一般概念格子

図1：同じ3BSを記述する 3 つの形式的コンテキストから得られた 3 つの異なる形式的概念格子 (FCL)。ここで、ボールは 3 つの異なる色で装飾されている。

一般概念格子（GCL）は、形式的文脈から概念階層の新しい一般的な構築を提案しており、従来の形式概念分析（FCA）に基づく形式概念格子は部分構造としてのみ機能します。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

形式コンテキストは、属性を持つオブジェクトがどのように扱われるかを示す異種関係のデータテーブルです。真理値表との類推により、すべての形式コンテキストは、与えられた属性セットからブール演算によって構築された属性に対応するすべての列を含む、完全に拡張されたバージョンを開発できます。GCLは、形式コンテキストが一貫して意味するべきものをすべて取り込むという意味で、形式コンテキストの完全な情報内容を包含する拡張形式コンテキストに基づいています。注目すべきは、異なる形式コンテキストが同じ拡張形式コンテキストを生み出す可能性があることです。^{[ 4 ]}

背景

GCL ^[⁴^]は、情報内容の保存のための拡張された形式的コンテキストを考慮に入れていると主張しています。たとえば、3 つの異なる色を持つ 3 つのボールシステム (3BS) を記述することを考えてみましょう。 $a:=$ 赤、 $b:=$ 緑と $c:=$ 青。表1によれば、例えば、異なる属性セットを参照することができる。 ${\textstyle M=\{a,b,c\}}$ 、 ${\textstyle M_{1}=\{a\ {\bf {or}}\ b,b\ {\bf {or}}\ c,c\ {\bf {or}}\ a\}}$ または ${\textstyle M_{2}=\{a\ {\bf {or}}\ b,b\ {\bf {or}}\ c,c\}}$ さまざまな形式的文脈に到達するため。3BSの概念階層は、3BSがどのように記述されるかに関わらず、一意であるべきである。しかしながら、FCAは、3BSに選択された形式的コンテキストに応じて異なる形式概念格子を示します（図1参照）。一方、GCLは、これらの形式的コンテキストに関して不変の格子構造であり、互いに推論することができ、最終的には同じ情報内容を含みます。

情報科学において、形式概念分析（FCA）は、以下の基本的な特性に基づき、様々な分野での実用的な応用が期待されています。

これは形式概念を階層構造、すなわち形式概念格子（FCL）として整理するものであり、線図として視覚化することができ、データの理解に役立つ可能性がある。
これにより、属性探索^{[ 5 ]}、含意に基づく知識獲得技術が可能になります。正規（ギグス＝デュケンヌ^{[ 6 ]} ）基底、つまり形式的文脈から得られる有効な含意をアームストロング規則によって導出できる、冗長性のない情報含意の集合を取得することが可能です。

FCL は、データテーブルの解釈に適用できる唯一の格子ではないようです。ラフセット分析に関連する概念に基づいて、異なる導出演算子に従う代替概念格子も提案されています。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}特に、オブジェクト指向概念格子^{[ 9 ]は、以降ラフセット格子}^{[ 4 ]} (RSL)と呼ばれ、形式的コンテキストのさらなる理解において標準 FCA を補完するのに特に役立つことがわかりました。

FCLはオブジェクトクラスの共通特性に基づいて分類を示し、RSLは他のクラスが持たない特性に基づいて分類を示します。
RSLは、後述するように、形式的文脈から得られる含意のうち、FCLの範囲を超えるものに対する代替的な枠組みを提供する。

したがって、検討すべき重要な点が2つある。

FCLとRSLは、同じ形式的文脈を補完的に解釈する異なる概念階層を反映している。しかし、FCLの場合と同様に、RSLも選択された形式的文脈に応じて異なる格子構造を持つという問題がある（図2参照）。
RSLを用いて形式的文脈から抽出された含意関係は、FCLを用いて抽出できる含意関係とは異なる論理内容を示している。RSLによる処理には、RSLのギグ＝デュケンヌ基礎という、さらなる構築作業が必要となる。さらに、これら二つの含意を合わせれば論理内容全体を網羅できると考えるのは妥当ではない。
図2：図1に示すように、3BSを記述する同じ3つの形式的文脈から得られた3つの異なるラフセット格子。

GCLは、形式的コンテキストから得られる概念階層の健全な理論的基盤を実現します。^{[ 4 ]}情報を保持する一般性を維持することで、GCL は、特定の制約におけるサブ構造に対応する FCL と RSL の両方の基礎となります。技術的には、GCL は、参照される属性セット内の要素の論理積と論理和に制限すると、FCL と RSL に縮小されます ( $M$ それぞれ、)。さらに、GCLはFCLとRSLによる結果を補完する追加情報も明らかにします。驚くべきことに、GCLによる形式的コンテキストの実装は、FCLとRSLによる実装よりもはるかに扱いやすいです。

一般概念格子の取得

数学的事実に基づく考察

単一属性の観点からの意図

FCLとRSLの意図が単一の属性として解釈される場合、FCLとRSLは変更されません。^{[ 4 ]}

 $(X,Y)_{fcl}$ 次のように理解できます $(X,\mu )_{fcl}$ と ${\textstyle \mu =\prod Y}$ （すべての要素の結合） $Y$ ) $\ {\begin{smallmatrix}\prod X^{I}=\mu \\\mu ^{R}=X\end{smallmatrix}}$ の役割を果たす ${\begin{smallmatrix}X^{I}=Y\\Y^{I}=X\end{smallmatrix}}$ 以来 ${\textstyle Y^{I}=(\prod Y)^{R}=\mu ^{R}\subseteq G}$ 。

 $(X,Y)_{rsl}$ 次のように理解できます $(X,\mu )_{rsl}$ と ${\textstyle \mu =\sum Y}$ （すべての要素の論理和） $Y$ ) $\ {\begin{smallmatrix}\sum X^{\Box }=\mu \\\mu ^{R}=X\end{smallmatrix}}$ の役割を果たす ${\begin{smallmatrix}X^{\Box }=Y\\Y^{\Diamond }=X\end{smallmatrix}}$ 以来 ${\textstyle Y^{\Diamond }=(\sum Y)^{R}=\mu ^{R}\subseteq G}$ 。

ここで、ドット積 ${\textstyle \cdot \ (\prod )}$ は、論理積（簡潔にするためにドットは省略されることが多い）と総和を表します。 ${\textstyle +\ (\sum )}$ カリー・ハワード式の表記法である選言。順序付けは次のようになることに注意してください。

 $(X_{1},\mu _{1})_{fcl}\leq (X_{2},\mu _{2})_{fcl}$ そして $(X_{1},\mu _{1})_{rsl}\leq (X_{2},\mu _{2})_{rsl}$ 両方とも実装されています ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$  ${\textstyle \iff }$  ${\textstyle \mu _{1}\leq \mu _{2}}$ 。

単一属性から単一属性への影響

形式的な文脈から抽出された意味合いに関して、

 $\mu _{1}\rightarrow \mu _{2}$ これは、形式的な文脈から得られる含意関係の一般形として機能し、任意のペアに対して成り立つ。 ${\textstyle \mu _{1},\mu _{2}\in M^{\ast }}$ 充実感 $\mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}$ 。

ご了承ください $\mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}$ 些細なことだと判明する $\mu _{1}\leq \mu _{2}$ それは、 $\mu _{1}=\mu _{1}\cdot \mu _{2}$ 直感的に、^{[ 4 ]} すべての物体は $\mu _{1}$ 運ぶ物体 $\mu _{2}$ つまり、その特性を持つオブジェクトは $\mu _{1}$ 不動産も所有している必要がある $\mu _{2}$ 。特に、

 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ 次のように解釈できます $\mu _{1}\rightarrow \mu _{2}$ と ${\textstyle \mu _{1}=\prod A}$ そして ${\textstyle \mu _{2}=\prod B}$ 、  ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 次のように解釈できます $\mu _{1}\rightarrow \mu _{2}$ と ${\textstyle \mu _{1}=\sum A}$ そして ${\textstyle \mu _{2}=\sum B}$ 、

どこ $A^{I}\subseteq B^{I}$ そして $A^{\Diamond }\subseteq B^{\Diamond }$ 崩壊して $\mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}$ 。

二重ガロア接続を持つ3タプル概念の格子

拡張すると ${\textstyle F^{\ast }(G,M^{\ast })}$ 微分演算子の代数は、一般化を除いて形式的には変化しない。 ${\textstyle m\in M}$ に ${\textstyle \mu \in M^{\ast }}$ これは^{[ 4 ]}置換によって示される $I{\mbox{ by }}I^{\ast }$ 、 $\Box {\mbox{ by }}\Box ^{\ast }$ そして $\Diamond {\mbox{ by }}\Diamond ^{\ast }$ 検討対象の概念は次のようになる。 ${\textstyle (X,Y)_{fcl}^{\ast }}$ そして ${\textstyle (X,Y)_{rsl}^{\ast }}$ 、どこ $X\subseteq G$ そして $Y\subseteq M^{\ast }$ これらは、 2 つのガロア接続によって許容される構成である。 $X\subseteq Y^{I^{\ast }}\iff Y\subseteq X^{I^{\ast }}$ そして ${\textstyle Y^{\Diamond ^{\ast }}\subseteq X\iff Y\subseteq X^{\Box ^{\ast }}}$ それぞれ。したがって、

 ${\textstyle X^{I^{\ast }}=Y}$ そして ${\textstyle Y^{I^{\ast }}=X}$ のために ${\textstyle (X,Y)_{fcl}^{\ast }}$ 、 ${\textstyle X^{\Box ^{\ast }}=Y}$ そして ${\textstyle Y^{\Diamond ^{\ast }}=X}$ のために ${\textstyle (X,Y)_{rsl}^{\ast }}$ 。

2 つの概念の範囲は完全に一致します。 ${\textstyle M^{\ast }}$ 正式な文脈でリストされている ${\textstyle F^{\ast }(G,M^{\ast })}$ それぞれがFCLとRSLに共通の範囲を提供します。さらに、これらの共通範囲のコレクション ${\textstyle E_{F}:=\{\mu ^{R}\mid \mu \in M^{\ast }\}}$ 相当する ${\textstyle \{\bigcup _{k\in J}D_{k}\mid J\subseteq \{1\ldots n_{F}\}\}}$ これは、形式的文脈によって識別可能な最小オブジェクト集合のすべての可能な和集合を網羅する。各 $D_{k}$ 同じプロパティを持つオブジェクトを収集します（表2を参照）。その後、参加することができます。 ${\textstyle (X,Y)_{fcl}^{\ast }}$ そして ${\textstyle (X,Y)_{rsl}^{\ast }}$ 共通の範囲を持つ3タプルに変換します。

 ${\textstyle (X,Y^{fcl\ast },Y^{rsl\ast })}$ どこ ${\textstyle X^{I^{\ast }}=Y^{fcl\ast }}$ 、 ${\textstyle X^{\Box ^{\ast }}={Y^{rsl\ast }}}$ そして ${\textstyle {Y^{fcl\ast }}^{I^{\ast }}={Y^{rsl\ast }}^{\Diamond ^{\ast }}=X}$ 。

ご了承ください ${\textstyle Y^{fcl\ast }{\mbox{ and }}Y^{rsl\ast }}$ 2 つの意図を区別するために導入されます。明らかに、これらの 3 タプルの数は、共通範囲の集合の濃度に等しくなります。 ${\textstyle |E_{F}|=2^{n_{F}}}$ 。さらに、 ${\textstyle (X,Y^{fcl\ast },Y^{rsl\ast })}$ 明確な順序付けを示している。 ${\textstyle X_{1},X_{2}\in E_{F}\subseteq G\ }$ 、どこ ${\textstyle {Y_{1}^{fcl\ast }},{Y_{2}^{fcl\ast }}\subset M^{\ast }}$ そして ${\textstyle {Y_{1}^{rsl\ast }},{Y_{2}^{rsl\ast }}\subset M^{\ast }}$ 、

 ${\textstyle (X_{1},{Y_{1}^{fcl\ast }},{Y_{1}^{rsl\ast }})\leq (X_{2},{Y_{2}^{fcl\ast }},{Y_{2}^{rsl\ast }})}$ もし ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$ そして ${\textstyle {Y_{2}^{fcl\ast }}\subseteq {Y_{1}^{fcl\ast }}}$ そして ${\textstyle {Y_{1}^{rsl\ast }}\subseteq {Y_{2}^{rsl\ast }}}$ 。

GCLの出現

一般的に判断することは不可能ですが ${\textstyle Y^{fcl\ast }{\mbox{ and }}Y^{rsl\ast }}$ 対象 ${\textstyle X\in E_{F}\subseteq G}$ 概念階層の構造は、これらの意図に直接依存する必要はありません。概念階層を実装する効率的な方法^{[ 4 ]} ${\textstyle (X,Y^{fcl\ast },Y^{rsl\ast })}$ 意図を単一の属性の観点から考えることである。

今後は ${\textstyle \eta (X):=\prod Y^{fcl\ast }}$ そして ${\textstyle \rho (X):=\sum Y^{rsl\ast }}$ 紹介すると ${\textstyle [X]_{F}:=\{\mu \in M^{\ast }\mid \mu ^{R}=X\}}$ 確認してみると ${\textstyle \prod [X]_{F}=\prod Y^{fcl\ast }}$ そして ${\textstyle \sum [X]_{F}=\sum Y^{rsl\ast }}$ 、 ${\textstyle \forall X\in E_{F}}$ 。したがって、

 ${\textstyle [X]_{F}\equiv [\eta (X),\rho (X)]=\{\mu \in M^{\ast }\mid \eta (X)\leq \mu \leq \rho (X)\}}$ 、

これは、下から境界が定められている閉区間です。 ${\textstyle \eta (X)}$ そして上から ${\textstyle \rho (X)}$ 以来 $\forall \mu \ \mu ^{R}=X\implies \eta (X)\leq \mu \leq \rho (X)$ 。さらに、

 ${\textstyle \forall X_{1}\forall X_{2}\in E_{F}\ X_{1}\neq X_{2}}$ もし ${\textstyle [X_{1}]_{F}\cap [X_{2}]_{F}=\emptyset }$ 、 ${\textstyle X_{1}\subset X_{2}}$ もし ${\textstyle \eta (X_{1})<\eta (X_{2})}$ もし ${\textstyle \rho (X_{1})<\rho (X_{2})}$ 。

加えて、 ${\textstyle \bigcup _{X\in E_{F}}[X]_{F}=M^{\ast }}$ すなわち、意図の集合 ${\textstyle [X]_{F}}$ 一般化された属性をすべて使い果たす ${\textstyle M^{\ast }}$ と比較して ${\textstyle \bigcup _{X\in E_{F}}X=G}$ すると、GCLが格子構造として現れる。 ${\textstyle \Gamma _{F}:=(L_{F},\wedge ,\vee )}$ 形式的な文脈に基づいて ${\textstyle F^{\ast }(G,M^{\ast })}$ :

すべての一般的な概念の集合 ${\textstyle L_{F}=\{(X,[X]_{F})\mid \ X\in E_{F}\}}$ 半順序集合を構成する ${\textstyle (L_{F},\leq )}$ 注文しました

 ${\textstyle l_{1}:=(X_{1},[X_{1}]_{F})\leq l_{2}:=(X_{2},[X_{2}]_{F})}$ もし ${\textstyle X_{1}\subseteq X_{2}}$ そして ${\textstyle \eta (X_{1})\leq \eta (X_{2})}$ そして ${\textstyle \rho (X_{2})\leq \rho (X_{2})}$ 。

両方 $\wedge$ （会う）そして $\vee$ （結合）操作は、さらに格子点を見つけるために適用できます。

 $l_{1}\wedge l_{2}=\left(X_{1}\cap X_{2},[X_{1}\cap X_{2}]_{F}\right)\in L_{F}$ 、 どこ ${\textstyle [X_{1}\cap X_{2}]_{F}=[\eta (X_{1}\cap X_{2}),\rho (X_{1}\cap X_{2})]=[\eta (X_{1})\cdot \eta (X_{2}),\rho (X_{1})\cdot \rho (X_{2})],}$

 ${\textstyle l_{1}\vee l_{2}=\left(X_{1}\cup X_{2},[X_{1}\cup X_{2}]_{F}\right)\in L_{F}}$ 、 どこ ${\textstyle [X_{1}\cup X_{2}]_{F}=[\eta (X_{1}\cup X_{2}),\rho (X_{1}\cup X_{2})]=[\eta (X_{1})+\eta (X_{2}),\rho (X_{1})+\rho (X_{2})].}$

GCLは完全な格子であるように見える。なぜなら両方とも ${\textstyle l_{sup}}$ そして ${\textstyle l_{inf}}$ 見つけることができる ${\textstyle L_{F}}$ :

 ${\textstyle l_{sup}=\bigvee _{l\in L_{F}}l=(G,[G]_{F})=(G,[\eta (G),{\bf {1}}])}$ 、 ${\textstyle l_{inf}=\bigwedge _{l\in L_{F}}l=(\emptyset ,[\emptyset ]_{F})=(\emptyset ,[{\bf {0}},\rho (\emptyset )])}$ 。

一般概念格子の結果

管理しやすい一般的な格子

FCL の構築は効率的なアルゴリズムに依存することが知られており、^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} RSL の構築については言うまでもなく、まだあまり注目されていません。興味深いことに、GCL はFCL と RSL の両方を再発見できる一般的な構造を提供しますが、GCL は単純な読み出しによって取得できます。

格子を読み出す

GCL ^{[ 4 ]}の完了は、下限と境界に関してGCLの意図の完了と同等です。

下限値 ${\textstyle (\eta (X){\mbox{ for }}X\in E_{F})}$ 上限値を決定するために使用できる ${\textstyle (\rho (X){\mbox{ for }}X\in E_{F})}$ 、そしてその逆もまた然り。具体的には、 ${\textstyle X}$ そして ${\textstyle X^{c}}$ GCLの範囲は、 ${\textstyle (X,[X]_{F})=(X,[\eta (X),\rho (X)])}$ 共存する ${\textstyle (X^{c},[X^{c}]_{F})}$ ${\textstyle =(X^{c},[\eta (X^{c}),\rho (X^{c})])}$ 続いて、 ${\textstyle \eta (X^{c})=\neg \rho (X)}$ そして ${\textstyle \neg \eta (X)=\rho (X^{c})}$ 、どこ ${\textstyle \eta (X^{c})=\neg \rho (X)\iff \neg \eta (X)=\rho (X^{c})}$ 。
最小識別可能オブジェクトセットに対応する意図の下限（ ${\textstyle D_{k}}$ s は ${\textstyle 1\leq k\leq n_{F}}$ ）は、すべての意図を判断するために使用できます。 ${\textstyle D_{k}\in E_{F}}$ そして ${\textstyle \eta (D_{k})=\prod \Psi ^{k}}$ 直接読み取りによるものと思われる ${\textstyle \Psi ^{k}=\lbrace m\in M\mid m\in D_{k}^{I}\rbrace \cup \lbrace \neg m\mid m\not \in D_{k}^{I},m\in M\rbrace }$ 。

図3：形式的なコンテキストに従って、 3BSの **GCL上のFCLとRSLを識別する** ${\textstyle F(G,M)}$ 表1において。すべての一般的な意図 ${\textstyle [X]_{F}}$ オブジェクトセットが独自に持つすべての属性を含む ${\textstyle X}$ 共通点。 ${\textstyle [X]_{F}}$ 閉区間と識別可能なハッセ図として注文することができる ${\textstyle [\eta (X),\rho (X)]}$ どこ ${\textstyle \rho (X)=\eta (X)+0_{\rho }}$ 。

図3：形式的なコンテキストに従って、 3BSの **GCL上のFCLとRSLを識別する** ${\textstyle F(G,M)}$ 表1において。すべての一般的な意図 ${\textstyle [X]_{F}}$ オブジェクトセットが独自に持つすべての属性を含む ${\textstyle X}$ 共通点。 ${\textstyle [X]_{F}}$ 閉区間と識別可能なハッセ図として注文することができる ${\textstyle [\eta (X),\rho (X)]}$ どこ ${\textstyle \rho (X)=\eta (X)+0_{\rho }}$ 。

上記により、表1に示す3BSについて図3に示す意図を判定することが可能となり、そこから以下のことが読み取れる。 ${\textstyle \eta (\{1\})=a\neg b\neg c}$ 、 ${\textstyle \eta (\{2\})=\neg ab\neg c}$ そして ${\textstyle \eta (\{3\})=\neg ab\neg c}$ したがって、例えば、 ${\textstyle \rho (\{1,2\})=\neg \eta (\{3\})=a+b+\neg c}$ 、 ${\textstyle \eta (\{1,2\})=a\neg b\neg c+\neg ab\neg c=\neg \rho (\{3\})}$ GCLは、その範囲が冪集合に似ているため、ハッセ図のように見えることに注意されたい。さらに、各インテントは ${\textstyle [X]_{F}=[\eta (X),\rho (X)]}$ で ${\textstyle X}$ また、閉区間内の属性の順序付けと同型な別のハッセ図も示しています。 ${\textstyle [{\bf {0}},0_{\rho }]}$ . が示せる。 ${\textstyle \forall X\in E_{F}\ \rho (X)=\eta (X)+0_{\rho }}$ どこ ${\textstyle 0_{\rho }:=\neg 1_{\eta }\equiv \rho (\emptyset )}$ と ${\textstyle 1_{\eta }:=\sum _{k=1}^{n_{F}}\eta (D_{k})\equiv \eta (G)}$ したがって、 ${\textstyle [X]_{F}=\{\eta (X)+\tau \mid {\bf {0}}\leq \tau \leq 0_{\rho }\}}$ カーディナリティ ${\textstyle |[X]_{F}|}$ 定数として与えられる ${\textstyle 2^{2^{|M|}-n_{F}}}$ 明らかに、以下を確認できる。 ${\textstyle \rho (\{1,2\})=\neg \eta (\{3\})=\eta (\{1,2\})+0_{\rho }}$

GCLにおけるFCLとRSLの再発見

GCLは、元の FCLおよびRSLの条件を満たします。 ${\textstyle F(G,M)}$ からわかるように ${\textstyle \eta (X)=\prod Y^{fcl\ast }}$ そして ${\textstyle \rho (X)=\sum Y^{rsl\ast }}$ FCL のノードを再発見するには、属性の論理積を探します。 ${\textstyle M}$ 含まれる ${\textstyle [X]_{F}}$ これは、結合法の標準形内で識別できる。 ${\textstyle \eta (X)}$ 存在する場合。同様に、RSL では属性の論理和を探します。 ${\textstyle M}$ 含まれる ${\textstyle [X]_{F}}$ これは、選言標準形の中に見出すことができる。 ${\textstyle \rho (X)}$ 図3を参照。

例えば、ノードから ${\textstyle (\{3\},[\{3\}]_{F})}$ GCLでは、 ${\textstyle \eta (\{3\})=\neg a\neg bc\leq c}$ ${\textstyle \leq (a+\neg b+c)(\neg a+b+c)}$ ${\textstyle =\rho (\{3\})}$ 。ご了承ください ${\textstyle c}$ は、 ${\textstyle [\{3\}]_{F}}$ これは同時に論理積と論理和でもある。したがって、FCLとRSLの両方に概念がある。 ${\textstyle (\{3\},\{c\})}$ 共通点として。別の状況を説明するために、 ${\textstyle \rho (\{1,3\})=(a+\neg b+c)\geq a+c}$ ${\textstyle \geq a\neg b\neg c+\neg a\neg bc}$ ${\textstyle =\eta (\{1,3\})}$ 。どうやら、 ${\textstyle a+c}$ 属性は要素の選言として現れる ${\textstyle M}$ に属する ${\textstyle [\{1,3\}]_{F}}$ 要素の結合によって構成される属性は存在しない ${\textstyle M}$ が見つかりました。したがって、 ${\textstyle \{1,3\}}$ FCLの範囲にはなり得ず、概念を構成するにすぎない ${\textstyle (\{1,3\},\{a,c\})}$ RSLのために。

形式的な文脈の情報内容

分類による等価性としての有益な意味合い

非同義含意関係は形式的文脈に含まれる情報を示し、情報含意と呼ばれます。^{[ 6 ]}一般に、 ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}}$ 意味するところは ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ 。その意味は、 ${\textstyle not\ \mu _{1}\leq \mu _{2}}$ （つまり） ${\textstyle \mu _{1}\neq \mu _{1}\cdot \mu _{2}}$ )

厳密に言えば ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subset \mu _{2}^{R}}$ 1つは ${\textstyle \mu _{1}^{R}=\mu _{1}^{R}\cap \mu _{2}^{R}=(\mu _{1}\cdot \mu _{2})^{R}}$ どこ ${\textstyle \mu _{1}^{R}\cap \mu _{2}^{R}\subset \mu _{2}^{R}}$ 。それから、 ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ 代替手段は ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow \mu _{1}\cdot \mu _{2}}$ 同義反復とともに ${\textstyle \mu _{1}\cdot \mu _{2}\implies \mu _{2}}$ したがって、考慮すべき残りの点は等価性である。 ${\textstyle \mu ^{R}=\nu ^{R}=X}$ 一部の人にとって ${\textstyle X\in E_{F}}$ 論理的には、どちらの属性も同じオブジェクトクラスが持つプロパティです。 ${\textstyle \mu \leftrightarrow \nu }$ 同値関係を反映している。

すべての属性 ${\textstyle [X]_{F}}$ 相互に暗黙のうちに成立する必要があり、^{[ 4 ]}これは、例えば、 ${\textstyle \forall \mu \in [X]_{F}\ \mu \rightarrow \eta (X)}$ （実際には、 ${\textstyle \mu \leftrightarrow \eta (X)}$ どこ ${\textstyle \eta (X)\rightarrow \mu }$ これは同義反復である）、つまり、すべての属性は意図の下限と等しい。

すべての有益な意味合いを実現する数式

タイプの意味の抽出 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ 形式的な文脈から複雑であることが知られており、^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}標準的な基底を構築するための努力が必要であり、これは型の含意には適用されない。 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 対照的に、上記の等価性は^{[ 4 ]のみを提案する。}

のすべての有益な意味合いを生み出す単一の公式：

 ${\textstyle \forall \mu \in M^{\ast }\ \mu \rightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ これは次のように言い換えることができる。 ${\textstyle \forall \mu \in M^{\ast }\ \mu +0_{\rho }\rightarrow \mu }$ 、

補助式として、

 ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ 形式的な文脈で許可されるのは、 ${\textstyle \mu _{1}\cdot 1_{\eta }\leq \mu _{2}\cdot 1_{\eta }}$ （または ${\textstyle \mu _{1}+0_{\rho }\leq \mu _{2}+0_{\rho }}$ )

したがって、含意関係を決定するために純粋に代数的な公式を用いることができ、形式的な文脈における対象と属性の依存関係を参照する必要はない。これは、標準基底を見つける際に通常行われる作業である。

著しく、 ${\textstyle 1_{\eta }}$ そして ${\textstyle 0_{\rho }}$ これらはそれぞれ、文脈上の真偽と呼ばれます。 ${\textstyle \forall X\in E_{F}}$ ${\textstyle 0_{\rho }+\rho (X)=\rho (X)}$ そして ${\textstyle 0_{\rho }\cdot \rho (X)=0_{\rho }}$ 同様に ${\textstyle 1_{\eta }\cdot \eta (X)=\eta (X)}$ そして ${\textstyle 1_{\eta }+\eta (X)=1_{\eta }}$ 従来の真理1と偽0に似ており、 ${\textstyle \rho (G)}$ そして ${\textstyle \eta (\emptyset )}$ 、それぞれ。

セットごとの影響を超えて

${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ そして ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 特定の形態であることが判明した ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ 。仮定する ${\textstyle A=\{a_{1},a_{2},\ldots \}\subseteq M}$ そして ${\textstyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots \}\subseteq M}$ どちらの場合も。 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ 、すべての属性を持つオブジェクトセット ${\textstyle A}$ すべての属性を運ぶことを意味する ${\textstyle B}$ 同時に、つまり ${\textstyle \prod _{i}a_{i}\rightarrow \prod _{i}b_{i}}$ 。による ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 属性のいずれかを持つオブジェクトセット ${\textstyle A}$ 属性の一部を保持することを意味する ${\textstyle B}$ 、したがって ${\textstyle \sum _{i}a_{i}\rightarrow \sum _{i}b_{i}}$ 特に、属性の探索を扱う際に、ガンター^[⁵^]も接続詞から接続詞への視点を強調している。

GCLに基づく考察がなければ、形式的文脈における論理内容の重要な部分を見落としてしまう可能性がある。ここで、表1に示す3BSを記述する形式的文脈は、次のような含意が存在しない極端なケースを示唆している。 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 見つかるかもしれない。しかし、例えば、 ${\textstyle \{a,b\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a,b,c\}}$ （または ${\textstyle \{a,b\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{c\}}$ ）その意味は曖昧であるように思われる。確かに、 ${\textstyle ab\rightarrow abc}$ また、次のようなことも気づく。 ${\textstyle (ab)^{R}=\{a,b\}^{I}=\emptyset }$ 同様に ${\textstyle (abc)^{R}=\{a,b,c\}^{I}}$ ${\textstyle =\emptyset }$ 実際、上記の式を ${\textstyle 1_{\eta }}$ 図2に示すように、 ${\textstyle ab\cdot 1_{\eta }\equiv {\bf {0}}}$ ${\textstyle \equiv abc\cdot 1_{\eta }}$ したがって、 ${\textstyle ab\leftrightarrow {\bf {0}}}$ そして ${\textstyle abc\leftrightarrow {\bf {0}}}$ それは根底にある ${\textstyle ab\rightarrow abc}$ 。

驚くべきことに、同じ式は（１）につながる。 ${\textstyle a\rightarrow a\neg b\neg c}$ （または ${\textstyle a\rightarrow \neg b\neg c}$ ）および（2） ${\textstyle \neg b\neg c\rightarrow \neg b\neg ca}$ （または ${\textstyle \neg b\neg c\rightarrow a}$ ）、どこ ${\textstyle a}$ 、 ${\textstyle b}$ そして ${\textstyle c}$ 交換可能です。したがって、3BSから得られるのは、（1）2つの色が共存できないこと、および（2）色以外の色は存在しないことです。 ${\textstyle a}$ 、 ${\textstyle b}$ そして ${\textstyle c}$ 2つの問題は、確かに以下の範囲では些細な問題ではない。 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ そして ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 。

意味を組み立てたり変換したりするためのルール

タイプの含意を組み立てたり変換したりするためのルール ${\textstyle \mu \rightarrow \nu }$ これらは、オブジェクト集合の包含関係の直接的な結果である。特に、これらの規則の一部は、FCL を介して取得された情報含意の非冗長な集合に基づく、Guigues と Duquenne ^[⁶^]の主な考察に関連するArmstrong 公理に還元できる。具体的には、

（１） ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ そして ${\textstyle \nu _{1}\rightarrow \nu _{2}}$  ${\textstyle \implies }$  ${\textstyle \mu _{1}\cdot \nu _{1}\rightarrow \mu _{2}\cdot \nu _{2}}$  以来 ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}}$ そして ${\textstyle \nu _{1}^{R}\subseteq \nu _{2}^{R}}$ につながる ${\textstyle \mu _{1}^{R}\cap \nu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}\cap \nu _{2}^{R}}$ つまり、 ${\textstyle (\mu _{1}\cdot \nu _{1})^{R}\subseteq (\mu _{2}\cdot \nu _{2})^{R}}$ 。

の場合 ${\textstyle \mu _{1}=\prod A_{1}}$ 、 ${\textstyle \nu _{1}=\prod B_{1}}$ 、 ${\textstyle \mu _{2}=\prod A_{2}}$ そして ${\textstyle \nu _{2}=\prod B_{2}}$ 、どこ ${\textstyle A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}}$ 属性の集合である場合、規則（1）はアームストロングの合成として再表現できます。

（１） ${\textstyle A_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}A_{2}}$ そして ${\textstyle B_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B_{2}}$  ${\textstyle \implies }$  ${\textstyle A_{1}\cup B_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}A_{2}\cup B_{2}}$  ${\textstyle \because (\prod A_{1})\cdot (\prod B_{1})\equiv \prod (A_{1}\cup B_{1})}$ そして ${\textstyle (\prod A_{2})\cdot (\prod B_{2})\equiv \prod (A_{2}\cup B_{2})}$ 。

アームストロングの公理は ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ これには ${\textstyle A\subseteq B}$ これは対照的に ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ アームストロングの再帰性は、 ${\textstyle A\supseteq B}$ 。ただし、同様の構成が生じる場合もあるが、(1)とは異なる規則を意味する可能性がある。また、次のようになることにも注意する。

（２） ${\textstyle (\mu _{1}\rightarrow \mu _{2})}$ そして ${\textstyle (\nu _{1}\rightarrow \nu _{2})}$  ${\textstyle \implies }$  ${\textstyle (\mu _{1}+\nu _{1}\rightarrow \mu _{2}+\nu _{2})}$  以来 ${\textstyle \mu _{1}^{R}\subseteq \mu _{2}^{R}}$ そして ${\textstyle \nu _{1}^{R}\subseteq \nu _{2}^{R}}$  ${\textstyle \implies }$  ${\textstyle (\mu _{1}+\nu _{1})^{R}\subseteq (\mu _{2}+\nu _{2})^{R}}$ それによって （２） ${\textstyle A_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}A_{2}}$ そして ${\textstyle B_{1}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B_{2}}$  ${\textstyle \implies }$  ${\textstyle A_{1}\cup A_{2}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B_{1}\cup B_{2}}$ いつでも ${\textstyle \mu _{1}=\sum A_{1}}$ 、 ${\textstyle \nu _{1}=\sum B_{1}}$ 、 ${\textstyle \mu _{2}=\sum A_{2}}$ そして ${\textstyle \nu _{2}=\sum B_{2}}$ 。

例

具体的には、表2に示されている例を考えてみましょう。これは元々RSL ^{[ 9 ]}の明確化のために採用されたものですが、GCL ^{[ 4 ]用に改良されました。}

GCL構造とGCL上のFCLおよびRSLの識別

表2のGCLのノードの決定は、図4に示すように簡単です。例えば、次のように読み取ることができます。
図4：形式コンテキストからのGCLの読み出し。各ノードでは、バイナリ文字列が範囲を示します。例えば、01010はオブジェクトセットを表します。 ${\textstyle D_{2}\cup D_{4}}$ つまり ${\textstyle \{2,5\}}$ 、00100は ${\textstyle D_{3}}$ つまり ${\textstyle \{3,4\}}$ この図では、 ${\textstyle \eta (\{2,5\})}$ そして ${\textstyle \rho (\{2,5\})}$ が示されています。したがって、表現における意図の下限と上限、文脈上の真偽（ ${\textstyle 1_{\eta }}$ そして ${\textstyle 0_{\rho }}$ ）、それぞれ。

 ${\textstyle \eta (\{2,5\})}$  ${\textstyle =\eta (D_{2}\cup D_{4})}$  ${\textstyle =\eta (D_{2})+\eta (D_{4})}$  ${\textstyle =\eta (\{2\})+\eta (\{5\})}$  ${\textstyle =a\neg bc\neg d\neg e+a\neg b\neg c\neg d\neg e}$  ${\textstyle =a\neg b\neg d\neg e}$ 、  ${\textstyle \rho (\{2,5\})=\neg \eta (\{1,3,4,6\})}$  ${\textstyle =(\neg a+b+\neg c+\neg d+\neg e)}$  ${\textstyle (\neg b+c+d+\neg e)}$ 、  ${\textstyle \eta (\{3,4\})}$  ${\textstyle =\eta (D_{3})}$  ${\textstyle =\neg ab\neg c\neg de}$ などなど。

明らかに、次のことも確認できる。 ${\textstyle \rho (\{2,5\})=\neg \eta (\{1,3,4,6\})=\eta (\{2,5\})+0_{\rho }}$ 。

元の FCL と RSL を再発見するには、 図 5 を参照してください。たとえば、

 ${\textstyle \eta (\{1,2,5,6\})=a\neg bcde}$  ${\textstyle +a\neg bc\neg d\neg e}$  ${\textstyle +a\neg b\neg c\neg d\neg e}$  ${\textstyle +ab\neg c\neg de}$  ${\textstyle =a(\neg b+e)}$  ${\textstyle (\neg d+e)}$  ${\textstyle (\neg b+\neg c)}$  ${\textstyle (\neg b+\neg d)}$  ${\textstyle (b+c+\neg e)}$  ${\textstyle (c+\neg d)}$  ${\textstyle (b+d+\neg e)}$  ${\textstyle (\neg c+d+\neg e)}$ 、  ${\textstyle \rho (\{1,2,5,6\})}$  ${\textstyle =a}$  ${\textstyle +\neg b}$  ${\textstyle +c}$  ${\textstyle +d}$  ${\textstyle +\neg e}$  ${\textstyle =\neg \eta (\{3,4\})}$ 。

表現の中で ${\textstyle \eta (\{1,2,5,6\})}$ 分かるように ${\textstyle {a}^{R}=\lbrace a\rbrace ^{I}}$ ${\textstyle =\lbrace 1,2,5,6\rbrace }$ その間 ${\textstyle \rho (\{1,2,5,6\})}$ 見ることができる ${\textstyle (a+c+d)^{R}}$ ${\textstyle =\lbrace {a,c,d}\rbrace ^{\Diamond }}$ ${\textstyle =\lbrace 1,2,5,6\rbrace }$ したがって、概念が明らかになる ${\textstyle (\lbrace 1,2,5,6\rbrace ,\lbrace a\rbrace )}$ FCLの場合と ${\textstyle (\lbrace 1,2,5,6\rbrace ,\lbrace a,c,d\rbrace )}$ RSLの場合。対照的に、

 ${\textstyle \eta (\{1,6\})}$  ${\textstyle =ae(\neg bcd+b\neg c\neg d)}$ 、 ${\textstyle \rho (\lbrace 1,6\rbrace )={d}+ab+ce}$  ${\textstyle +\neg be}$  ${\textstyle +\neg a\neg e}$

と ${\textstyle (ae)^{R}=\{a,e\}^{I}}$ ${\textstyle =\{1,6\}}$ 概念を生み出す ${\textstyle (\lbrace 1,6\rbrace ,\lbrace a,e\rbrace )}$ しかし、FCLはRSLの範囲を提供できないため、 ${\textstyle d^{R}\equiv \lbrace d\rbrace ^{\Diamond }=\lbrace 1\rbrace \neq \lbrace 1,6\rbrace }$ 。

GCLは形式的な文脈に従って構築された。 — 図5：表2に示された形式的コンテキストに従って構築された**GCL**。丸で囲まれた点はFCL上に存在するノードであり、太字の点はRSLに属する（図3も参照）。

一般的な含意関係

の意味 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ そして ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 本質的に異なる。

 ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ そして ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ 示す ${\textstyle c\cdot d\rightarrow a}$ そして ${\textstyle c+d\rightarrow a}$ 、 それぞれ。

本件においては、上記の関係は補助式を用いて検証することができる。

 ${\textstyle c\cdot d\cdot 1_{\eta }\leq a\cdot 1_{\eta }}$ （または ${\textstyle c\cdot d+0_{\rho }\leq a+0_{\rho }}$ ) ${\textstyle (c+d)\cdot 1_{\eta }\leq a\cdot 1_{\eta }}$ （または ${\textstyle c+d+0_{\rho }\leq a+0_{\rho }}$ )

${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ そして ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ 両方が同等である場合 $A{\mbox{ and }}B$ 単一要素の集合に縮小される。

両方 ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ そして ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ 表2の形式的な文脈によれば、は次のように解釈される。 ${\textstyle c\rightarrow a}$ つまり ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ に基づく ${\textstyle \{c\}^{I}\subset \{a\}^{I}}$ そして ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ に基づく ${\textstyle \{c\}^{\Diamond }\subset \{a\}^{\Diamond }}$ 。

ご了承ください ${\textstyle c^{R}=\{c\}^{I}=\{c\}^{\Diamond }}$ ${\textstyle =\{1,2\}}$ ${\textstyle \subset \{1,2,5,6\}}$ ${\textstyle =a^{R}}$ ${\textstyle =\{a\}^{I}}$ ${\textstyle =\{a\}^{\Diamond }}$ 。さらに、 ${\textstyle c\rightarrow a}$ 両方を含む ${\textstyle c\rightarrow c\cdot a}$ そして ${\textstyle c+a\rightarrow a}$ は、 ${\textstyle \{c\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a,c\}}$ そして ${\textstyle \{c,a\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ 、それぞれ。

単一の式で全ての有益な意味合いを生成でき、任意の属性を選択できます。 $M^{\ast }$ 前件または後件として。

（１） ${\textstyle \mu \rightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ 条件から、対象となる物体の特性を推測することができる ${\textstyle 1_{\eta }}$ 指定することにより ${\textstyle \mu }$ これにより、区間内の任意の属性ペア間の同等の関係として、豊富な情報含意が組み込まれる。 $[\mu \cdot 1_{\eta },\mu ]$ つまり、 ${\textstyle \forall \mu _{1}\forall \mu _{2}}$  ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow \mu _{2}}$ もし $\mu \cdot 1_{\eta }\leq \mu _{1}\leq \mu$ そして $\mu \cdot 1_{\eta }\leq \mu _{2}\leq \mu$ 。 ご了承ください ${\textstyle \mu \rightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ 伴う ${\textstyle \mu \leftrightarrow \mu \cdot 1_{\eta }}$ 以来 ${\textstyle \mu \cdot 1_{\eta }\leq \mu }$ 。

例えば、 ${\textstyle (c+d)\cdot 1_{\eta }}$ ${\textstyle =c\cdot 1_{\eta }}$ ${\textstyle =a\neg bc(de+\neg d\neg e)}$ 関係 ${\textstyle c+d}$ ${\textstyle \rightarrow a\neg bc(de+\neg d\neg e)}$ どちらのタイプでもない ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}B}$ または、 ${\textstyle A{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}B}$ それにもかかわらず、例えば、 ${\textstyle c+d\rightarrow c}$ 、 ${\textstyle c+d\rightarrow a}$ そして ${\textstyle cd\rightarrow a}$ それらは ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{c\}}$ 、 ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle rsl}{\rightarrow }}\{a\}}$ そして ${\textstyle \{c,d\}{\stackrel {\scriptscriptstyle fcl}{\rightarrow }}\{a\}}$ それぞれ。さらに興味深い示唆として ${\textstyle c+d\rightarrow \neg b(de+\neg d\neg e)}$ 伴う ${\textstyle c+d\rightarrow \neg b\cdot (e\leftrightarrow d)}$ 物質的含意によって。すなわち、その性質を持つ対象物に対して。 ${\textstyle c}$ または ${\textstyle d}$ 、 ${\textstyle \neg b}$ 保持しなければならないもの、さらに、財産を運ぶ物体 ${\textstyle e}$ 財産も持ち運ばなければならない ${\textstyle d}$ そしてその逆もまた然り。

（１）あるいは、同等の式 ${\textstyle \mu +0_{\rho }\rightarrow \mu }$ 特定の関心対象を指定するために使用できます。実際には、 ${\textstyle \forall \mu _{1}\forall \mu _{2}}$  ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow \mu _{2}}$ もし $\mu \leq \mu _{1}\leq \mu +0_{\rho }$ そして $\mu \leq \mu _{2}\leq \mu +0_{\rho }$ 。

特定の帰結を推論する性質に興味があるかもしれない。 ${\textstyle e\rightarrow a}$ 。考慮する ${\textstyle \mu$ ${\textstyle \iff e\rightarrow a}$ 結果として ${\textstyle \mu +0_{\rho }}$ ${\textstyle =a+\neg b+c+d+\neg e}$ 表2によると、明らかに、 $\neg e+a$ $\leq \mu _{1}$ $\leq a+\neg b+c+d+\neg e$ 1つは ${\textstyle \mu _{1}\leftrightarrow (e\rightarrow a)}$ これにより、次のような多くの可能性のある前例が生じます。 ${\textstyle (e\rightarrow a+c+d)\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 、 ${\textstyle (b\rightarrow (e\rightarrow a+c))\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 、 ${\textstyle (e\rightarrow (b\rightarrow a+c))\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 、 ${\textstyle (b\rightarrow (e\rightarrow a+c+d))\rightarrow (e\rightarrow a)}$ などなど。

（２） ${\textstyle 1_{\eta }}$ は、（1）および（1'）によって形式的文脈から抽出可能なすべての含意を統括する。実際、それは単一の含意関係を持つ標準基底としての役割を果たす。

${\textstyle 1_{\eta }}$ 次のように理解できます ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ または同等に ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$ これは、あらゆる形式的文脈からすべての有益な含意を推論するために必要な唯一の非冗長な含意であることが判明する。 ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ または ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$ 全ての含意を以下のように推論すれば十分である。 ${\textstyle \forall \mu }$ ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ ${\textstyle \implies \mu \rightarrow \mu 1_{\eta }}$ そして ${\textstyle \forall \nu }$ ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$ ${\textstyle \implies \nu +0_{\rho }\rightarrow \nu }$ どちらかを選択する ${\textstyle \mu =\rho (X)}$ または ${\textstyle \nu =\eta (X)}$ は ${\textstyle \rho (X)\rightarrow \eta (X)}$ 特に、これは（１）と（１'）を包含する。 $\mu \cdot 1_{\eta }\equiv \eta (\mu ^{R})$ $\leq \mu$ $\leq \rho (\mu ^{R})\equiv \mu +0_{\rho }$ いかなる場合でも $\mu$ 、どこ $\mu ^{R}$ いくつかのものと関連付けられる ${\textstyle X}$ 図4のGCL上の32個のノードのうちの1つに対応します。
${\textstyle \rho (X)\rightarrow \eta (X)}$ 各ノードにおいて、区間内に含まれるすべての属性の等価性を開発する ${\textstyle [\eta (X),\rho (X)]}$ さらに、情報的な含意は、トートロジーを援用した仮説的三段論法によって異なるノードを関連付けることもできます。通常、 ${\textstyle \forall \mu _{1}\in [X_{1}]_{F}\forall \mu _{2}\in [X_{2}]_{F}}$ ${\textstyle \mu _{1}\rightarrow \mu _{2}}$ いつでも ${\textstyle (X_{1},[X_{1}]_{F})}$ ${\textstyle \leq (X_{2},[X_{2}]_{F})}$ これは（1'）で検討したケースに相当します。 ${\textstyle (b\rightarrow c)\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 、 ${\textstyle c\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 、 ${\textstyle \neg b\rightarrow (e\rightarrow a)}$ など。具体的には、 ${\textstyle (b\rightarrow c)\rightarrow (e\rightarrow a)}$ は ${\textstyle \neg b+c\in [\{1,2,5\}]_{F}}$ そして ${\textstyle \neg e+a\in [\{1,2,5,6\}]_{F}}$ どこ ${\textstyle \{1,2,5\}\subseteq \{1,2,5,6\}}$ 。ご了承ください ${\textstyle \neg b+c\leftrightarrow \rho (\{1,2,5\})}$ ${\textstyle \leftrightarrow \eta (\{1,2,5\})}$ そして ${\textstyle \neg e+a\leftrightarrow \rho (\{1,2,5,6\})}$ ${\textstyle \leftrightarrow \eta (\{1,2,5,6\})}$ その間 ${\textstyle \rho (\{1,2,5\})}$ ${\textstyle \leq \rho (\{1,2,5,6\})}$ （また ${\textstyle \eta (\{1,2,5\})\leq \eta (\{1,2,5,6\})}$ ）。したがって、 ${\textstyle (b\rightarrow c)\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 同様に、 ${\textstyle c\in [\{1,2\}]_{F}}$ と ${\textstyle \{1,2\}\subseteq \{1,2,5,6\}}$ 与える ${\textstyle c\rightarrow (e\rightarrow a)}$ 。
確かに、 ${\textstyle {\bf {1}}\rightarrow 1_{\eta }}$ または同等に ${\textstyle 0_{\rho }\rightarrow {\bf {0}}}$ 単一の含意関係を持つ正準基底の役割を果たす。

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一般概念格子

背景

関連する数式

微分演算子の代数

2つのガロア格子

ガロア接続

2つの概念階層

FCLとRSLの一般的な範囲

2種類の情報的含意

形式的な文脈の拡張