二十面体対称性

数学、特に幾何学では、正二十面体と同じ対称性を持つ物体は二十面体対称性を持つとされます。二十面体対称性を持つ他の多面体の例としては、正十二面体（二十面体の双対）や菱形三十面体などがあります。

20面体対称性を持つ多面体はすべて、60個の回転対称性（または向き保存対称性）と60個の向き反転対称性（回転と鏡映を組み合わせたもの）を持ち、合計の対称位数は120である。完全な対称群はH ₃型のコクセター群である。これはコクセター記法[5,3]とコクセター図で表される。 回転対称性の集合は、5 文字の 交代群 A _{5と同型なサブグループを形成します。}

二十面体対称性は、物体が正二十面体と同じ対称性を持つことを示す物体の数学的特性です。

2 つの無限級数の柱状対称性と反柱状対称性以外に、キラル物体の回転二十面体対称性またはキラル二十面体対称性と、完全な二十面体対称性またはアキラル二十面体対称性は、最大の対称群を持つ離散点対称性(または球面上の対称性)です。

二十面体対称性は並進対称性と互換性がないため、関連する結晶点群や空間群は存在しません。

上記に対応する プレゼンテーションは次のとおりです。

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

これらは、（2,3,5）三角形群である二十面体群（回転および完全）に対応します。

最初の発表は1856年にウィリアム・ローワン・ハミルトンがイコシアン計算に関する論文の中で行った。^[1]

例えば、交互のグループ（Iの場合）として、他の表示も可能であることに注意してください。

完全対称群はH ₃型のコクセター群である。これはコクセター記法[5,3]とコクセター図で表される。 回転対称性の集合は、5 文字の 交代群 A _{5と同型なサブグループを形成します。}

二十面体対称性を持つすべての多面体には、60 個の回転対称性 (または方向保存対称性) と 60 個の方向反転対称性 (回転と反射を組み合わせたもの) があり、合計の対称次数は 120 です。

の二十面体回転群 I の位数は 60 です。群I、5 つのオブジェクトの偶数順列の交代群A₅と同型です物、特に5 つの立方体の化合物正十二面体に内接する)、5 つの八面体の化合物5 つの四面体の2 つの化合物のいずれか鏡像体でありD ₃ (10 軸、各軸に 2 つ)を持つT_hと 6 つのバージョンのD ₅が含まれます。

の完全二十面体群 I _{h の}位数は 120 です。指数の正規部分群としてI を持ちます群I _hはI×Z₂、またはA₅×Z₂と同型で、中心の反転は元 (恒等元、-1) に対応します。ここで、Z_{2 は}乗法的に書き表されます。

I _hは5 つの立方体の複合体と5 つの八面体の複合体に作用しますが、−1 は恒等関数として作用します (立方体と八面体は中心対称であるため)。これは10 個の四面体の複合体に作用します。Iは2 つのキラルな半分 ( 5 つの四面体の複合体) に作用し、−1 は 2 つの半分を交換します。特に、これはS _{5としては作用せ}ず、これらのグループは同型ではありません。詳細については以下を参照してください。

このグループには、D _3dの 10 バージョンとD _5dの 6 バージョン(反プリズムのような対称性) が含まれます。

IはPSL ₂ (5)と同型であるが、I _{hはSL 2} (5)と同型ではない。

Iと A ₅の間の同型性がどのようなものかを明確に説明することは有用である。次の表では、順列 P _iと Q _{i は}それぞれ 5 個と 12 個の要素に作用し、回転行列 M _{i は}Iの要素である。 P _{k が}順列 P _iを取ってそれにP _{jを適用した積である場合、} i、j、kの同じ値に対して、 Q _{k はQ i を取って Q j}を適用した積であることも真であり、ベクトルを M _{kで前乗算することは、そのベクトルを M iで前乗算し、その結果を M j}で前乗算することと同じであり、つまり M _k = M _j × M _iである。順列 P _{i は}すべて 12345 の 60 個の偶数順列であるため、一対一対応が明示的に示され、したがって同型性も明示される。

次の群はすべて位数が 120 ですが、同型ではありません。

• S ₅、5つの要素上の対称群
• I _h、完全な二十面体群（この記事の主題、H ₃としても知られる）
• 2 I、二元二十面体群

これらは、次の短い完全列（後者は分割されない）と 積に対応する。

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

言葉で言えば、

• ${\displaystyle A_{5}}$は、​${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$は の因数であり、直積である${\displaystyle I_{h}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$は、​${\displaystyle 2I}$

には例外的に既約な 3 次元表現(二十面体回転群など)がありますが、 には既約な 3 次元表現がなく、これは対称群ではない完全な二十面体群に対応していることに注意してください。 ${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle S_{5}}$

これらは、5 つの元を持つ有限体上の線型群とも関連付けることができ、その部分群と被覆群を直接示す。これらのいずれも完全な 20 面体群ではない。

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$射影特殊線型群、証明についてはここを参照。
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$射影一般線型群;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$特殊線型群。

120 個の対称性は 10 個の共役クラスに分類されます。

次の表の各行は、共役 (つまり、幾何学的に同等) サブグループの 1 つのクラスを表します。列「Mult.」(多重度) は、共役クラス内の異なるサブグループの数を示します。

色の説明: 緑 = 反射によって生成されるグループ、赤 = 回転のみを含むキラル (方向保存) グループ。

グループは十二面体に基づいて幾何学的に記述されます。

略語「hts(edge)」は「このエッジを反対のエッジと半回転して入れ替える」という意味で、「face」や「vertex」についても同様です。

反対側の頂点ペアの安定子は、それらが生成する軸の安定子として解釈できます。

• Iの頂点安定子は巡回群 C ₃を与える
• I _hの頂点安定子は二面体群 D ₃を与える。
• Iの反対側の頂点の安定因子は二面体群D ₃を与える。
• I _hの反対側の頂点の安定子は、${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

反対側のエッジのペアのスタビライザーは、それらが生成する長方形のスタビライザーとして解釈できます。

• Iの辺安定子は巡回群Z _{2を与える}
• I _hのエッジ安定子はクラインの4群を与える ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• 1 組の辺の安定子はクラインの4 群 を与えます。これらは 3 つの垂直軸で 180° 回転することで 5 つあります。${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• I _hの 2 つの辺の安定子はになります。これらは 5 つあり、3 つの垂直軸の反射によって与えられます。${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$

反対側の面のペアの安定子は、それらが生成する反プリズムの安定子として解釈できます。

• 面安定剤Iは環状基C _{5を与える}
• I _hの面安定子は二面体群D _{5を与える}
• Iの向かい合った面の安定子は二面体群D ₅を与える
• I _hの反対側の面の安定子は、${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

これらにはそれぞれ 5 つの共役コピーがあり、共役作用によって写像、つまり同型写像が得られます。 ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$

• Iの内接四面体の安定子はTのコピーである
• I _hの内接四面体の安定子はTのコピーである
• Iの内接立方体（または正四面体、正八面体の対）の安定子はTのコピーである。
• I _hの内接立方体（または正四面体、正八面体の対）の安定体はT _hのコピーである。

完全二十面体対称群[5,3]（) は、以下の反射行列 R ₀、 R ₁、 R ₂で表される生成元を持ち、関係は R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² = 恒等である。群 [5,3] ⁺ () は、回転 S _0,1、 S _1,2、 S _0,2のいずれか 2 つによって生成されます。 10 次回転反射は、 3 つの反射すべての積であるV _{0,1,2によって生成されます。 ここで は}黄金比を表します。 ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

二十面体回転群と完全二十面体群の 基本領域は次のように与えられます。

二次元三十面体では、1 つの完全な面が基本領域です。面の向きを調整することで、同じ対称性を持つ他の立体を得ることができます。たとえば、選択した面のサブセットを平坦化して各サブセットを 1 つの面に結合したり、各面を複数の面や曲面に置き換えたりすることができます。

二十面体対称性を持つ他の多面体の例としては、正十二面体（二十面体の双対）や菱形三十面体などがあります。

• バース表面
• ウイルスの構造とカプシド
• 化学では、十二ホウ酸イオン（[B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻）と十二面体分子（C ₂₀ H ₂₀）

液晶と呼ばれる中間物質相では、二十面体対称性の存在がH. KleinertとK. Maki ^[2]によって提唱され 、その構造が初めてその論文で詳細に分析されました。レビュー記事はこちらをご覧ください。アルミニウムでは、二十面体構造が3年後にDan Shechtmanによって実験的に発見され、2011年にノーベル賞を受賞しました。

20面体対称性は、射影特殊線型群PSL(2,5)と同値であり、モジュラー曲線X(5)の対称群であり、より一般的にはPSL(2, p )はモジュラー曲線X( p )の対称群である。モジュラー曲線X(5)は幾何学的には、各多角形面の中心に尖点を持つ12面体であり、対称群を示している。

この幾何学と関連する対称群は、フェリックス・クラインによって、ベリ面のモノドロミー群として研究されました。ベリ面は、リーマン球面への正則写像を持ち、0、1、無限大（ベリ関数）のみに分岐するリーマン面です。尖点は無限大上にある点であり、各辺の頂点と中心は 0 と 1 上にある点です。被覆の次数（シート数）は 5 です。

これは、有名な (Klein 1888) で与えられた理論を用いて、五次方程式の解に二十面体対称性が生じる理由を幾何学的に説明しようとする彼の努力から生まれたものであり、現代的な説明は (Tóth 2002、セクション 1.6、追加トピック: Klein の二十面体理論、p. 66) で与えられています。

クラインの研究は、(Klein 1878) と (Klein 1879) における 7 次と 11 次対称性 (および関連する 7 次と 11 次被覆) と子供の図の発見で続き、最初の図ではクラインの四次方程式が得られ、これに関連する幾何学は 24 個の七角形 (それぞれの中心に尖点がある) によるタイリングになっている。

同様の幾何学はPSL(2, n )や他のモジュラー曲線のより一般的な群にも当てはまります。

さらに珍しいことに、PSL(2,5) (位数 60)、PSL(2,7) (位数 168)、PSL(2,11) (位数 660) のグループ間には特別な関係があり、これらも幾何学的解釈が可能です。PSL(2,5) はイコサヘドロン (種数 0) の対称性、PSL(2,7) はクラインの 4 次方程式(種数 3)、PSL(2,11) はバッキーボール面(種数 70) です。これらのグループは、ウラジミール アーノルドの意味で「三位一体」を形成し、さまざまな関係の枠組みを提供します。詳細については、 三位一体を参照してください。

他のプラトン立体と密接な関係があります。

• 四面体対称性
• 八面体対称性
• 二元二十面体群
• イコシアン計算

• Weisstein、Eric W.「二十面体群」。MathWorld。
• W(H3) のサブグループ Archived 2021-08-30 at the Wayback Machine (他の Coxeter グループのサブグループ Archived 2020-08-02 at the Wayback Machine ) Gotz Pfeiffer