ハウスドルフギャップ

数学において、ハウスドルフギャップは、大まかに言って、整数のシーケンスの 2 つのコレクションから構成され、2 つのコレクションの間にシーケンスは存在しません。最初の例は、ハウスドルフ (1909) によって発見されました。ハウスドルフギャップの存在は、シーケンスの可能な成長率の部分的に順序付けられたセットが完全ではないことを示しています。

を非負整数のすべてのシーケンスの集合とし、 を意味すると定義します。 ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle f<g}$${\displaystyle \lim \left(g(n)-f(n)\right)=+\infty }$

が半順序集合で、およびが基数である場合、 の-プレギャップはの元の集合であり、 の元の集合であって、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (\kappa ,\lambda )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \in \kappa }$${\displaystyle g_{\beta }}$${\displaystyle \beta \in \lambda }$

• 超限数列は厳密に増加します。${\displaystyle f}$
• 超限数列は厳密に減少します。${\displaystyle g}$
• シーケンスのすべての要素は、シーケンスのすべての要素よりも小さくなります。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

プレギャップは、次の追加条件を満たす場合に ギャップと呼ばれます。

• のすべての要素より大きい要素、および のすべての要素より小さい要素は存在しません。${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ハウスドルフギャップとは、 におけるギャップであり、すべての可算順序数とすべての自然数に対して、未満のは有限個しか存在せず、が存在するすべての場合において となるようなギャップです。 ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{1})}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k>n}$${\displaystyle f_{\alpha }(k)<g_{\beta }(k)}$

これらの定義には、順序付けられた集合を類似の集合に置き換えたバリエーションがいくつかあります。たとえば、 を と再定義して、有限個を除くすべての に対してを意味するようにすることができます。ハウスドルフ (1936) によって導入された別のバリエーションは、が に含まれない有限個の要素しか持たず、に含まれない無限個の要素を持つ場合、の順序が で与えられる、 のすべての部分集合の集合で を置き換えるというものです。 ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle f<g}$${\displaystyle f(n)<g(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle A<B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

ZFC では、ハウスドルフ ギャップと-ギャップ ( はにおける最小の無限集合の濃度) が存在し、 -ギャップは存在しないことを証明できます。より強い開彩色公理により、ハウスドルフ ギャップとのタイプのギャップを除くすべてのタイプのギャップを除外できます。 ${\displaystyle (b,\omega )}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle (\omega ,\omega )}$${\displaystyle (\kappa ,\omega )}$${\displaystyle \kappa \geq \omega _{2}}$

• Carotenuto、Gemma (2013)、OCA の概要(PDF)、Matteo Viale による講義メモ
• Ryszard, Frankiewicz; Paweł, Zbierski (1994)、「ハウスドルフのギャップと限界」、論理学と数学の基礎研究、第 132 巻、アムステルダム: North-Holland Publishing Co.、ISBN 0-444-89490-X、MR  1311476
• Hausdorff, F. (1909)、Die Graduierung nach dem Endverlauf、Abhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig、vol. 31、BG Teubner、296–334 ページ
• Hausdorff, F. (1936)、「Summen von ℵ1 Mengen」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、26 (1)、ポーランド科学アカデミー数学研究所: 241–255、doi : 10.4064/fm-26-1-241- 255、ISSN  0016-2736
• Scheepers, Marion (1993)、「ωω のギャップ」、Judah, Haim (編)、『実数の集合論』（Ramat Gan、1991 年）イスラエル数学会議論文集、第 6 巻、Ramat Gan: Bar-Ilan Univ.、pp. 439–561、ISBN 978-9996302800、MR  1234288

• 「ハウスドルフギャップ」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]