クリフォード理論

数学において、アルフレッド・H・クリフォード (1937) によって提唱されたクリフォード理論は、群の表現と正規部分群の表現との関係を記述します。

アルフレッド・H・クリフォードは、有限次元の既約表現を群Gから有限指数の正規部分群 Nに制限することについて、次の結果を証明しました。

定理。π: G → GL( n , K ) を、 K が体である既約表現とします。すると、 π のNへの制限は、等しい次元のNの既約表現の直和に分解されます。これらのNの既約表現は、 Nの既約表現の同値類との共役により、Gの作用の 1 つの軌道上にあります。特に、対になって同型でない加数の数は、 GにおけるNのインデックス以下です。

クリフォードの定理は、有限群Gの複素既約指標の正規部分群Nへの制限に関する情報を与える。 μ がNの複素指標である場合、 Gの固定された元gに対して、 Nの別の指標 μ ^(g)は次のように構成できる。

${\displaystyle \mu ^{(g)}(n)=\mu (gng^{-1})}$

Nの任意のnに対して成り立つ。μ ^(g)の指標が既約なのは、μ が既約な場合のみである。クリフォードの定理によれば、χ がGの複素既約指標であり、μ がNの既約指標で、

${\displaystyle \langle \chi _{N},\mu \rangle \neq 0,}$それから

${\displaystyle \chi _{N}=e\left(\sum _{i=1}^{t}\mu ^{(g_{i})}\right),}$

ここで、eとtは正の整数であり、各g _{i は}Gの元である。整数eとtは両方とも指数[ G : N ]を割り切る。整数tはNを含むGの部分群の指数であり、μの慣性部分群として知られる。これは

${\displaystyle \{g\in G:\mu ^{(g)}=\mu \}}$

そして、多くの場合、

${\displaystyle I_{G}(\mu ).}$

元g _{i は}、 Gの部分群I _G (μ)のすべての右剰余類の代表として考えることができる。

実際、整数eはインデックス

${\displaystyle [I_{G}(\mu ):N],}$

ただし、この事実を証明するには、シューアの射影表現理論をいくらか使用する必要があります。

クリフォードの定理の証明は、加群の観点から説明するのが最も適切です (加群理論的バージョンは、既約加群表現に対して機能します)。Kを体、Vを既約K [ G ] 加群、V _{N を}そのNへの制限、U をV _Nの既約K [ N] 部分加群とします。NはGの正規部分群であるため、 Gの各gとNの各nに対して等式が成り立ちます。したがって、gU はV _Nの既約K [ N ]部分加群であり、はVのK [ G ] 部分加群 であるため、既約性によりVのすべてである必要があります。ここで、V _{N は}既約部分加群の和として表され、この表現は直和に精製できます。これで、定理のキャラクタ理論的ステートメントの証明は、K = C の場合で完了できます。 χ をV によって与えられるGの指標、 μ をUによって与えられるNの指標とします。Gの各gに対して、C [ N ] サブモジュールgU は指標 μ ^(g)と を与えます。 χ はGの類関数であり、N は正規部分群であるため、それぞれの等式が成り立ちます。定理の文に現れる 整数e はこの共通重複度です。${\displaystyle ngU=gg^{-1}.ngU=gU}$${\displaystyle \sum _{g\in G}gU}$${\displaystyle \langle \chi _{N},\mu ^{(g)}\rangle =\langle \chi _{N}^{(g)},\mu ^{(g)}\rangle =\ langle \chi _{N},\mu \rangle }$

クリフォードの定理の系は、よく利用されるが、定理に現れる既約指標 χ は慣性部分群I _G (μ) の既約指標から誘導されるというものである。例えば、既約指標 χ が原始的である場合（つまり、 χ がGのどの固有部分群からも誘導されない場合）、G = I _G (μ) かつ χ _N = e μ である。原始指標のこの特性が特に頻繁に使用されるのは、 Nがアーベル的で χ が忠実である場合（つまり、その核が単位元だけを含む場合）である。その場合、 μ は線形であり、N は指標 χ を与える任意の表現でスカラー行列によって表され、したがってN はGの中心に含まれます。たとえば、G が対称群S ₄である場合、G は次数3の忠実な複素既約指標 χ を持ちます。位数4のアーベル正規部分群N (クライン4部分群) が存在します。これはGの中心には含まれません。したがって、 χ はN を含むGの適切な部分群の指標から誘導されます。唯一の可能性は、 χ がGのSylow 2部分群の線型指標から誘導されることです。

クリフォードの定理は、現在クリフォード理論として知られる独自の表現論の分野につながりました。これは、正規部分群が通常豊富である有限可解群の表現論に特に関連しています。より一般的な有限群の場合、クリフォード理論により、表現論的な問題は、（明確にできる意味で）単純に近い群に関する問題に還元されることがよくあります。

ジョージ・マッキー (1976)は、局所コンパクト群の既約ユニタリ表現を閉じた正規部分群に制限するという、この結果のより正確なバージョンを発見しました。これは「マッキー マシン」または「マッキー正規部分群解析」として知られるようになりました。

• クリフォード、AH (1937)、「不変部分群で誘導される表現」、数学年報、第 2 シリーズ、38 (3): 533–550、doi :10.2307/1968599、JSTOR  1968599、PMC  1076873、PMID  16588132
• マッキー、ジョージ W. (1976)、「ユニタリ群表現の理論」、シカゴ数学講義、ISBN 0-226-50051-9