ガロア接続

数学、特に順序理論において、ガロア接続とは、2 つの半順序集合(poset)間の (典型的には) 特定の対応関係のことです。ガロア接続は、さまざまな数学理論に応用されています。ガロア接続は、フランスの数学者エヴァリスト・ガロアによって発見された、部分群と部分体間の対応関係に関するガロア理論の基本定理を一般化したものです。

ガロア接続は、順序付き集合またはクラスにも定義できます。この記事では、一般的なケースである半順序集合について説明します。文献には、「ガロア接続」の 2 つの密接に関連した概念が含まれています。この記事では、これらを(単調) ガロア接続と反調ガロア接続と呼びます。

ガロア接続は、関係する半順序セット間の順序同型性に比べるとかなり弱いですが、以下に説明するように、すべてのガロア接続は特定のサブ半順序セットの同型性を生じます。ガロア対応という用語は、単射 ガロア接続を意味するために使用されることがあります。これは単に順序同型性(または、単調ガロア接続を取るか反調ガロア接続を取るかに応じて、双対順序同型性) です。

( A , ≤ )と( B , ≤)を2つの半順序集合とする。これらの半順序集合間の単調ガロア接続は2つの単調^[1] 関数F  : A → BとG  : B → A から成り、AのすべてのaとBのすべてのbに対して、

F ( a ) ≤ bであるのは、 a ≤ G ( b )の場合に限ります 。

この場合、F はGの下の随伴関数と呼ばれ、G はFの上の随伴関数と呼ばれます。記憶法では、上/下という用語は、関数の適用が ≤ を基準にしてどこに現れるかを指します。^{[2] 「随伴関数」という用語は、単調なガロア接続が、以下でさらに説明するように、}カテゴリ理論における随伴関数のペアの特殊なケースであるという事実を指します。ここで使用される他の用語は、下（それぞれ上）随伴関数の左随伴（それぞれ右随伴）です。

ガロア接続の本質的な性質は、ガロア接続の上部/下部の随伴が他方を 一意に決定することです。

F ( a ) は最小の要素である〜b a ≤ G ( )の場合〜b）、 そして

G ( b ) は最大の要素である〜1つのF （​〜1つの) ≤ b。

この結果、FまたはGが全単射である場合、それぞれは他方の逆、つまりF = G ^{−1 に}なります。

下側随伴関数Fと上側随伴関数Gを持つガロア接続が与えられている場合、関連する閉包演算子として知られる合成 GF  : A → Aと、関連するカーネル演算子として知られる合成FG  : B → B を検討することができます。どちらも単調かつべき等であり、Aのすべてのaに対してa ≤ GF ( a )が成り立ち、Bのすべてのbに対してFG ( b ) ≤ b が成り立ちます。

BからAへのガロア挿入は、核演算子FG がB上の単位元となるガロア接続であり、したがってG はAの閉元の集合GF  [ A ]上へのBの順序同型である。^[3]

上記の定義は今日多くの応用で一般的であり、格子理論と領域理論で顕著である。しかし、ガロア理論における元の概念は少し異なる。この別の定義では、ガロア接続は、 2つの半集合AとBの間の、逆トーン、つまり順序​​反転関数のペアF  ：A → BとG  ：B → Aであり、

b ≤ F ( a )であるのは、 a ≤ G ( b )の場合に限ります。

このバージョンでは、 FとGの対称性により、上と下の区別がなくなり、2つの関数は随伴関数ではなく極性と呼ばれます。^[4]各極性は、他の極性を一意に決定します。

F ( a ) はa ≤ G ( b )を満たす最大の要素bであり、

G ( b )はb≤F(a )を満たす最大の要素aである。

合成GF  : A → AとFG  : B → Bは関連する閉包演算子であり、Aのすべてのaに対してa ≤ GF ( a ) という性質とBのすべてのbに対してb ≤ FG ( b ) という性質を持つ単調冪等写像である。

ガロア接続の 2 つの定義の意味は非常に似ています。これは、 AとB の間の反トーン ガロア接続が、 AとBの位数双対 B ^opの間の単調なガロア接続にすぎないためです。したがって、ガロア接続に関する以下のすべての記述は、反トーン ガロア接続に関する記述に簡単に変換できます。

関数のペアと互いの逆関数の全単射は、次のように (自明な) ガロア接続を形成します。等式関係は反射的、推移的、反対称的であるため、自明に半順序となり、半順序集合とを作成します。の場合に限り、ガロア接続があるためです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X,}$${\displaystyle (X,=)}$${\displaystyle (Y,=)}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle x=g(y),}$

整数の集合と実数の集合との間の単調なガロア接続は、それぞれ通常の順序で、整数を実数に埋め込む通常の関数と、実数をそれ以下の最大の整数に切り捨てる床関数によって与えられます。整数の埋め込みは通常は暗黙的に行われますが、ガロア接続を示すために明示的に行います。したがって、埋め込み関数を で表し、床関数を で表すと、同値は次のように変換されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle F:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle F(n)=n\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle G(x)=\lfloor x\rfloor .}$${\displaystyle F(n)\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq G(x)}$

${\displaystyle n\leq x~\Leftrightarrow ~n\leq \lfloor x\rfloor .}$

これは、変数が整数に制限されているため有効です。床関数のよく知られた特性、たとえば、このガロア接続からの基本的な推論によって導くことができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n,}$

双対順序付けにより、天井関数を伴う別の単調なガロア接続が得られます。

${\displaystyle x\leq n~\Leftrightarrow ~\lceil x\rceil \leq n.}$

順序論的な例として、U を何らかの集合とし、AとB を両方ともUの包含順に並べたべき集合とします。Uの固定された部分集合L を選びます。すると、写像FとG（ここでF ( M  ) = L ∩ M、G ( N  ) = N ∪ ( U  \  L ) ）は単調なガロア接続を形成し、Fは下側随伴です。下側随伴が meet ( infimum ) 演算によって与えられる同様のガロア接続は、任意のHeyting 代数で見つけることができます。特に、これは任意のブール代数に存在し、2 つの写像がF ( x ) = ( a ∧ x )およびG (  y ) = (  y ∨ ¬ a ) = ( a ⇒ y )で記述できます。論理的に言うと、「 aからの含意」は「 aとの連言」の上側随伴です。

ガロア接続のさらに興味深い例は、完全性特性に関する記事で説明されています。大まかに言えば、通常の関数 ∨ と ∧ は、対角写像 X → X × Xの下側および上側随伴関数であることがわかります。半順序の最小および最大要素は、一意の関数X → {1} の下側および上側随伴関数によって与えられます。さらに、完全な格子でさえ、適切な随伴関数の存在によって特徴付けることができます。これらの考察は、順序理論におけるガロア接続の遍在性についていくらかの印象を与えます。

Gが Xに対して推移的に作用し、 X内の点xを選ぶとします。

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\subseteq X:x\in B;\forall g\in G,gB=B\ \mathrm {または} \ gB\cap B=\emptyset \},}$

x を含むブロックの集合。さらに、xの安定群を含むGの部分群で構成されるとします。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

そして、対応は次の通りです。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle B\mapsto H_{B}=\{g\in G:gx\in B\}}$

は単調な一対一のガロア接続である。^[5]系として、二重推移的作用には自明なブロック（シングルトンまたはX全体）以外のブロックがないことが証明できる。これは、その場合、安定化因子がGで最大であることから従う。詳細については、 二重推移群を参照。

f  : X → Yが関数である場合、Xの任意の部分集合Mに対して像F ( M  ) =   f M = {  f  ( m ) | m ∈ M }を形成でき、 Yの任意の部分集合Nに対して逆像G ( N  ) =   f ⁻¹ N = { x ∈ X |   f  ( x ) ∈ N }を形成できます。すると、FとG は、どちらも包含 ⊆ によって順序付けられた、 Xの冪集合とYの冪集合の間の単調なガロア接続を形成します。この状況には、さらに随伴ペアが存在します。 XのサブセットMに対して、H ( M ) = { y ∈ Y |   f ⁻¹ { y } ⊆ M } を定義します。すると、GとH は、Yの冪集合とXの冪集合の間の単調なガロア接続を形成します。最初のガロア接続では、G は上部の随伴関数ですが、2 番目のガロア接続では下部の随伴関数として機能します。       

代数的対象（群など）間の商写像の場合、この接続は格子定理と呼ばれます。G のサブグループはG / Nのサブグループに接続し、 Gのサブグループ上の閉包演算子はH = HNで与えられます。

基底集合を持つ数学的対象X、たとえば群、環、ベクトル空間などを選びます。Xの任意の部分集合Sについて、Sを含むXの最小の部分対象F ( S  )、つまりSによって生成される部分群、部分環、または部分空間とします。Xの任意の部分対象Uについて、Uの基底集合G ( U  )とします。( X を位相空間とし、Sの閉包をF ( S  )とし、 Xの閉じた部分集合を「Xの部分対象」とすることもできます。) ここで、FとG は、両方が包含によって順序付けられている場合、 Xの部分集合とXの部分対象の間に単調なガロア接続を形成します。Fは下側の随伴です。

ウィリアム・ローヴェア^[6]の非常に一般的なコメントは、統語論と意味論は随伴であるというものである。Aを、強さの逆順に並べたすべての論理理論（公理化）の集合とし、 Bをすべての数学的構造の集合のべき集合とする。理論T∈Aについて、Mod( T  )を公理 Tを満たすすべての構造の集合とする 。数学的構造の集合S∈Bについて、Th(S)をSを近似する公理化の最小値とする（一階述語論理では、これはS内のすべての構造において真である文の集合である）。すると、Th( S  )がTを論理的に含意する場合に 限り、 SはMod ( T  )のサブセットであると言える。つまり、「意味論関数」Modと「統語論関数」Thは単調なガロア接続を形成し、意味論は上部随伴となる。

動機となる例はガロア理論から来ています。L / K が体の拡大であると仮定します。A を、 K を含むLのすべての部分体の集合とし、包含 ⊆ によって順序付けられます。E がそのような部分体である場合、Eを固定したLの体自己同型の群をGal( L / E )と書きます。 B を、包含 ⊆ によって順序付けられているGal( L / K )の部分群の集合とします。そのような部分群Gに対して、Fix( G ) を、Gのすべての元によって固定されたLのすべての元からなる体として定義します。すると、写像E ↦ Gal( L / E )とG ↦ Fix( G )は、反トーンガロア接続を形成します。

同様に、経路連結 位相空間 Xが与えられたとき、基本群 π ₁ ( X )の部分群とXの経路連結被覆空間との間には反トーンガロア接続が存在します。特に、Xが半局所的に単連結である場合、π ₁ ( X )のすべての部分群Gに対して、 Gを基本群とする被覆空間が存在します。

内積空間 Vが与えられれば、 Vの任意の部分空間Xの直交補集合 F ( X  )を形成できる。これにより、包含順に並べられたVの部分空間の集合とそれ自体の間に逆調ガロア接続が生成され、両方の極性がFに等しくなる。

ベクトル空間 VとVのサブセットXが与えられたとき、その消滅子F ( X  )を定義できます。これは、 Xで消滅するVの双対空間V ^∗のすべての要素で構成されます。同様に、 V ^∗のサブセットYが与えられたとき、その消滅子G ( Y  ) = {  x ∈ V | φ ( x ) = 0 ∀ φ ∈ Y  } を定義します。これにより、 VのサブセットとV ^∗のサブセットの間に反トーンガロア接続が得られます。    

代数幾何学では、多項式の集合とその零集合の関係は反音ガロア接続である。

自然数 nと体 Kを固定し、Aを多項式環 K [ X ₁ , ..., X _n ]の包含⊆順の部分集合全体の集合とし、Bを包含⊆順のK ⁿの部分集合全体の集合とする。Sが多項式の集合である場合、零点の 多様体を次のように定義する。

${\displaystyle V(S)=\{x\in K^{n}:f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in S\},}$

Sの多項式の共通零点の集合。U がK ⁿの部分集合である場合、I ( U  ) をU上で消える多項式のイデアルとして定義する。 

${\displaystyle I(U)=\{f\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in U\}.}$

すると、VとI は反音ガロア接続を形成します。

K ⁿ上の閉包はザリスキ位相における閉包であり、体Kが代数的に閉じている場合、多項式環上の閉包はSによって生成されるイデアルの根基です。

より一般的には、可換環 R (必ずしも多項式環ではない) が与えられた場合、環内の根基イデアルとアフィン多様体 Spec ( R )のザリスキ閉集合との間には反トーンガロア接続が存在する。

より一般的には、環のイデアルと対応するアフィン多様体のサブスキームの間には反トーンガロア接続が存在します。

XとY が任意の集合で、XとY上の二項関係 Rが与えられているとする。 Xの任意の部分集合Mに対して、F ( M  ) = {  y ∈ Y | mRy ∀ m ∈ M  } と定義する。同様に、 Yの任意の部分集合Nに対して、G ( N  ) = {  x ∈ X | xRn ∀ n ∈ N  } と定義する。すると、FとG は、XとYの冪集合間の逆トーンガロア接続を生成し、両方とも包含⊆によって順序付けられる。^[7]

同型性まで、冪集合間のすべての反トーンガロア接続はこのようにして生じる。これは「概念束の基本定理」に従う。^{[8]二項関係から生じるガロア接続の理論と応用は、}形式概念分析で研究されている。この分野では、数学的データ解析にガロア接続が使用される。ガロア接続のアルゴリズムの多くは、それぞれの文献に記載されている。^[9]

一般的な概念格子の原始バージョンでは、単調ガロア接続と反調ガロア接続の両方が組み込まれており、それぞれ概念格子のノードの上限と下限を提供します。^[10]

以下では、（単調な）ガロア接続f = (  f ^∗ ,   f _∗ )を考えます。ここで、f ^∗  : A → B は、上で紹介したように下側随伴です。いくつかの役に立ち、教育的な基本的性質がすぐに得られます。ガロア接続の定義特性により、f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( x )は、 Aのすべてのxに対して、 x ≤   f _∗ (  f ^∗ ( x ))と同等です。同様の推論により（または単に順序理論の双対性原理を適用することにより）、Bのすべてのyに対して、 f ^∗ (  f _∗ ( y )) ≤ y であることがわかります。これらの特性は、合成f ^∗ ∘  f _{∗ が}デフレ型であるのに対し、f _∗ ∘  f ^{∗ は}インフレ型（または拡がり型）であると説明できます。               

ここで、 x , y ∈ Aであって、 x ≤ yであるものを考えます。上記を使用すると、 x ≤   f _∗ (  f  ^∗ ( y ))が得られます。ガロア接続の基本特性を適用すると、f ^∗ ( x ) ≤   f ^∗ ( y )と結論付けることができます。しかし、これは単にf ^{∗ が}任意の 2 つの要素の順序を保存すること、つまり単調であることを示しているだけです。また、同様の推論により、f _∗の単調性が得られます。したがって、定義に単調性を明示的に含める必要はありません。ただし、単調性について言及すると、ガロア接続の 2 つの代替概念に関する混乱を避けるのに役立ちます。       

ガロア接続のもう一つの基本的性質は、 Bの任意のxに対してf _∗ (  f ^∗ (  f _∗ ( x ))) =   f _∗ ( x )であるという事実である。明らかに、   

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≥   f _∗ ( x )。

なぜなら、 f _∗ ∘  f ^{∗ は}上記のようにインフレーション型であるからである。一方、f ^∗ ∘  f _{∗ は}デフレ型であるのに対し、f _{∗ は}単調であるため、      

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x ))) ≤   f _∗ ( x )。

これは望ましい等式を示しています。さらに、この性質を利用して、

 f  ^∗ (  f _∗ (  f  ^∗ ( x )  )))   ₌ f ∗ ⁽ f  ∗ ₍ x ) ) 

そして

 f _∗ (  f  ^∗ (  f _∗ ( x )  )))   ⁼ f  ∗ ₍ f  ∗ ⁽ x ) ) 

つまり、f ^∗ ∘  f _∗とf _∗ ∘  f ^∗は冪等です。     

関数f が下側（上側）随伴関数である場合、かつその場合に限り、関数fが残余写像（残余写像）であることが示されます（証明については Blyth または Erné を参照） 。したがって、残余写像と単調ガロア接続の概念は本質的に同じです。     

上記の知見は次のようにまとめられる。ガロア接続の場合、合成f _∗ ∘  f ^{∗ は}単調（単調関数の合成）、インフレーション、および冪等である。これは、 f _∗ ∘  f ^∗が実際にA上の閉包演算子であることを示す。双対的に、f ^∗ ∘  f _{∗ は}単調、デフレーション、および冪等である。このようなマッピングはカーネル演算子と呼ばれることもある。フレームと局所のコンテキストでは、合成f _∗ ∘  f ^{∗ は}fによって誘導される核と呼ばれる。核はフレーム準同型を誘導し、局所のサブセットは核によって与えられる場合サブ局所と呼ばれる。           

逆に、ある poset A上の任意の閉包演算子c は、下側随伴関数f ^∗がc の cの像への共制限（つまり、閉包システムc ( A )の射影写像）であるガロア接続を生じます。上側随伴関数f _∗は、 c ( A )をAに含めることによって与えられ、各閉要素をAの要素としてそれ自体に写します。このように、閉包演算子とガロア接続は密接に関連しており、それぞれが他方のインスタンスを指定することがわかります。カーネル演算子についても同様の結論が当てはまります。    

上記の考察は、Aの閉じた要素（ f _∗ (  f ^∗ ( x )) = xとなる要素x ）がカーネル演算子f ^∗ ∘  f _∗の範囲内の要素にマッピングされ、その逆も同様であることも示しています。     

ガロア接続のもう 1 つの重要な特性は、下側随伴関数がそのドメイン内に存在するすべての上限を保存することです。また、上側随伴関数は既存のすべての下限を保存します。これらの特性から、随伴関数の単調性もすぐに結論付けることができます。順序理論の随伴関数定理は、逆の含意が特定のケースでも有効であると述べています。特に、すべての上限を保存する完全格子間のマッピングは、ガロア接続の下側随伴関数です。

このような状況では、ガロア接続の重要な特徴は、一方の随伴が他方の随伴を一意に決定することです。したがって、上記のステートメントを強化して、完全格子間の任意の上限保存マップが一意のガロア接続の下の随伴であることを保証できます。この一意性を導く主な特性は次のとおりです。Aのすべてのxに対して、f ^∗ ( x )は、 x ≤   f _∗ ( y )となるBの最小の元yです。双対的に、Bのすべてのyに対して、f _∗ ( y )は、 f ^∗ ( x ) ≤ yとなるAの最大xです。特定のガロア接続の存在は、対応する半順序集合が完全性特性を満たすかどうかに関係なく、それぞれの最小元または最大元が存在することを意味します。したがって、ガロア接続の 1 つの上随伴が与えられた場合、他の上随伴をこの同じ特性を介して定義できます。      

一方、ある単調関数f が下側随伴関数となるのは、形式{  x ∈ A |   f  ( x ) ≤ b  }の各集合（ b はBに含まれる）に最大元が含まれる場合のみです。これも、上側随伴関数に対して双対化できます。   

ガロア接続は、半集合間のマッピングの興味深いクラスも提供し、これを使用して半集合のカテゴリを取得できます。特に、ガロア接続を合成することができます。半集合AとB の間のガロア接続(  f  ^∗、   f _∗ )と、 BとCの間のガロア接続( g ^∗、g _∗ )が与えられれば、合成( g ^∗ ∘   f ^∗、   f _∗ ∘ g _∗ )もガロア接続です。完全格子のカテゴリを考えるとき、これはすべての上限 (または下限) を保存するマッピングのみを考慮することに簡略化できます。完全格子をその双対にマッピングすると、これらのカテゴリは自己双対性を示します。これは、他の双対定理を取得するために非常に重要です。他の方向への随伴マッピングを誘導するより特殊な種類の射は、フレーム(またはロケール)に対して通常考慮される射です。  

すべての半順序集合は、自然な方法でカテゴリとして見ることができます。つまり、 x ≤ yの場合にのみ、xからyへの一意の射が存在します。単調なガロア接続は、半順序集合から生じる 2 つのカテゴリ間の随伴関数のペアに他なりません。このコンテキストでは、上部随伴は右随伴であり、下部随伴は左随伴です。ただし、この用語はガロア接続では避けられています。これは、ポセットが双対的な方法、つまり、射が反対方向を指す方法でカテゴリに変換された時代があったためです。これにより、左随伴と右随伴に関する補足表記法が生まれましたが、これは今日ではあいまいです。

ガロア接続は、プログラミング言語の抽象解釈理論において、多くの抽象化形式を記述するために使用されることがある。^{[11] [12]}

以下の書籍と調査記事には、単調定義を使用したガロア接続が含まれています。

• Brian A. Davey とHilary A. Priestley :格子と秩序入門、ケンブリッジ大学出版局、2002 年。
• Gerhard Gierz、Karl H. Hofmann、Klaus Keimel、Jimmie D. Lawson、Michael W. Mislove、Dana S. Scott : Continuous Lattices and Domains、ケンブリッジ大学出版局、2003 年。
• Marcel Erné、Jürgen Koslowski、Austin Melton、George E. Strecker、「ガロア接続の入門書」、『1991 年夏季一般位相幾何学および応用会議、Mary Ellen Rudin と彼女の業績を記念する会議議事録』、Annals of the New York Academy of Sciences、第 704 巻、1993 年、pp. 103–125。(さまざまなファイル形式 PS.GZ PS でオンラインで無料で入手できます。この分野で発生したさまざまな表記法や定義に関する注釈だけでなく、多くの例と結果も示されています。)

元の（反音）定義を使用しているいくつかの出版物:

• Mac Lane, Saunders (1998 年 9 月)。Categories for the Working Mathematician (第 2 版)。Springer。ISBN 0-387-98403-8。
• Thomas Scott Blyth、「Lattices and Ordered Algebraic Structures」、Springer、2005年、ISBN 1-85233-905-5。 
• Nikolaos Galatos、Peter Jipsen、Tomasz Kowalski、小野博明 (2007)、Residuated Lattices。 「An Algebraic Glimpse at Substructural Logics」、エルゼビア、ISBN 978-0-444-52141-5。 
• ギャレット・バーコフ：格子理論、アメリカ数学協会出版、第25巻、1940年
• オーレ、オイステイン（1944）、「ガロア接続」、アメリカ数学会誌、55（3）：493–513、doi：10.2307/1990305、JSTOR  1990305