通勤グラフ

可換グラフは非連結である可能性があり、したがって有限の直径を持たない可能性がある。

有限集合の場合${\displaystyle X}$対称群の可換グラフ$\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$接続されているのは、${\displaystyle |X|}$そして${\displaystyle |X|-1}$は非素数であり、交代群の可換グラフは$\displaystyle {\mathcal {A}}(X)}$接続されているのは、${\displaystyle |X|}$、${\displaystyle |X|-1}$、 そして${\displaystyle |X|-2}$は素数ではない。接続すると、可換グラフは$\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$そして$\displaystyle {\mathcal {A}}(X)}$直径は最大で5である。^{[ 5 ]}

対称逆半群の可換グラフ$\displaystyle {\mathcal {I}}(X)}$接続されていないのは、${\displaystyle |X|}$は奇素数です。${\displaystyle |X|}$は奇素数ではなく、直径は4または5であり、直径が4であることが知られています。${\displaystyle |X|}$直径が5で均一な場合${\displaystyle |X|}$奇素数のべき乗である。^{[ 6 ]}

すべての自然数nに対して、可換グラフが連結で直径がnに等しい有限群が存在する。^{[ 7 ]}しかし、有限群が自明な中心を持ち、その可換グラフが連結である場合、その直径は最大で 10 である。^{[ 8 ]}

完全単純半群の可換グラフは、それが群である場合を除いて連結ではなく、群でない場合は、その連結成分は最大部分群の中心要素を含む可換グラフである^{[ 9 ]}（リース・スシュケヴィッチの定理により、これらは同型である^{[ 10 ]}）。

非可換有限単純群は、可換グラフによって一意に特徴付けられます。つまり、Gが非可換有限単純群でHが群であり、Gの可換グラフとHの可換グラフが同型（グラフとして）であれば、GとHは同型（群として）です。この結果は 2006 年に予想され^{[ 11 ] 、散在群[ 12 ]} 、交代群^{[ 13 ]} 、およびリー型群^{[ 14 ]}について、異なる著者によって証明されました。