リース・フィッシャーの定理

数学において、実解析におけるリース・フィッシャーの定理は、平方可積分関数の空間L ²の特性に関する密接に関連した多数の結果のいずれかです。この定理は、1907 年にフリジェシュ・リースとエルンスト・ジギスムント・フィッシャーによって独立に証明されました。

多くの著者にとって、リース・フィッシャーの定理は、ルベーグ積分理論のLp 空間が 完全であるという事実を指します。 ${\displaystyle L^{p}}$

定理の最も一般的な形式は、 上の測定可能な関数が二乗積分可能であることと、対応するフーリエ級数がLp 空間で収束する場合に限ります。これは、二乗積分可能な関数fに対応するフーリエ級数のN番目の部分和が で与えられ 、 ここでn番目のフーリエ係数が で与えられる 場合 、 が-ノルムで あることを意味します 。 ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle L^{2}.}$$${\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},}$$${\displaystyle F_{n},}$$${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {e} ^{-inx}\ ,\mathrm {d} x,}$$$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\Vert S_{N}ff\right\|_{2}=0,}$$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

逆に、が複素数の両側列（つまり、そのインデックスが負の無限大から正の無限大までの範囲） である場合、 fが二乗積分可能で、値がfのフーリエ係数であるような 関数f が存在することになります。 ${\displaystyle \{a_{n}\}\,}$$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2} <\infty ,}$$${\displaystyle a_{n}}$

この形式のリース・フィッシャーの定理はベッセルの不等式のより強い形式であり、フーリエ級数に対するパーセバルの恒等式を証明するために使用できます。

その他の結果は、リース・フィッシャーの定理と呼ばれることが多い (Dunford & Schwartz 1958, §IV.16)。その中には、A がヒルベルト空間H内の正規直交集合である場合、 可算個を除くすべての および に対してが 成り立つという定理がある。さらに 、 A がHの正規直交基底で、x が任意のベクトル である 場合、この級数はxに可換 収束(または無条件に) する。これは、任意の に対してA内に有限集合が存在し、 任意の有限集合BがB ₀を含む場合、と なることを言うのと同等である。さらに、集合Aに関する以下の条件は同等である。 ${\displaystyle x\in H,}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$$${\displaystyle y\in A,}$$${\displaystyle \sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}.}$$$${\displaystyle \sum _{y\in A}\langle x,y\rangle \,y}$$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle B_{0}}$$${\displaystyle \|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\|<\varepsilon }$$

• 集合AはHの正規直交基底である
• あらゆるベクトルに対して${\displaystyle x\in H,}$

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.}$$

もう一つの結果は、リースとフィッシャーの名前を冠することもある、 (またはより一般的には) が完全であるという定理です。 ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{p},0<p\leq \infty }$

リース・フィッシャーの定理は、より一般的な設定にも適用できます。Rを関数(たとえば、直線上の測定可能な関数、単位円上の解析関数。古い文献ではユークリッド空間と呼ばれることもあります) で構成される内積空間とし、をR内の正規直交系(たとえば、フーリエ基底、エルミート多項式またはラゲール多項式など –直交多項式を参照) としますが、必ずしも完全である必要はありません (内積空間では、正規直交集合は、その集合内のすべてのベクトルに直交する非ゼロのベクトルがない場合に完全です)。定理は、ノルム空間Rが完全 (したがってRはヒルベルト空間) である場合、有限ノルムを持つ任意のシーケンスは空間R内の関数fを定義すると主張しています。 ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$${\displaystyle \{c_{n}\}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

関数f はRノルムの極限によって定義されます 。 ${\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k},}$

ベッセルの不等式と組み合わせると、その逆も成り立つことがわかります。つまり、fがRの関数である場合、フーリエ係数は有限ノルムを持ちます。 ${\displaystyle (f,\varphi _{n})}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

Riesz (1907、p. 616) は、その注釈の中で、次のような結果を述べています (ここでは、ある時点で現代語に翻訳されています。この表記法は1907 年には使用されていませんでした)。 ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$

を の正規直交系とし、実数列とする。級数の収束は、関数fが存在するための必要十分条件であり、${\displaystyle \left\{\varphi _{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}^{2}}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)\,\mathrm {d} x=a_{n}\quad {\text{ for every }}n.}$$

現在、リースのこの結果は、ヒルベルト空間における直交ベクトルの級数に関する基本的事実の特殊なケースとなっています。

Riesz のノートは 3 月に発表されました。5 月には、Fischer (1907、p. 1023) が、(ほぼ現代の言葉で) のCauchy 列が- ノルムで何らかの関数に収束することを定理で明示的に述べています。このノートでは、Cauchy 列は「平均に収束する列」と 呼ばれ、次のように表されます。また、- ノルムの極限への収束は「関数への平均収束」と呼ばれます。この文をフランス語から翻訳したものが次のとおりです。 ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle f\in L^{2}([a,b]).}$${\displaystyle L^{2}([a,b])}$${\displaystyle \Omega .}$${\displaystyle L^{2}}$

定理。 に属する関数の列が平均に収束する場合、その列が平均に収束する関数 f が存在する。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

フィッシャーは、システムの直交性と完全性の結果として、リースの前述の結果を証明し続けます。${\displaystyle L^{2}.}$

フィッシャーの完全性の証明はいくぶん間接的である。これは、与えられたコーシー列における 関数g _nの不定積分、すなわち、ある関数G 、つまり有界変動で連続する関数 G に 一様収束するという事実を利用している。コーシー列の極限の存在は、ルベーグ理論の微分定理をGに適用することによって得られる。 リースは彼のノートで同様の推論を使用しているが、彼の結果はそのように解釈できるにもかかわらず、の完全性については明示的に言及していない。リースは、与えられた平方和可能係数を持つ三角級数を項ごとに積分すると、有界変動を持つ連続関数Fに一様収束する級数を得ると述べている。ほとんどどこでも定義されているF  の  導関数f は平方和可能であり、フーリエ係数として与えられた係数を持つ。 $${\displaystyle G_{n}(x)=\int _{a}^{x}g_{n}(t)\,\mathrm {d} t,}$$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle g\in L^{2}}$
${\displaystyle L^{2},}$

一部の著者、特にロイデン^[1]にとって、リース・フィッシャー定理は の完全な結果である。すなわち、 における関数の任意のコーシー列は、pノルムによって誘導される計量の下でにおける関数に収束する。以下の証明は、ルベーグ積分の収束定理に基づいている。 に対する結果は、 における任意のコーシー列が急速に収束するコーシー部分列を持つこと、 収束する部分列を持つ任意のコーシー列が収束すること、における任意の急速に収束するコーシー列が で収束することを示すことによっても得られる。${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p},}$${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}.}$

ミンコフスキー不等式は、Lp 空間がノルム空間であることを意味します。 が完全である、つまり がバナッハ空間であることを証明するには、 内の関数のすべての級数が -ノルム で何らかの関数に収束することを証明すれば十分です (たとえば、バナッハ空間#定義 を参照) 。ミンコフスキー不等式と単調収束定理は、 がほぼどこでも - で 定義され、 であることを意味します 。支配収束定理は、級数の部分和が-ノルムでfに収束することを証明するために使用します。 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle \sum u_{n}}$${\displaystyle L^{p}(\mu )}$$${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}<\infty }$$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$${\displaystyle p<\infty ,}$$${\displaystyle \int \left(\sum _{n=0}^{\infty }|u_{n}|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\sum _{n=0}^{\infty }\|u_{n}\|_{p}\right)^{p}<\infty ,\ \ {\text{ hence }}\ \ f=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}}$$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

pノルムはもはや劣加法的ではないため、このケースにはいくつかの修正が必要です。まず、より強い仮定から始め 、繰り返して使用します。 このケースは、無視できる集合の外側での均一収束に関する単純な問題に帰着します。 ${\displaystyle 0<p<1}$$${\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty }$$$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ when }}p<1}$$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle \mu }$

• バナッハ空間 – 完全なノルムベクトル空間

• ビールズ、リチャード（2004）『分析：入門』、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-60047-2。
• ダンフォード、N.; シュワルツ、JT (1958)、線形演算子、パート I、Wiley-Interscience。
• フィッシャー、エルンスト(1907)、「Sur la convergence en moyenne」、Comptes rendus de l'Académie des Sciences、144 : 1022–1024。
• Riesz、Frigyes (1907)、「Sur les systèmes orthogonaux de fonctions」、Comptes rendus de l'Académie des Sciences、144 : 615–619。