有理数

数学において、有理数は、分子pと非ゼロの分母qの 2 つの整数の商または分数として表される数である。^[1]たとえば、は有理数であり、すべての整数 (たとえば) も有理数である。すべての有理数の集合は、「有理数」 [2] 、有理数体 [3] 、または有理数体とも呼ばれ、通常は太字^のQ、^または黒板太字の⁠ ⁠で表されます。 ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

有理数は実数です。有理数の実数は、小数展開が有限桁数で終了するか（例：3/4 = 0.75）、最終的に同じ有限桁のシーケンスを何度も繰り返すようになる数です（例： 9/44 = 0.20454545...）。^{[4]このステートメントは、} 10進数だけでなく、 2進数や16進数などの他のすべての整数基数でも当てはまります（循環小数 § 他の基数への拡張を参照）。

有理数でない実数は無理数と呼ばれます。[ 5 ^]無理数には、2の平方根（ ⁠ ⁠ ）、π、e、黄金比（ φ ）が含まれます。有理数の集合は可算で、実数の集合は不可算であるため、ほとんどすべての実数は無理数です。^[1] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

有理数は、次のように定義される 同値関係を使用して、q ≠ 0の整数ペア( p, q )の同値類として正式に定義できます。

${\displaystyle (p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}$

分数⁠ ⁠は${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$( p, q )の同値類を表します。^[6]

有理数は、加算と乗算とともに、整数を含む体を形成し、整数を含む任意の体に含まれます。言い換えると、有理数体は素体であり、体が特性ゼロを持つのは、それが有理数を部分体として含む場合のみです。⁠ ⁠の有限拡大は代数体と呼ばれ、⁠ ⁠の代数的閉包は代数体です。^[7]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

数学的解析において、有理数は実数の稠密な部分集合を形成します。実数は、コーシー数列、デデキント切断、または無限小数を使用して、有理数から完備化によって構成できます( 「実数の構成」を参照)。

集合⁠ ⁠に関して有理数という用語は、有理数が2 つの整数の比を表すという事実を指します。数学では、「有理数」は「有理数」を省略した名詞としてよく使用されます。形容詞有理数は、係数が有理数であることを意味する場合があります。たとえば、有理点は有理座標を持つ点(つまり、座標が有理数である点) です。有理行列は有理数の行列です。有理多項式は有理係数を持つ多項式である可能性がありますが、「有理数上の多項式」という用語が一般的に好まれます。これは、「有理数式」と「有理関数」の混同を避けるためです(多項式は有理数式であり、係数が有理数でなくても有理関数を定義します)。ただし、有理曲線は有理数上で定義された曲線ではなく、有理関数によってパラメーター化できる曲線です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

今日では有理数は比で定義されるが、有理数という用語は比から派生したものではない。逆に、比は有理数から派生したものである。英語で比が現代的​​な意味で初めて使用されたのは1660年頃で、 ^{[8]数を限定するために}有理数が使用されたのはほぼ1世紀前の1570年である。^[9]この有理数の意味は、1551年に初めて使用された無理数の数学的な意味に由来し、「ユークリッドの翻訳（彼独特のἄλογοςの使用法に従う）」で使用された。^{[10] [11]}

この珍しい歴史は、古代ギリシャ人が「それらの（無理数の）長さを数として考えることを禁じることで異端を避けた」という事実に由来しています。 ^[12]したがって、そのような長さは、非論理的という意味で無理数であり、「話すべきではない」（ギリシャ語でἄλογος）という意味です。^[13]

すべての有理数は、 aとbが互いに素な整数でb > 0である既約分数 として一意に表現できます。これは、有理数の 標準形と呼ばれることがよくあります。${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$

有理数⁠ ⁠から始めて、その標準形は${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$aとb をそれらの最大公約数で割り、b < 0の場合は、結果として得られる分子と分母の符号を変更すること によって得られます。

任意の整数n は、有理数としての標準形である 有理数⁠ ⁠として表現できます。${\displaystyle {\tfrac {n}{1}},}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$もし、もし、${\displaystyle ad=bc}$

両方の分数が標準形である場合、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$かつ[ ^6]${\displaystyle a=c}$${\displaystyle b=d}$

両方の分母が正の場合（特に両方の分数が標準形の場合）：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$もし、もし、${\displaystyle ad<bc.}$

一方、分母のいずれかが負の場合、負の分母を持つ分数は、分子と分母の両方の符号を変更することによって、分母が正の同等の形に変換する必要があります。^[6]

2 つの分数は次のように加算されます。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

両方の分数が標準形である場合、 bとdが互いに素な整数である場合にのみ、結果は標準形になります。^{[6] [14]}

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

両方の分数が標準形である場合、 bとdが互いに素な整数である場合にのみ、結果は標準形になります。^[14]

乗算の規則は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

結果は、たとえ元の分数が両方とも標準形であったとしても、約分可能な分数になる可能性がある。^{[6] [14]}

すべての有理数には、その${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$逆数と呼ばれる加法的な逆数が存在する。

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$

⁠ ⁠ が${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$標準形式である場合、その反対についても同様です。

非ゼロの${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$有理数には逆数（逆数とも呼ばれる）があり、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$

⁠ ⁠ が${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$標準形である場合、その逆数の標準形は、aの符号に応じて⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$または⁠ ⁠ に${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}},}$なります。

b、c、dが0以外の場合、除算の規則は

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$

したがって、 を で割ることは、をの逆数${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$で乗算することと同等である[ ^14]${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$

nが非負の整数であれば 、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$

結果は、同じことが当てはまる場合、標準形になります。特に${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

a ≠ 0 の場合、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$

⁠ ⁠ が${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$標準形式である場合、 a > 0またはnが偶数であれば、結果の標準形式は⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}}$です。それ以外の場合、結果の標準形式は⁠ ⁠ です。${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$

有限連分数とは次のような表現である。

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

ここで、a _{n は}整数です。すべての有理数は有限${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$連分数として表すことができ、その係数a n_はユークリッドの互除法を( a, b )に適用することで決定できます。

• 公分数: ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$
• 混合数字: ⁠ ⁠${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$
• ビンキュラムを使った循環小数:${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• 括弧を使用した循環小数:${\displaystyle 2.(6)}$
• 伝統的な書体を使用した連分数:${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• 短縮表記による連分数:${\displaystyle [2;1,2]}$
• エジプト分数:${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• 素数分解:${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• 引用表記:${\displaystyle 3'6}$

同じ有理数値を表現する異なる方法です。

有理数は整数の順序付きペアの同値類として構築することができる。^{[6] [14]}

より正確には、⁠ ⁠ を${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$n ≠ 0となる整数のペア( m, n )の集合とする。この集合上の 同値関係は次のように定義される。

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[6] [14]}

加算と乗算は次の規則によって定義できます。

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^[6]

この同値関係は合同関係であり、上で定義した加算と乗算と互換性があることを意味します。有理数集合⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$は、この同値関係によって定義される商集合として定義され、上記の演算によって誘導される加算と乗算が備えられています。 （この構成は任意の${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$整域で実行でき、その分数体を生成します。）^[6]

ペア( m, n )の同値類は次のように表されます。 ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$ 2つのペア( m ₁ , n ₁ )と( m ₂ , n ₂ )が同じ同値類 (つまり、同値) に属するのは、次の場合のみです。

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

これはつまり

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

^{[6] [14]}の場合のみ

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

あらゆる同値類は無限個${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$のペアで表現できる。

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

各同値類には、一意の標準代表元が含まれます。標準代表元とは、同値類内の一意のペア( m, n )で、 mとnが互いに素で、n > 0 であるものです。これは有理数の 最小項による表現と呼ばれます。

整数は有理数とみなすことができ、整数nは有理数⁠ ⁠と同一視される。${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$

有理数には整数の自然順序を拡張した 全順序が定義できる。

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

もし

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

すべての有理数の集合⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$は、上に示した加算と乗算の演算とともに、体を形成します。^[6]

⁠ ⁠ には恒等写像以外の${\displaystyle \mathbb {Q} }$体自己同型性はありません。(体自己同型性は 0 と 1 を固定する必要があります。2 つの固定された元の和と差を固定する必要があるため、すべての整数を固定する必要があります。2 つの固定された元の商を固定する必要があるため、すべての有理数を固定する必要があります。したがって、恒等写像です。)

⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {Q} }$素体であり、それ自身以外の部分体を持たない体である。^[15]有理数は、特性が0 である最小の体である。特性が 0 であるすべての体には、 ⁠ ⁠と同型の一意の部分体が含まれる。${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

上記で定義された順序では、⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {Q} }$それ自身以外の部分体を持たず、すべての順序体が⁠ ⁠と同型の一意の部分体を含むという意味で最小の順序体である[ ^{14 ]。}${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

⁠ ⁠ は${\displaystyle \mathbb {Q} }$整数の分数の体である⁠ ⁠ ^[16] ⁠ ⁠の代数閉包、すなわち有理多項式の根の体とは、代数的数の体である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

有理数は密に順序付けられた集合である。つまり 、任意の2つの有理数の間には、別の有理数が存在し、したがって、他の有理数は無限に存在する。^{[6]例えば、}

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

（正の）は、 ${\displaystyle b,d}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

可算で稠密（上記の意味で）であり、最小元や最大元を持たない全順序集合は、有理数と順序同型である。 [ 17 ^]

右の図に示すように、すべての有理数の集合は可算です。有理数は 2 つの整数の比として表すことができるため、直交座標系のように正方格子上の任意の点に 2 つの整数を割り当てて、任意のグリッド ポイントを有理数に対応させることができます。ただし、この方法では冗長性が生じます。複数の異なるグリッド ポイントが同じ有理数に対応するためです。これらは、提供されているグラフィックで赤で強調表示されています。わかりやすい例は、右下に向かって斜めに伸びる線で確認できます。このような比は常に 1 になります。これは、0 以外の数をそれ自身で割ると常に 1 になるからです。

このような冗長性なしにすべての有理数を生成することは可能です。例としては、カルキン・ウィルフ木やシュテルン・ブロコット木が挙げられます。

すべての有理数の集合は可算であり、すべての実数の集合（および無理数の集合）は不可算であるため、有理数の集合は空集合です。つまり、ほとんどすべての実数は、ルベーグ測度の意味で無理数です。

有理数は実数の稠密な部分集合であり、すべての実数にはそれに近い有理数が存在します。^[6]関連する性質として、有理数は正則連分数として有限展開できる唯一の数であるという点があります。^[18]

実数の通常の位相では、有理数は開集合でも閉集合でもない。^[19]

有理数は、その順序により、順序位相を持ちます。有理数は、実数の部分空間として、部分空間位相も持ちます。有理数は、絶対差計量を使用して距離空間を形成し、これにより⁠ ⁠上の第 3 の位相が生成されます。3つの位相はすべて一致し、有理数を位相体に変換します。有理数は、局所コンパクトではない空間の重要な例です。有理数は、孤立点のない唯一の可算距離化可能空間として位相的に特徴付けられます。この空間はまた、完全に分離されています。有理数は完全な計量空間を形成せず、実数は上記の計量の下で⁠ ⁠の完成です。^[14]${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

上記の絶対値メトリックに加えて、⁠ ⁠ を${\displaystyle \mathbb {Q} }$位相体に変換する他のメトリックがあります。

p を素数とし、任意の 0 以外の整数aに対して、pがa を割り切る最大の累乗であるp ⁿとします。 ${\displaystyle |a|_{p}=p_{-n},}$

加えて任意 の有理数に対して、${\displaystyle |0|_{p}=0.}$${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

それから

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

⁠ ⁠ ^[20]の測定基準を定義する${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

計量空間⁠ ⁠ は${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$完全ではなく、その完備性はp進数体⁠ ⁠です。${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ オストロフスキーの定理は、有理数⁠ ⁠上の任意の非自明な絶対値は、通常の実絶対値またはp進絶対値のいずれかに等しいことを述べています。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

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• 「有理数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「有理数」 MathWorld より – Wolfram Web リソース