ベリイの定理

数学において、代数曲線に関するベールイの定理は、代数的数係数によって定義される任意の非特異代数曲線C は、リーマン球面の分岐被覆であり、3 点のみで分岐しているコンパクトなリーマン面を表すことを述べています。

これは 1979 年のGV Belyiの成果です。当時は驚くべきことと考えられ、グロタンディークが組合せデータを使用して代数的数上の非特異代数曲線を記述する dessins d'enfant理論を開発するきっかけとなりました。

問題のリーマン面は商としてとらえることができる。

H /Γ

(ここで、Hは上半平面、Γ はモジュラー群の有限指数の部分群) をカスプでコンパクト化したものです。モジュラー群には非合同な部分群があるため、このような曲線はモジュラー曲線であるという結論にはなりません。

ベーリ関数は、コンパクトなリーマン面Sから3 点のみに分岐する複素射影直線P ¹ ( C )への正則写像であり、メビウス変換後にとみなすことができます。ベーリ関数は、 dessins d'enfantsによって組み合わせ的に記述できます。 ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$

ベーリ関数と子供の絵（ベーリの定理ではない）は、少なくともフェリックス・クラインの研究にまで遡る。彼はそれらを論文（クライン 1879）で使用し、モノドロミー群PSL(2,11)を持つ複素射影直線の11重被覆を研究した。^[1]

ベーリの定理はベーリ関数の存在定理であり、その後逆ガロア問題で多用されるようになった。

• ジロンド、エルネスト。 González-Diez、Gabino (2012)、コンパクト リーマン曲面とデッサン ダンファンの紹介、London Mathematical Society Student Texts、vol. 79、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-74022-7、Zbl  1253.30001
• Wushi Goldring (2012)、「Belyi の定理が示唆する統一テーマ」、Dorian Goldfeld、Jay Jorgenson、Peter Jones、Dinakar Ramakrishnan、Kenneth A. Ribet、John Tate (編)、Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang、Springer、pp. 181–214、ISBN 978-1-4614-1259-5