フロベニウスの公式

数学、特に表現論において、フロベニウスの公式は、 G. フロベニウスによって導入され、対称群S _nの既約表現の指標を計算します。その他の応用としては、フックの長さの公式を導くために使用できます。

を、nの分割に対応する対称群の既約表現の指標とします。nの各分割について、それに対応する共役類を で表し（以下の例を参照）、jが に現れる回数を で表します（したがって）。すると、フロベニウスの公式は、 の定数値がで${\displaystyle \chi _{\lambda }}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$${\displaystyle \ell_{j}=\lambda_{j}+kj}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle C(\mu )}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sum _{j}i_{j}j=n}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$${\displaystyle C(\mu ),}$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

は変数 の同次多項式における単項式の係数である${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

ここで、 は-乗の合計です。 ${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$${\displaystyle j}$

例: をとります。したがって、、とします。( ) が単位元のクラスに対応する場合、 はの 係数です。${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \lambda :4=2+2=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \ell_{1}=3}$${\displaystyle \ell_{2}=2}$${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$${\displaystyle i_{1}=4}$${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})^{4}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

これは2です。同様に、（3サイクルのクラス×1サイクル）かつの場合、次のように与えられます。 ${\displaystyle \mu:4=3+1}$${\displaystyle i_{1}=i_{3}=1}$${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})P_{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

は−1です。

恒等表現の場合、および です。 文字はのの係数に等しくなり、予想 どおり任意の に対して 1 になります。${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \lambda_{1}=n=\ell_{1}}$${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$${\displaystyle x_{1}^{n}}$${\displaystyle \prod _{j}P_{j}(x_{1})^{i_{j}}=\prod _{j}x_{1}^{i_{j}j}=x_{1}^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}}$${\displaystyle \mu}$

アルン・ラムはフロベニウスの公式のq類似体を与えている。 ^[1]

• 対称群の表現論

• ラム、アルン (1991)。「ヘッケ代数のキャラクターに対するフロベニウスの公式」。Inventiones mathematicae 106 ( 1): 461–488。
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。Graduate Texts in Mathematics 、 Readings in Mathematics。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• マクドナルド、IG対称関数とホール多項式。第 2 版。オックスフォード数学モノグラフ。オックスフォード科学出版。クラレンドン プレス、オックスフォード大学出版局、ニューヨーク、1995 年。x+475 ページ 。ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144