対称代数

数学において、体K上のベクトル空間V上の対称代数 S ( V ) ( Sym( V )とも表記) は、 V を含むK上の可換代数であり、ある意味でこの性質に関して極小です。ここで、「極小」とは、S ( V ) が次の普遍的性質を満たすことを意味します。 Vから可換代数Aへのすべての線型写像fに対して、一意の代数準同型g  : S ( V ) → Aが存在し、 f = g ∘ iとなります。ここで、i はS ( V )へのVの包含写像です。

B がVの基底である場合、対称代数S ( V )は、標準同型を介して、多項式環 K [ B ]と同一視できます。ここで、 Bの要素は不定値と見なされます。したがって、 V上の対称代数は、V上の「座標フリー」多項式環として見ることができます。

対称代数S ( V )は、 テンソル代数T ( V )をx⊗y−y⊗xの形式の要素によって生成される両側イデアルで割った商として構築することができます。

これらの定義と特性はすべて、 Vが可換環上の加群（必ずしも自由加群とは限らない）の場合にも自然に拡張されます。

テンソル代数 T ( V )を使って対称代数S ( V )を記述することができる。実際、S ( V )は、交換子によって生成される両側イデアルによるT ( V )の商代数として定義することができる。 ${\displaystyle v\otimes ww\otimes v.}$

結果として得られる代数が導入部で述べた普遍的性質を満たすかどうかは簡単に検証できます。テンソル代数の普遍的性質により、Vから可換代数Aへの線型写像f は代数準同型に拡張され、 Aは可換であるため、これはS(V)を介して因数分解されます。VはK代数としてS(V)を生成するため 、代数準同型へのfの拡張は一意です。 ${\displaystyle T(V)\rightarrow A}$${\displaystyle S(V)\rightarrow A}$

これはまた、2 つの左随伴関手の合成も左随伴関手であると主張する、圏論の一般的な結果から直接生じます。ここで、可換代数からベクトル空間またはモジュールへの忘却関手(乗算を忘れる) は、可換代数から結合代数への忘却関手 (可換性の忘れる) と結合代数からベクトルまたはモジュールへの忘却関手 (乗算を忘れる) の合成です。テンソル代数と交換子による商はこれらの忘却関手の左随伴であるため、それらの合成は可換代数からベクトルまたはモジュールへの忘却関手の左随伴であり、これは望ましい普遍的性質を証明します。

対称代数S ( V )は多項式環から構築することもできます。

VがKベクトル空間または自由K加群で基底がBである場合、K [ B ] をBの元を不定元とする多項式環とする。次数 1 の斉次多項式はベクトル空間または自由加群を形成し、これはVと同一視できる。これによりK [ B ]が序論で述べた普遍問題の解になることは簡単に検証できる。これはK [ B ]とS ( V )が正準同型であり、したがって同一視できることを意味する。自由加群と多項式環はそれぞれのカテゴリの 自由対象であるため、これはカテゴリ理論の一般的な考察からも直ちに導かれる。

V が自由でないモジュールである場合、 Lが自由モジュールでM がLのサブモジュールであるとき、次のように書くことができる。この場合、 ${\displaystyle V=L/M,}$

${\displaystyle S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle ,}$

ここで、 はMによって生成されるイデアルです。(ここで、等号は標準同型までの等式を意味します。) これも、普遍的性質の解があることを示すことによって証明できます。これは、単純ですが退屈な計算によって行うか、カテゴリ理論、より具体的には、商が、与えられた部分集合をゼロに写す射に対する普遍的な問題の解であるという事実を使用して行うことができます。(ケースに応じて、カーネルは正規部分群、部分モジュール、またはイデアルであり、商の通常の定義は、普遍的な問題の解の存在の証明と見なすことができます。) ${\displaystyle \langle M\rangle }$

対称代数は次数代数である。つまり、それは直和である。

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),}$

ここで、Vのn番目の対称べき乗と呼ばれるものは、 Vのn個の元の積によって生成されるベクトル部分空間または部分モジュールです。(2 番目の対称べき乗は、 Vの対称平方と呼ばれることもあります)。 ${\displaystyle S^{n}(V),}$${\displaystyle S^{2}(V)}$

これはさまざまな方法で証明できます。テンソル代数の構成から次のことが分かります。テンソル代数は次数付きで、対称代数は同次イデアルによるその商です。つまり、 xとyがV内にあるすべてのものによって生成されるイデアル、つまり次数 1 の同次イデアルです。 ${\displaystyle x\otimes yy\otimes x,}$

ベクトル空間または自由加群の場合、段階とは、全次数による多項式の段階です。自由でない加群はL / Mと書くことができます。ここで、Lは基数Bの自由加群です。その対称代数は、 Lの（次数付き）対称代数（多項式環）を、次数 1 の同次である Mの元によって生成される同次イデアルで割った商です。

また、をVからベクトル空間またはモジュールへのn線型対称関数の普遍的な問題の解として定義し、すべての直和が対称代数の普遍的な問題を満たすことを検証することもできます。 ${\displaystyle S^{n}(V)}$${\displaystyle S^{n}(V)}$

ベクトル空間の対称代数はテンソル代数の商であるため、対称代数の要素はテンソルではなく、特に対称テンソルではありません。ただし、対称テンソルは対称代数と密接に関連しています。

n次対称テンソルは、対称群の作用に対して不変なT ⁿ ( V )の要素です。より正確には、変換がT ⁿ ( V )の線型自己準同型を定義するとします。対称テンソルは、これらすべての自己準同型に対して不変なテンソルです。n 次対称テンソルは、ベクトル部分空間 (またはモジュール) Sym ⁿ ( V ) ⊂ T ⁿ ( V )を形成します。対称テンソルは、次数付きベクトル空間(または次数付きモジュール)である直和の要素です。2 つの対称テンソルのテンソル積は一般に対称ではないため、これは代数ではありません。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {S}}_{n},}$${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),}$

を正準全射のSym ⁿ ( V )への制限とします。n !が基底体 (または環) で逆である場合、は同型です。これは、特性0の基底体では常に当てはまります。逆同型は、対称化によって定義される線型写像 ( nベクトルの積上) です。${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle T^{n}(V)\to S^{n}(V)。}$${\displaystyle \pi_{n}}$

${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \ cdots \otimes v_{\sigma (n)}.}$

特性がn +1より小さい場合、写像は単射ではない。例えば、特性2では0である。特性0の環上では非射影である可能性がある。例えば、整数上で、xとyが2 Vに含まれないV = S ¹ ( V )の2つの線型独立な要素である場合、${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle \pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy}$${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).}$

まとめると、特性 0 の体上では、対称テンソルと対称代数は 2 つの同型の次数付きベクトル空間を形成します。したがって、ベクトル空間構造に関する限りは同一視できますが、積が関係してくると同一視できなくなります。さらに、この同型性は、正の特性の体や有理数を含まない環の場合には適用されません。

可換環K上の加群 Vが与えられたとき、対称代数S ( V )は次の普遍的性質によって定義できます。

Vから可換K代数AへのすべてのK線型写像 fに対して、 S ( V )へのVの包含関係となる唯一のK代数準同型写像が存在する。 ${\displaystyle g:S(V)\to A}$${\displaystyle f=g\circ i,}$

あらゆる普遍的性質に関して、解が存在するとすぐに、これは標準同型性まで対称代数を一意に定義します。したがって、対称代数のすべての性質は普遍的性質から演繹できます。このセクションでは、カテゴリ理論に属する主要な性質について説明します。

対称代数は、K加群のカテゴリからK可換代数のカテゴリへの関手である。なぜなら、普遍性は、すべての加群準同型が代数準同型に一意に拡張できることを意味しているからである。 ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle S(f):S(V)\to S(W).}$

普遍的性質は、対称代数が、可換代数をその基礎モジュールに送る忘却関数の左随伴であると言うことによって再定式化できます。

同様に、アフィン空間上の対称代数を構築することができます。重要な違いは、アフィン空間の対称代数は次数代数ではなく、フィルター代数であるということです。つまり、アフィン空間上の多項式の次数は決定できますが、同次部分は決定できません。

たとえば、ベクトル空間上の線形多項式が与えられた場合、0 で評価することでその定数部分を決定できます。アフィン空間には区別された点がないため、これを行うことはできません (点を選択すると、アフィン空間がベクトル空間に変換されます)。

S ^{k は}外冪に相当する関手である。しかし、ここでは次元はkとともに増大し、次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}}$

ここでn はVの次元である。この二項係数は、次数kのn変数単項式の数である。実際、対称代数と外積代数は、テンソル積（例えば複素体上）に作用する作用の自明な表現と符号表現の同型成分として現れる^{[引用が必要]}${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle V^{\otimes n}}$

対称代数はホップ代数の構造を持つことができます。詳細についてはテンソル代数を参照してください 。

対称代数S ( V ) は、アーベルリー代数の普遍包絡代数、つまりリー括弧が恒等的に 0 である代数です。

• 外積代数、交代代数の類似
• 対称代数と外積代数の共通の一般化である、次数対称代数
• ワイル代数、シンプレクティック形式による対称代数の量子変形
• クリフォード代数、二次形式による外積代数の量子変形

• ブルバキ、ニコラ（1989）、数学の要素、代数I、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64243-9