ザッセンハウスの補題

数学において、バタフライ補題またはザッセンハウス補題は、ハンス・ザッセンハウスにちなんで名付けられ、群の部分群の格子または加群の部分加群の格子、またはより一般的には任意の加群格子に関する技術的な結果である。^[1]

補題。が部分群と を持つ群であるとします。と が正規部分群であるとします。 このとき、商群の同型が存在します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B\triangleleft A}$${\displaystyle D\triangleleft C}$

${\displaystyle {\frac {(A\cap C)B}{(A\cap D)B}}\cong {\frac {(A\cap C)D}{(B\cap C)D}}.}$

これは、安定な部分群およびを持つ演算子を持つ群 の場合に一般化できます。上記のステートメントは、共役によってそれ自体に作用する場合です。 ${\displaystyle (G,\Omega )}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \Omega =G}$

ザッセンハウスは、シュライアーの改良定理の最も直接的な証明を与えるために、特にこの補題を証明しました。関係するさまざまなグループの ハッセ図を描こうとすると、「蝶」が明らかになります。

群に対するザッセンハウスの補題は、グールサ多様体（群はそのインスタンス）で述べられるグールサの定理として知られるより一般的な結果から導くことができる。しかし、導出には群固有のモジュラー法則も使用する必要がある。^[2]

• Goodearl, KR; Warfield, Robert B. (1989)、非可換ノイザン環入門、ケンブリッジ大学出版局、pp. 51, 62、ISBN 978-0-521-36925-1。
• ラング、セルジュ（2005年6月21日）、代数学、Graduate Texts in Mathematics（改訂第3版）、Springer-Verlag、pp. 20–21、ISBN 978-0-387-95385-4。
• Carl Clifton Faith、Nguyen Viet Dung、Barbara Osofsky (2009)リング、モジュール、表現。p. 6。AMS 書店、ISBN 0-8218-4370-2 
• Hans Zassenhaus (1934) 「Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier」、ハンブルク大学数学セミナー Abhandlungen aus dem Mathematischen 10:106–8。
• Hans Zassenhaus (1958) Theory of Groups、第2英語版、Lemma on Four Elements、p 74、Chelsea Publishing。

• Zassenhaus の補題と証明については、https://web.archive.org/web/20080604141650/http://www.artofproblemsolving.com:80/Wiki/index.php/Zassenhaus%27s_Lemma をご覧ください。