ブラウナー空間

関数解析および関連する数学の分野において、ブラウナー空間は、他のすべてのコンパクト集合が何らかの に含まれるようなコンパクト集合の列を持つ、完全に コンパクトに生成された 局所凸空間 です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle T\subseteq X}$${\displaystyle K_{n}}$

ブラウナー空間は、その研究を始めたカルマン・ジョージ・ブラウナーにちなんで名付けられました。^[1]すべてのブラウナー空間はステレオタイプであり、フレシェ空間とステレオタイプの双対関係にあります。^{[2] [3]}

• 任意のフレシェ空間に対して、そのステレオタイプ双対空間^[4]はブラウナー空間であり、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star}}$
• 逆に、任意の Brauner 空間の場合、そのステレオタイプ双対空間は Fréchet 空間です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star}}$

ブラウナー空間の特殊なケースはスミス空間である。

• を-コンパクトな局所コンパクト位相空間とし、上のすべての連続関数(または内の値を持つ) のフレシェ空間を、 内のコンパクト集合上の一様収束の通常の位相で表します。 上のコンパクト台を持ち、 内のコンパクト集合上の一様収束の位相を持つラドン測度の双対空間は、ブラウナー空間です。${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {R}}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$
• を滑らかな多様体とし、上のすべての滑らかな関数（または内の値を持つ）のフレシェ空間を、 内のコンパクト集合上の各導関数に対して通常の一様収束位相が備わっているものとします。 内のコンパクトな台を持ち、内の有界集合に対して一様収束位相を持つ超関数の双対空間は、ブラウナー空間です。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathbb {R}}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(M)}$
• をスタイン多様体とし、上のすべての正則関数のフレシェ空間を、 内のコンパクト集合上の一様収束の通常の位相とします。上の解析関数の双対空間と、 内の有界集合上の一様収束の位相は、ブラウナー空間です。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$

が位相群の構造を持つ特別な場合には、空間、はステレオタイプ群代数の自然な例になります。 ${\displaystyle M=G}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\star }(G)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\star }(G)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\star }(G)}$

• を複素アフィン代数多様体とします。上の多項式（または正則関数）の空間は、最も強い局所凸位相を備えているため、ブラウナー空間になります。 のステレオタイプ双対空間（ 上の電流の）はフレシェ空間です。 がアフィン代数群である特別な場合では、はステレオタイプ群代数の例になります。${\displaystyle M\subseteq {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)={\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]/\{f\in {\mathbb {C} }[x_{1},...,x_{n}]:\ f{\big |}_{M}=0\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=G}$${\displaystyle {\mathcal {P}}^{\star }(G)}$
• をコンパクトに生成されたスタイン群とする。 ^[5]上の指数型正則関数全体の空間は、自然位相に関するブラウナー空間である。^[6]${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\exp }(G)}$${\displaystyle G}$

• ステレオタイプ空間
• スミス空間

• Brauner, K. (1973). 「フレシェ空間の双対とバナッハ-ディウドネ定理の一般化」デューク数学ジャーナル. 40 (4): 845–855. doi :10.1215/S0012-7094-73-04078-7.
• Akbarov, SS (2003). 「位相ベクトル空間理論と位相代数におけるポンチャギン双対性」.数学科学ジャーナル. 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Akbarov, SS (2009). 「指数型の正則関数と代数連結単位元を持つスタイン群の双対性」.数学科学ジャーナル. 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . doi :10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID  115153766.