ブリッジランド安定条件

数学、特に代数幾何学において、トム・ブリッジランドによって定義されたブリッジランド安定条件は、三角形カテゴリの要素に対して定義される代数幾何学的安定条件である。元々興味深く特に重要なケースは、この三角形カテゴリがカラビ・ヤウ多様体上のコヒーレント層の導来カテゴリである場合であり、この状況は弦理論やDブレーンの研究と基本的なつながりがある。

このような安定条件は、マイケル・ダグラスによって-安定性と呼ばれる基本的な形で導入され、弦理論におけるBPS Bブレーンの研究に使用されました。 ^[1]この概念はブリッジランドによって明確にされ、彼はこれらの安定条件をカテゴリ的に表現し、数学的に研究を開始しました。^[2]${\displaystyle \Pi}$

このセクションの定義は、任意の三角カテゴリに対して、Bridgelandの元の論文と同じように提示されています。^{[2] を}三角カテゴリと します。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

のスライスは、それぞれについて 完全な加法的なサブカテゴリの集合であり、 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )}$${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )[1]={\mathcal {P}}(\varphi +1)}$すべての に対して、は三角圏上のシフト関手であり、${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle [1]}$
• かつならば、かつ​${\displaystyle \varphi_{1}>\varphi_{2}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\varphi _{1})}$${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\varphi _{2})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)=0}$
• あらゆる物体には、実数の有限列と三角形の集合が存在する。${\displaystyle E\in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}>\cdots >\varphi _{n}}$

すべてに対してとなります。${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {P}}(\varphi _{i})}$${\displaystyle i}$

最後の性質は、カテゴリの要素にハーダー・ナラシムハンフィルタリングの存在を公理的に課すものとして見なされるべきである。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

三角カテゴリ上のブリッジランド安定性条件は、スライスと群準同型からなるペアであり、中心電荷と呼ばれるのグロタンディーク群であり、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle Z:K({\mathcal {D}})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle K({\mathcal {D}})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ならば、ある正の実数に対して となります。${\displaystyle 0\neq E\in {\mathcal {P}}(\varphi )}$${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi )}$${\displaystyle m(E)\in \mathbb {R} _{>0}}$

カテゴリ は本質的に小さいと仮定するのが慣例であり、そのため 上のすべての安定性条件の集合は集合 を形成します。適切な状況では、たとえば が複素多様体 上の連接層の導来カテゴリである場合、この集合は実際に複素多様体自体の構造を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \operatorname {Stab} ({\mathcal {D}})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}^{b}\operatorname {Coh} (X)}$${\displaystyle X}$

ブリッジランドは、ブリッジランド安定条件のデータは、カテゴリ上の有界t構造 と、このt構造の中心にある中心電荷を指定することと同等であり、これは上記のハーダー-ナラシムハン特性を満たすことを示している。^[2]${\displaystyle {\mathcal {P}}(>0)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle Z:K({\mathcal {A}})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}((0,1])}$

要素が安定性条件に関して半安定（または安定）であるとは、に対する任意の全射 に対して が成り立つ場合、 は成り立ち、に対しても同様であることを意味します。 ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$${\displaystyle E\to F}$${\displaystyle F\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \varphi (E)\leq ({\text{resp.}}<)\,\varphi (F)}$${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi (E))}$${\displaystyle F}$

滑らかな射影曲線に対するハーダー・ナラシムハン濾過は、任意のコヒーレント層に対して濾過が存在することを意味することを思い出してください。${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \cdots \subset E_{n}=E}$

因子の傾きが となる。このフィルタリングを、コホモロジー層上のフィルタリングを考慮し、 の傾きを定義することで、層の有界複体に拡張することができ、関数${\displaystyle E_{j}/E_{j-1}}$${\displaystyle \mu _{i}={\text{deg}}/{\text{rank}}}$${\displaystyle E^{\bullet}}$${\displaystyle E^{i}=H^{i}(E^{\bullet })[+i]}$${\displaystyle E_{j}^{i}=\mu _{i}+j}$

${\displaystyle \phi :K(X)\to \mathbb {R} }$

中央担当のため。

楕円曲線の場合についてはブリッジランドによる分析がある。彼は^{[2] [3]}で同値性があることを発見した。

${\displaystyle {\text{Stab}}(X)/{\text{Aut}}(X)\cong {\text{GL}}^{+}(2,\mathbb {R} )/{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

ここで は安定条件の集合であり、 は導出カテゴリの自己同値の集合です。 ${\displaystyle {\text{刺す}}(X)}$${\displaystyle {\text{Aut}}(X)}$${\displaystyle D^{b}(X)}$

• A n {\displaystyle A_{n}} 特異点の安定条件
• 自己同値性、安定性条件、モジュライ問題間の相互作用