通勤確率

数学、より正確には群論において、有限群の可換確率（可換度または可換次数とも呼ばれる）は、ランダムに選ばれた2つの要素が可換である確率である。^{[1] [2]これは、有限群が}アーベル群にどれだけ近いかを測定するために使用できる。これは、適切な確率測度を備えた無限群に一般化することができ、^[3]また、環などの他の代数構造にも一般化することができる。^[4]

を有限群とします。を、交換可能な要素のペアの平均数として定義します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle p(G)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle p(G):={\frac {1}{\#G^{2}}}\#\!\left\{(x,y)\in G^{2}\mid xy=yx\right\}}$

ここで、 は有限集合の濃度を表します。 ${\displaystyle \#X}$${\displaystyle X}$

上の一様分布を考えると、は のランダムに選ばれた 2 つの要素が交換する確率です。これがの交換確率と呼ばれる理由です。 ${\displaystyle G^{2}}$${\displaystyle p(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p(G)}$${\displaystyle G}$

• 有限群がアーベル群となるのは、次の場合のみです。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p(G)=1}$
• 一つは

${\displaystyle p(G)={\frac {k(G)}{\#G}}}$

ここで はの共役類の数です。${\displaystyle k(G)}$${\displaystyle G}$

• がアーベル群でない場合（この結果は5/8定理^[5]と呼ばれることもある）、この上限は明確である：となる有限群は無限個存在し、最小の群は位数8の二面体群である。${\displaystyle G}$${\displaystyle p(G)\leq 5/8}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p(G)=5/8}$
• には一様な下限はありません。実際、すべての正の整数に対して、となる有限群が存在します。${\displaystyle p(G)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p(G)=1/n}$
• がアーベル群ではなく単純群である場合、（この上限は、次数 5 の交代群によって達成されます）。${\displaystyle G}$${\displaystyle p(G)\leq 1/12}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{5}}$
• 有限群の可換確率の集合は逆順序であり、その順序型の逆はまたはであることが知られている。^[6]${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \omega ^{\omega ^{2}}}$

• 可換確率は有限環などの他の代数構造に対しても定義できる。^[4]
• 無限コンパクト群に対しては可換確率を定義することができ、その確率測度は繰り込み後のハール測度となる。^[3]