と呼ばれる。
質問
{\displaystyle Q}
ん
{\displaystyle n}
T
∗
質問
{\displaystyle T^{*}Q}
ω =
∑
私 = 1
ん
d
p
私
∧ d
q
私
{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}
ここで、 上の任意の局所座標は 、 余接ベクトル に関するファイバー座標です 。余接バンドルは、古典力学の自然な 位相空間 です。上側インデックスと下側インデックスを区別する目的は、 リーマン多様体 の場合のように、 計量テンソル を 持つ多様体の場合です。上側インデックスと下側インデックスは、座標フレームの変更によって反変的および共変的に変換されます。「余接ベクトル に関するファイバー座標」という語句は、運動量が 速度 に 「 はんだ付け 」されていることを伝えるためのものです。はんだ付けは、速度と運動量が共線的であり、両方が同じ方向に移動し、スケール係数によって異なるという考えを表現しています。
（
q
1
、 … 、
q
ん
）
{\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}
質問
{\displaystyle Q}
（
p
1
、 … 、
p
ん
）
{\displaystyle (p_{1},\ldots,p_{n})}
d
q
1
、 … 、 d
q
ん
{\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}
p
私
{\displaystyle p_{i}}
d
q
私
{\displaystyle dq^{i}}
ケーラー多様体 ケーラー 多様体は 、適合する積分可能な複素構造を備えたシンプレクティック多様体です。これらは、 複素多様体 の特定のクラスを形成します。多くの例は、 複素代数 幾何学から来ています。任意の滑らかな複素 射影多様体は、 射影空間 上の フビニ-スタディ形式 の制限であるシンプレクティック形式を持ちます 。
五 ⊂
Ｃ ポ
ん
{\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}
Ｃ ポ
ん
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
ほぼ複素多様体 互換な ほぼ複素構造 を持つ リーマン多様体は、 ほぼ複素多様体 と呼ばれます。これらは、 積分可能 である必要がない点でケーラー多様体を一般化したものです 。つまり、多様体上の複素構造から必ずしも生じるわけではありません。
ω
{\displaystyle \omega}
ラグランジアンとその他の部分多様体 シンプレクティック多様体の 部分多様 体には、いくつかの自然な幾何学的概念があります 。
（ ま 、 ω ）
{\displaystyle (M,\omega )}
の シンプレクティック部分多様体 (潜在的には任意の偶数次元) は、が 上のシンプレクティック形式となる ような部分多様体です 。
ま
{\displaystyle M}
S ⊂ ま
{\displaystyle S\subset M}
ω
|
S
{\displaystyle \omega |_{S}}
S
{\displaystyle S}
等方性部分多様体 は、シンプレクティック形式がゼロに制限される部分多様体です。つまり、各接空間は、周囲多様体の接空間の 等方性部分空間 です。同様に、部分多様体の各接空間が共等方性（等方性部分空間の双対）である場合、その部分多様体は共 等方性 と呼ばれます。 シンプレクティック多様体の ラグランジアン部分多様体 は、シンプレクティック形式のへ の制限 が消える部分多様体、すなわち および です 。ラグランジアン部分多様体は最大等方性部分多様体です。
（ ま 、 ω ）
{\displaystyle (M,\omega )}
ω
{\displaystyle \omega}
ら ⊂ ま
{\displaystyle L\subset M}
ω
|
ら
= 0
{\displaystyle \omega |_{L}=0}
薄暗い
ら =
1 2
薄暗い ま
{\displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}
大きな例としては、積シンプレクティック多様体 ( M × M 、 ω × − ω )における シンプレクト同相 写像のグラフが ラグランジアンであるということが挙げられる。それらの交差は、滑らかな多様体が持たない剛性特性を示す。 アーノルド予想は、滑らかな場合の オイラー特性 ではなく、滑らかなラグランジアン部分多様体の自己交差の数の下限として、 部分多様体の ベッティ数 の合計を与える。
例 グローバル座標を とします 。 すると、 標準シンプレクティック形式を
装備することができます。
R
x
、
ええ
2 ん
{\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}
（
x
1
、 … 、
x
ん
、
ええ
1
、 … 、
ええ
ん
）
{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}
R
x
、
ええ
2 ん
{\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}
ω =
d
x
1
∧
d
ええ
1
+ ⋯ +
d
x
ん
∧
d
ええ
ん
。
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n} 。}
によって与えられる標準的なラグランジアン部分多様体が存在する。 任意の接ベクトルのペアが与えられると、 次が得られるため、 この形は で消える。 説明するために、 の場合を考える 。すると、 および と なる。これを展開すると、
R
x
ん
→
R
x
、
ええ
2 ん
{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}
ω
{\displaystyle \omega}
R
x
ん
{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}
バツ =
ふ
私
（
x
）
∂
x
私
、 はい =
グ
私
（
x
）
∂
x
私
、
{\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}
ω （ バツ 、 はい ） = 0.
{\displaystyle \omega (X,Y)=0.}
ん = 1
{\displaystyle n=1}
バツ = ふ （ x ）
∂
x
、 はい = グ （ x ）
∂
x
、
{\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}
ω =
d
x ∧
d
ええ
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
ω （ バツ 、 はい ） = ω （ ふ （ x ）
∂
x
、 グ （ x ）
∂
x
） =
1 2
ふ （ x ） グ （ x ） （
d
x （
∂
x
）
d
ええ （
∂
x
） −
d
ええ （
∂
x
）
d
x （
∂
x
） ）
{\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}
どちらの項にも、定義により 0 となる因子が
あります。
d
ええ （
∂
x
）
{\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}
例: 余接束 多様体の余接束は、最初の例に似た空間上で局所的にモデル化されます。これらのアフィンシンプレクティック形式を接着できることが示され、したがってこの束はシンプレクティック多様体を形成します。ラグランジアン部分多様体のそれほど自明ではない例は、多様体の余接束のゼロセクションです。たとえば、
バツ = { （ x 、 ええ ） ∈
R
2
:
ええ
2
− x = 0 } 。
{\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}
そして、次 のように
提示することができます。
T
∗
X
{\displaystyle T^{*}X}
T
∗
X
=
{
(
x
,
y
,
d
x
,
d
y
)
∈
R
4
:
y
2
−
x
=
0
,
2
y
d
y
−
d
x
=
0
}
{\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}
ここで、記号は の座標として扱われます 。座標が および の部分集合を考えれば、ゼロ断面が得られます 。この例は、滑らかな関数 とその微分 の消失軌跡によって定義される任意の多様体に対して繰り返すことができます 。
d
x
,
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}
R
4
=
T
∗
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} x=0}
d
y
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} y=0}
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}
d
f
1
,
…
,
d
f
k
{\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}
例: パラメトリック部分多様体 座標を持つ 正準空間を考えてみましょう 。 のパラメトリック部分多様体は 、次のように
座標によってパラメータ化されたものです。
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
(
q
1
,
…
,
q
n
,
p
1
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}
L
{\displaystyle L}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}
q
i
=
q
i
(
u
1
,
…
,
u
n
)
p
i
=
p
i
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}
この多様体は、ラグランジュ括弧が すべての に対してゼロである とき、ラグランジュ部分多様体 である。つまり、
[
u
i
,
u
j
]
{\displaystyle [u_{i},u_{j}]}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
[
u
i
,
u
j
]
=
∑
k
∂
q
k
∂
u
i
∂
p
k
∂
u
j
−
∂
p
k
∂
u
i
∂
q
k
∂
u
j
=
0
{\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}
すべてに対してである 。これは展開するとわかる。
i
,
j
{\displaystyle i,j}
∂
∂
u
i
=
∂
q
k
∂
u
i
∂
∂
q
k
+
∂
p
k
∂
u
i
∂
∂
p
k
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}
ラグランジアン部分多様体 の条件において、シンプレクティック形式は 接多様体 上で消えなければならない、つまりすべての接ベクトルに対して消えなければならない、という
ことになります。
L
{\displaystyle L}
T
L
{\displaystyle TL}
ω
(
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
)
=
0
{\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}
すべての に対して 成り立ちます。 上の標準シンプレクティック形式を利用して結果を簡略化します 。
i
,
j
{\displaystyle i,j}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
ω
(
∂
∂
q
k
,
∂
∂
p
k
)
=
−
ω
(
∂
∂
p
k
,
∂
∂
q
k
)
=
1
{\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}
そして他のものはすべて消え去る。
シンプレクティック多様体上の局所チャートが 標準形をとる ため、この例はラグランジュ部分多様体が比較的制約を受けていないことを示唆しています。シンプレクティック多様体の分類は、 フレアーホモロジーによって行われます。これは、ラグランジュ部分多様体間の写像に対する 作用関数 への モース理論 の応用です 。物理学では、作用は物理システムの時間発展を記述します。ここでは、作用はブレーンのダイナミクスの記述として考えることができます。
例: モース理論 ラグランジュ部分多様体のもう 1 つの有用なクラスは、 モース理論 で発生します。 モース関数 と十分小さい が与えられた場合 、消失軌跡 によって与えられるラグランジュ部分多様体を構築できます 。一般的なモース関数の場合、ラグランジュ交差は によって与えられます 。
f
:
M
→
R
{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
V
(
ε
⋅
d
f
)
⊂
T
∗
M
{\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}
M
∩
V
(
ε
⋅
d
f
)
=
Crit
(
f
)
{\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}
特殊ラグランジアン部分多様体 ケーラー多様体 （または カラビ・ヤウ多様体 ）の場合、 を正則 n 形式として選択することができます。ここで は 実 部 、 は 虚部です。ラグランジアン部分多様体は、 上記のラグランジアン条件に加えて への制限が消える場合、 特殊と 呼ばれます 。言い換えると、 への実部制限により 上の体積形式が導かれます 。次の例は特殊ラグランジアン部分多様体として知られています。
Ω
=
Ω
1
+
i
Ω
2
{\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}
M
{\displaystyle M}
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
L
{\displaystyle L}
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
L
{\displaystyle L}
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle L}
超ケーラー多様体 の複素ラグランジアン部分多様体 、 カラビ・ヤウ多様体の実構造の不動点。 SYZ 予想は、 ミラー対称性 における特殊ラグランジアン部分多様体の研究を扱っています 。(Hitchin 1999)を参照してください。
トーマス ・ヤウ予想は、ラグランジアン類のハミルトン同位体類におけるカラビ・ヤウ多様体上の特殊ラグランジアン部分多様体の存在は、多様体の 深谷カテゴリ 上の 安定性条件 に関する安定性と同等であると予測する 。
ラグランジアンファイバ シンプレクティック多様体 M のラグランジアン ファイバ化は、 すべての ファイバ がラグランジアン サブ多様体である ファイバ化 です。 M は偶数次元なので、局所座標 ( p 1 ,..., p n , q 1 ,..., q n ) を取ることができ、 ダルブーの定理 により、 シンプレクティック形式 ωは、少なくとも局所的には、 ω = ∑ d p k ∧ d q k と記述できます 。ここで、 d は 外微分 、 ∧ は 外積 を表します。この形式は、 ポアンカレ 2 形式 または標準 2 形式と呼ばれます。この設定を使用すると、局所的には M を 余接バンドル 、ラグランジアン ファイバ化を自明なファイバ 化と考えることができます。 これが標準図です。
T
∗
R
n
,
{\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n},}
π
:
T
∗
R
n
→
R
n
.
{\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}
ラグランジアン写像 L を、 i : L ↪ K の浸漬によって与えられるシンプレクティック多様体 ( K ,ω) のラグランジアン部分多様体と します ( i は ラグランジアン浸漬 と呼ばれます )。 π : K ↠ B が K のラグランジアンファイバリングを与えるものとします 。合成 ( π ∘ i ) : L ↪ K ↠ B はラグランジアン写像 です 。 π ∘ i の 臨界値セットは コースティック と呼ばれます 。
2つのラグランジアン写像 ( π 1 ∘ i 1 ) : L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 と ( π 2 ∘ i 2 ) : L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 は、右に示した 図の両辺が可換で 、 τ が シンプレクティック形式を保存するよう な微分同相 写像 σ 、 τ 、 ν が 存在するとき、ラグランジアン同値と呼ばれる。 [4] 記号的に:
τ
∘
i
1
=
i
2
∘
σ
,
ν
∘
π
1
=
π
2
∘
τ
,
τ
∗
ω
2
=
ω
1
,
{\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}
ここで、 τ ∗ ω 2 は 、τ による ω 2 の 引き戻し を示します 。
特殊なケースと一般化 シンプレクティック多様体は 、シンプレクティック形式 が 正確であれば 正確 です 。たとえば、滑らかな多様体の余接バンドルは正確なシンプレクティック多様体です。 標準シンプレクティック形式 は正確です。
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
ω
{\displaystyle \omega }
シンプレクティック形式と 互換性のある 計量 を 備えたシンプレクティック多様体は、接バンドルが ほぼ複素構造 を持つという意味で ほぼケーラー多様体 であるが、これは 積分可能 である必要はない。 シンプレクティック多様体はポアソン多様体 の特殊なケースです 。 k 次の 多重シンプレクティック多様体は 、閉じた非退化 k 形式を備えた多様体である 。 [5] ポリ シンプレクティック多様体は 、ポリシンプレクティック接線値形式を備えたルジャンドル束であり、 ハミルトン場の理論 で利用される 。 [6]
(
n
+
2
)
{\displaystyle (n+2)}
参照
数学ポータル
ほぼシンプレクティック多様体 – 非退化（ただし必ずしも閉じているわけではない）2形式を備えた微分可能多様体 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback 接触多様体 – 幾何学の分野 Pages displaying short descriptions of redirect targets — シンプレクティック多様体の奇数次元版。 共変ハミルトン場理論 – ハミルトン力学に基づく古典場理論の形式主義 Pages displaying short descriptions of redirect targets フェドソフ多様体 – ねじれのない接続を備えたシンプレクティック多様体 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback ポアソン括弧 – ハミルトン力学における演算 シンプレクティック群 – 数学群 シンプレクティック行列 – 数学的概念 シンプレクティック位相幾何学 – 微分幾何学と微分位相幾何学の分野 Pages displaying short descriptions of redirect targets シンプレクティックベクトル空間 – 数学的概念 シンプレクティック同型性 – シンプレクティック多様体の同型性 トートロジー一形式 - 滑らかな多様体の余接束上で定義された標準微分形式 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback ヴィルティンガー不等式（2形式） – 2形式に適用可能な不等式 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
引用
^ Webster, Ben (2012 年 1 月 9 日). 「シンプレクティック多様体とは実際何なのか?」 ^ コーン、ヘンリー。「なぜシンプレクティック幾何学は古典力学にとって自然な設定なのか」。 ^ ab de Gosson、モーリス (2006). シンプレクティック幾何学と量子力学 。バーゼル：ビルクホイザー・フェルラーク。 p. 10.ISBN 3-7643-7574-4 。 ^ abc Arnold, VI ; Varchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985).臨界点、コースティクス 、 波面の分類: 微分可能マップの特異点、第 1 巻 。Birkhäuser。ISBN 0-8176-3187-9 。 ^ Cantrijn, F.; Ibort, LA; de León, M. (1999). 「多重シンプレクティック多様体の幾何学について」 J. Austral. Math. Soc . Ser. A. 66 (3): 303–330. doi : 10.1017/S1446788700036636 . ^ Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1999). 「場の理論のための共変ハミルトン方程式」. Journal of Physics . A32 (38): 6629–6642. arXiv : hep-th/9904062 . Bibcode :1999JPhA...32.6629G. doi :10.1088/0305-4470/32/38/302. S2CID 204899025.
一般的な参考文献
さらに読む Dunin-Barkowski, Petr (2022). 「位相的再帰のためのシンプレクティック双対性」. arXiv : 2206.14792 [math-ph]. 「ラグランジアン部分多様体を見つける方法」 。Stack Exchange。2014 年 12 月 17 日。 ルミスト、Ü. (2001) [1994]、「シンプレクティック構造」、 数学百科事典 、 EMS プレス Sardanashvily, G. (2009). 「ファイバー束、ジェット多様体、ラグランジアン理論」. 理論家のための講義 . arXiv : 0908.1886 . McDuff, D. (1998 年 11 月)。「シンプレクティック構造 - 幾何学への新しいアプローチ」 (PDF) 。AMS の通知 。 Hitchin, Nigel (1999). 「特殊ラグランジアン部分多様体に関する講義」. arXiv : math/9907034 .
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da389e02c29e4641852d216064d9c298080c348)
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71429d998cca8689d6b3aa76d1bc5d8fec517478)
