キラル性（数学）

幾何学において、図形が鏡像と同一でない場合、あるいはより正確には、回転と平行移動だけでは鏡像に写像できない場合、その図形はキラルである（そしてキラリティを持つと言われる）。キラルでない物体はアキラルであると言われる。

キラルな物体とその鏡像は、エナンチオモルフと呼ばれます。キラル性という言葉は、最も身近なキラルな物体である手を意味するギリシャ語のχείρ （cheir）に由来し、エナンチオモルフという言葉は、ギリシャ語のἐναντίος（enantios）「反対の」＋μορφή（morphe）「形」に由来します。

らせん構造のような一部のキラルな三次元物体は、右手の法則に従って、右巻きまたは左巻きのいずれかの向きを割り当てることができる。

手袋や靴など、人間の体と同じキラル対称性を示す身近な物体は他にもたくさんあります。右の靴と左の靴の違いは、互いに鏡像になっていることだけです。対照的に、薄​​手の手袋は裏返しに着用できるため、キラルとはみなされないかもしれません。^{[ 1 ]}

人気ビデオゲーム「テトリス」のJ字型、L字型、S字型、Z字型のテトロミノもキラリティを示すが、それは二次元空間においてのみである。個々のテトロミノは平面内で鏡面対称性を持たない。

図形が非キラルであるのは、その対称群に少なくとも１つの方向反転等長変換が含まれる場合に限る。ユークリッド幾何学では、任意の等長変換は次のように表される。${\displaystyle v\mapsto Av+b}$直交行列を用いて${\displaystyle A}$そしてベクトル${\displaystyle b}$決定要因​${\displaystyle A}$は 1 または −1 のいずれかになります。− 1の場合は、等長変換は方向反転であり、それ以外の場合は方向保存です。

群論に基づく一般的なキラリティの定義が存在する。^{[ 2 ]}それは向きの概念には言及しない。等長変換は、等長変換の二乗の積である場合に限り直接等長変換であり、そうでない場合は間接等長変換である。結果として得られるキラリティの定義は時空で機能する。^{[ 3 ] [ 4 ]}

2次元では、対称軸を持つ図形はすべて非対称であり、有界な非対称図形はすべて対称軸を持つことが示せる。（図形の対称軸）${\displaystyle F}$線です${\displaystyle L}$、したがって${\displaystyle F}$写像の下で不変である${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$、 いつ${\displaystyle L}$に選ばれました${\displaystyle x}$（座標系の軸。）そのため、三角形は正三角形または二等辺三角形であれば非キラルであり、不等辺三角形であればキラルである。

次のパターンを考えてみましょう。

この図形は鏡像と同一ではないため、キラルである。

しかし、このパターンを両方向に無限に延長すると、対称軸を持たない（無限の）非対称図形が得られる。その対称群は、単一のすべり反射によって生成されるフリーズ群である。

3次元空間において、鏡面対称面S1、反転対称中心S2、またはより高次の不適切回転（回転反射）_対称軸Sn ^{[ 5 ]}_を持つ図形はすべてアキラルである。（図形の対称面は_、${\displaystyle F}$飛行機です${\displaystyle P}$、したがって${\displaystyle F}$写像の下で不変である${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)}$、 いつ${\displaystyle P}$に選ばれました${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$座標系の平面。図形の対称中心。${\displaystyle F}$ポイント${\displaystyle C}$、したがって${\displaystyle F}$写像の下で不変である${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$、 いつ${\displaystyle C}$（座標系の原点として選択される。）ただし、平面対称と対称中心の両方を持たない非キラル図形も存在することに注意されたい。例として、図が挙げられる。

${\displaystyle F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}}$

これは、方向反転等長変換の下で不変である。${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$したがって非キラルであるが、対称面も対称中心も持たない。図

${\displaystyle F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}}$

また、原点は対称中心であるが対称面を持たないため、アキラルである。

アキラル図形は中心軸を持つことができる。

結び目が鏡像に連続的に変形できる場合、その結び目はアキラル結び目と呼ばれ、そうでない場合はキラル結び目と呼ばれます。例えば、アンノットと8の字結びはアキラル結び目ですが、三つ葉結びはキラル結び目です。

• 非対称
• キラル多面体
• キラル性（化学）
• キラル性（物理学）
• パリティ（物理学）
• 歪度
• 頂点代数

• フラパン、エリカ（2000）。トポロジーと化学の出会い。展望。ケンブリッジ大学出版局およびアメリカ数学協会。ISBN 0-521-66254-0。

• 対称性、キラル性、対称性の尺度とキラル性の尺度：一​​般的な定義
• エリック・W・ワイススタイン著「キラル多面体」、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。
• 多様体アトラスにおけるカイラル多様体。