整数

数直線上に並べられた整数

整数は、数0 ( 0 )、正の自然数( 1、 2、 3、 . . . )、または正の自然数の否定 ( −1、 −2、 −3、 . . . ) です。^[1]正の自然数の否定または加法逆数は、負の整数と呼ばれます。^[2]すべての整数の集合は、太字の $Z$ または黒板太字で表されます。^[3]^[4] $\mathbb {Z}$

自然数の集合はの部分集合であり、は有理数の集合の部分集合であり、有理数の集合自体は実数の部分集合である。^[a]自然数の集合と同様に、整数の集合は可算無限である。整数は、小数部なしで表記できる実数とみなすことができる。たとえば、21、4、0、-2048 は整数であるが、9.75、⁠5 $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z}$ +1/2⁠、5/4、√2はそうではない。^[8]

整数は、自然数を含む最小の群と最小の環を形成します。代数的整数論では、整数は、より一般的な代数的整数と区別するために有理整数と呼ばれることがあります。実際、（有理）整数は、有理数でもある代数的整数です。

歴史

整数という語は、ラテン語のinteger（「全体」または「手つかずの」という意味）に由来し、in（「ない」）とtangere（「触れる」）を組み合わせた造語である。「全体の」は、同じ語源から、全体と整数の両方を意味するフランス語のentierに由来する。^[9]歴史的には、この語は1の倍数である数、 ^[10]^{[11]または}帯分数の整数部分に対して使用されていた。^[12]^[13]正の整数のみが対象とされていたため、この語は自然数と同義であった。整数の定義は、負の数の有用性が認識されるにつれて、時間の経過とともに負の数も含むように拡大した。 [14]たとえば、レオンハルト・オイラーは1765年の著書『代数学原論』で、整数には正の数と負の数の両方が含まれると定義した。^[^15]

整数の集合という表現は、19世紀末にゲオルク・カントールが無限集合と集合論の概念を導入するまでは使われていなかった。整数の集合を表すのにZという文字を使うことは、ドイツ語のZahlen（「数」）^[3]^[4]に由来し、ダヴィド・ヒルベルトによるものだとされている。^[16]この表記法が教科書で最初に使われたのは、ニコラ・ブルバキが1947年に書いた『代数』である。 ^[3]^[17]この表記法はすぐには採用されず、例えば別の教科書ではJという文字が使われており^[18]、1960年の論文では非負の整数を表すのにZが使われていた。^[19]しかし1961年までには、現代の代数学の教科書では正と負の整数を表すのにZが一般的に使われるようになった。^[20]

記号は、様々な集合を表すためにしばしば注釈が付けられるが、その用法は著者によって異なる。正の整数については、、、、または、非負の整数については、非ゼロの整数については。非ゼロの整数についてはを使用する著者もいれば、非負の整数については、または {–1,1} (の単位群) に使用する著者もいる。さらに、は $p$ を法とする整数の集合(つまり、整数の合同類の集合)、または $p$ 進整数の集合のいずれかを表すために使用される。^[21]^[22] $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} ^{+}$ $\mathbb {Z} _{+}$ $\mathbb {Z} ^{>}$ $\mathbb {Z} ^{0+}$ $\mathbb {Z} ^{\geq }$ $\mathbb {Z} ^{\neq }$ $\mathbb {Z} ^{*}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{p}$

1950年代初頭まで、整数は整数と同義でした。 [ 23 ^]^[24]^[25] 1950年代後半、新数学運動の一環として、^[26]アメリカの小学校教師は、整数は負の数を除いた自然数を指し、整数は負の数も含むと教え始めました。^[27]^[28]整数は現在でも曖昧なままです。^[29]

代数的性質

整数は、無限に長い数直線上の離散的で等間隔の点として考えることができます。上記では、非負の整数は青で、負の整数は赤で示されています。

自然数と同様に、は加算と乗算の演算に対して閉じています。つまり、任意の 2 つの整数の和と積は整数になります。しかし、負の自然数 (そして重要なことに0 ) を含めると、は自然数とは異なり、減算に対しても閉じています。^[30] $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

整数は、次の意味で最も基本的な環を形成します。任意の環に対して、整数からこの環への唯一の環準同型が存在します。この普遍的な性質、つまり環のカテゴリの最初のオブジェクトであることが、環を特徴付けます。 $\mathbb {Z}$

$\mathbb {Z}$ は除算では閉じていません。2 つの整数の商 (たとえば、1 を 2 で割ったもの) は整数である必要がないためです。自然数は指数法では閉じていますが、整数は閉じていません (指数が負の場合、結果が分数になる可能性があるため)。

$次の表は、任意の整数a$ 、 $b$ 、 $c$ の加算と乗算の基本的な特性の一部を示しています。

加法について上に挙げた最初の 5 つの特性は、加法の下でがアーベル群であることを示しています。また、すべての非ゼロ整数は有限和1 + 1 + ... + 1または(−1) + (−1) + ... + (−1)として表すことができるため、は巡回群でもあります。実際、加法の下では、任意の無限巡回群がと同型であるという意味において、唯一の無限巡回群です。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

乗算に関して上に挙げた最初の 4 つの特性は、乗算に関して可換モノイドであることを示しています。ただし、すべての整数に逆乗法があるわけではありません (数 2 の場合など)。つまり、乗算に関して群ではありません。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

上記の特性表のすべての規則（最後の規則を除く）を総合すると、加算および乗算とともには単位を持つ可換環であることがわかります。これは、このような代数構造のすべてのオブジェクトのプロトタイプです。では、任意の単位可換環で真であるすべての変数値に対して、式の等式のみが真です。特定の非ゼロ整数は、特定の環ではゼロにマッピングされます。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

整数に零因子が存在しないことは（表の最後の性質）、可換環が整域であることを意味します。 $\mathbb {Z}$

逆数が存在しないということは、除算で閉じていないということと同値であり、は体ではないことを意味します。整数を部分環として含む最小の体は有理数体です。整数から有理数を構成するプロセスは、任意の整域の分数体を形成するために模倣できます。そして逆に、代数体（有理数の拡張）から始めて、その整数環を抽出でき、その部分環としてが含まれます。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

通常の除算は上で定義されていませんが、余りのある除算は上で定義されています。これはユークリッド除算と呼ばれ、次の重要な特性を持っています。2 つの整数 $a$ と $b$ ( $b$ $\neq 0 )が与えられたとき、$ $a$ $=$ $q$ $\times$ $b$ $+$ $r$ かつ $0 \leq$ $r$ $< |$ $b$ $|$ となる一意の整数 $q$ と $r$ が存在します(ここで $|$ $b$ $| は$ $b$ の絶対値を表します) 。整数 $q$ は $aを$ $b$ で割ったときの商、 $rは$ 余りと呼ばれます。最大公約数を計算するユークリッドのアルゴリズムは、ユークリッド除算のシーケンスによって機能します。 $\mathbb {Z}$

上記はユークリッド領域であると述べています。これは主イデアル領域であり、任意の正の整数は本質的に一意な方法で素数の積として表すことができることを意味します。^{[31]これは}算術の基本定理です。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

順序理論的性質

$\mathbb {Z}$ は、上限も下限もない完全に順序付けられた集合です。の順序は次のように与えられます $:... -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ 。整数は、ゼロより大きい場合は正であり、ゼロより小さい場合は負です。ゼロは、負でも正でもないものとして定義されます。 $\mathbb {Z}$

整数の順序は、次のように代数演算と互換性があります。

$a < b$ かつ $c < d$ の場合、 $a + c < b + dとなる。$
$a < b$ かつ $0 < c$ の場合、 $ac < bc$

したがって、上記の順序付けと合わせて順序付けされたリングが成り立ちます。 $\mathbb {Z}$

整数は、正の要素が整列している唯一の非自明な全順序アーベル群である。^{[32]これは、}任意のネーター付値環は体または離散付値環のいずれかであるという主張と同等である。

工事

伝統的な開発

小学校の授業では、整数は（正の）自然数、ゼロ、自然数の否定の和集合として直感的に定義されることが多い。これは次のように形式化できる。^[33]まずペアノの公理に従って自然数の集合を構築し、これをと呼ぶ。次に、関数を介してと互いに素でと一対一に対応する集合を構築します。たとえば、をの写像を持つ順序付きペアとします。最後に 0 をまたはにないオブジェクト、たとえば順序付きペア (0,0) とします。すると、整数は和集合として定義されます。 $P$ $P^{-}$ $P$ $P$ $\psi$ $P^{-}$ $(1,n)$ $\psi =n\mapsto (1,n)$ $P$ $P^{-}$ $P\cup P^{-}\cup \{0\}$

従来の算術演算は、正の数、負の数、ゼロのそれぞれについて、整数に対して区分的に定義できます。たとえば、否定は次のように定義されます。

$-x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}$

伝統的な定義方法では、多くの異なるケース（各算術演算は整数の型の組み合わせごとに定義する必要がある）が生じ、整数がさまざまな算術法則に従うことを証明するのが面倒になります。^[34]

順序対の同値類

現代の集合論的数学では、大文字小文字を区別せずに算術演算を定義できるより抽象的な構成^[35]^{[36]がよく使用されます。}^[37]したがって、整数は自然数の順序付きペア $（$ $a$ $、$ $b$ $）$ の同値類として形式的に構成できます。^[38]

直感的には、 $(a, b)は$ $a$ から $bを$ 引いた結果を表している。^[38]1−2と4−5が同じ数を表すという予想を確認するために、これらのペアに次の規則で同値関係 $~$ を定義します。

(a,b)\sim (c,d)

正確には

a+d=b+c

。

整数の加算と乗算は、自然数に対する同値な演算によって定義することができる。^[38] $[(a, b)]$ を使って $(a, b) を$ メンバーとして持つ同値類を表すと、次のようになる。

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]

。

[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]

。

整数の否定（または加法逆数）は、ペアの順序を逆にすることで得られます。

-[(a,b)]:=[(b,a)]

。

したがって、減算は加法逆数の加算として定義できます。

[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]

。

整数の標準的な順序は次のように表されます。

[(a,b)]<[(c,d)]

の場合に限ります。

a+d<b+c

これらの定義が同値類の代表の選択に依存しないことは簡単に確認できます。

$すべての同値類には、 (n,0)$ または $(0, n)$ (または両方同時に)の形式を持つ一意のメンバーがあります。自然数 $n$ はクラス $[(n,0)]$ で識別されます(つまり、自然数は $n を$ $[($ $n$ $,0)]$ にマップすることによって整数に埋め込まれます)。また、クラス $[(0,$ $n$ $)] は$ $-$ $n$ で表されます(これは残りのすべてのクラスをカバーし、–0 = 0 であるため、クラス $[(0,0)] が$ 2 回目になります)。

したがって、 $[(a, b)]は$ 次のように表される。

{\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b\end{cases}}

自然数が対応する整数と同一視される場合（上記の埋め込みを使用）、この規則によって曖昧さは生じません。

この表記法は、整数の一般的な表現を ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$ として復元します。

例をいくつか挙げます。

{\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)]\end{aligned}}

その他のアプローチ

理論計算機科学では、整数の構築には、自動化された定理証明器や項書き換えエンジンなど、他のアプローチが用いられます。整数は、いくつかの基本的な演算（ゼロ、succ、predなど）と、すでに構築されていると想定される自然数（ペアノアプローチを使用）を使用して構築された代数項として表現されます。

符号付き整数のこのような構成は少なくとも10種類存在する。^[39]これらの構成は、構成に使用される基本演算の数、これらの演算で受け入れられる引数の数（通常は0から2の間）、および引数の種類、これらの演算の引数としての自然数の有無、これらの演算が自由構成子であるかどうか、つまり、同じ整数を1つの代数項のみを使用して表現できるか、または多数の代数項を使用して表現できるかなど、いくつかの点で異なる。

前のセクションで紹介した整数の構築手法は、2 つの自然数とを引数として受け取り、整数 ( に等しい) を返す単一の基本演算ペアが存在する特定のケースに対応しています。整数 0 はペア(0,0)、ペア(1,1)、ペア(2,2) などと表記できるため、この演算は自由ではありません。この構築手法は証明支援ツール Isabelleで使用されていますが、他の多くのツールでは、より単純でコンピューターでより効率的に実装できる自由コンストラクタに基づく代替構築手法が使用されています。 $(x,y)$ $x$ $y$ $x-y$

コンピュータサイエンス

整数は、多くの場合、コンピュータ言語のプリミティブデータ型です。ただし、実際のコンピュータの容量は有限であるため、整数データ型はすべての整数のサブセットしか表すことができません。また、一般的な 2 の補数表現では、符号の固有の定義により、「負、正、0」ではなく、「負」と「非負」が区別されます。(ただし、整数値が本当に正であるかどうかをコンピュータが判断することは確かに可能です。) 固定長整数近似データ型 (またはサブセット) は、いくつかのプログラミング言語 ( Algol68、C、Java、Delphiなど) でintまたは Integer と表されます。

bignumsなどの可変長整数表現は、コンピュータのメモリに収まる任意の整数を格納できます。その他の整数データ型は、固定サイズで実装され、通常は 2 の累乗 (4、8、16 など) のビット数、または覚えやすい小数桁数 (9 または 10 など) になります。

基数

整数の集合は可算無限であり、各整数を一意の自然数と組み合わせることが可能である。そのような組み合わせの例は次の通りである。

(0, 1)、(1, 2)、(-1, 3)、(2, 4)、(-2, 5)、

(3, 6)、. . . 、(1 - k 、2 k - 1)、(k 、2 k)、. . .

より技術的には、の濃度は $ℵ$ $0$ (アレフゼロ)に等しいと言われます。との要素間のペアリングは、全単射と呼ばれます。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

参照

脚注

^ より正確には、各システムは次のシステムに埋め込まれ、部分集合に同型にマッピングされます。 ^[5]一般的に想定される集合論的包含は、実数を構築し、以前の構築を破棄し、他の集合を実数の部分集合として定義することによって得られます。^[6]このような慣習は「選択の問題」ですが、そうではありません。^[7]

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[17] リーズ大学評論。第31～32巻。リーズ大学。1989年。46ページ。ちなみに、Zは「Zahl」に由来しており、この表記法はヒルベルトによって考案されました。

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