往復法

数理論理学、特に集合論とモデル理論において、往復法は、特定の条件を満たす可算無限構造間の同型性を示す方法である。具体的には、以下のことを証明するために使用できる。

• 端点を持たない、可算無限に密に順序付けられた集合（つまり、任意の 2つの要素の間に別の要素が存在するように線形に順序付けられた集合）は、同型である。線形順序間の同型とは、単に厳密に増加する全単射のことである。この結果は、例えば、すべての有理数の集合とすべての実代数的数の集合の間に厳密に増加する全単射が存在することを意味する。
• 可算無限個の原子を含まないブール代数であれば、互いに同型である。
• ある理論の、同値な可算原子モデルは、いずれも同型である。
• エルデシュ・レニーのランダムグラフモデルを可算無限グラフに適用すると、ほぼ確実に一意のグラフ、ラドグラフが生成されます。
• 任意の2つの多完全再帰的列挙可能集合は、再帰的に同型である。

私たちは言語を確立します$\displaystyle {\mathcal {L}}}$そして私たちは2つを考慮$\displaystyle {\mathcal {L}}}$-構造$\displaystyle {\mathcal {M}}}$そして$\displaystyle {\mathcal {N}}}$それぞれのドメイン${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$。

部分同型を次のように呼びます。$\displaystyle {\mathcal {M}}}$そして$\displaystyle {\mathcal {N}}}$2つの間の同型性$\displaystyle {\mathcal {L}}}$-下部構造$\displaystyle {\mathcal {M}}}$そして$\displaystyle {\mathcal {N}}}$。

空でない家族${\displaystyle {\mathcal {I}}}$部分同型写像間の$\displaystyle {\mathcal {M}}}$そして$\displaystyle {\mathcal {N}}}$以下の2つの性質が両方とも成り立つ場合、それは往復運動と呼ばれる。

• （第4）${\displaystyle \forall \sigma \in {\mathcal {I}}\;\;\forall c\in M\;\;\exists \sigma '\in {\mathcal {I}}\;{\bigl (}\sigma \subseteq \sigma '\;\land \;c\in \mathrm {dom} (\sigma '){\bigr )}}$

• （戻る）${\displaystyle \forall \sigma \in {\mathcal {I}}\;\;\forall d\in N\;\;\exists \sigma '\in {\mathcal {I}}\;{\bigl (}\sigma \subseteq \sigma '\;\land \;d\in \mathrm {im} (\sigma '){\bigr )}}$

言い換えれば、この族の各部分同型写像は、依然としてその族に属する拡張を許容する。さらに、拡張の定義域、あるいはその像（終域）にどの新しい要素が属するべきかを規定することで、各部分同型写像に対して、より正確な拡張を見つけることができる。

例えば、往復法はカントールの同型定理を証明するために使用できますが、これはゲオルク・カントールの本来の証明ではありません。この定理は、2 つの非有界可算稠密線形順序が同型であることを述べています。^{[ 1 ]}

仮に

• ( A , ≤ _A ) および ( B , ≤ _B ) は線形順序付けられた集合です。
• 両者とも非有界である。つまり、AもBも最大値も最小値も持たない。
• それらは密に配列されており、つまり、任意の2つの要素の間には必ず別の要素が存在する。
• それらは可算無限である。

基となる集合の列挙を（重複なく）修正する。

A = { a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... },

B = { b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... }。

ここで、 AとBの間に厳密に増加する1対1の対応関係を構築します。最初は、 Aのどの要素もBのどの要素ともペアになっていません。

(1) a _iがBのどの要素ともまだペアになっていない最小のインデックスをiとする。b jがAのどの要素ともまだペアになっておらず、ペアリングが厳密に増加するという条件を満たしながらa iとb _{j をペアにできるようなインデックスを jと}する。a _iとb j_をペアにする。

(2) b _jがAのどの要素ともまだペアになっていない最小のインデックスをjとする。a _iがBのどの要素ともまだペアになっておらず、ペアリングが厳密に増加するという条件を満たしながらb _jをa _iとペアにできるようなインデックスを i とする。b _{j を}a _iとペアにする。

（３）ステップ（１）に戻る。

ステップ（1）と（2）で求められる選択が、実際に要件に従って行えるかどうかを確認する必要がある。ステップ（1）を例にとると、次のようになる。

Aに、Bのb _pとb _qに対応するpとq_が既に存在し、_a p _< a i _< a q_かつb p _< b q_を満たす場合、密度を利用してb _pとb _qの間にb _{j を}選択します。そうでない場合は、 B が最大値も最小値も持たないという事実を利用して、Bの適切な大きい要素または小さい要素を選択します。ステップ(2)で行われた選択は、双対的に可能です。最後に、 AとB は可算無限であるため、構成は可算個のステップで終了します。なお、すべての前提条件を使用する必要がありました。

ホッジス（1993）によると：

往復法はしばしばカントール、バートランド・ラッセル、CH ラングフォードに帰せられるが、これらの帰属を裏付ける証拠はない。

可算稠密順序集合に関する定理はカントール（1895年）によるものですが、現在その証明に用いられている往復法は、エドワード・ヴァーミリイ・ハンティントン（1904年）とフェリックス・ハウスドルフ（1914年）によって開発されました。その後、この方法は他の状況にも応用され、特にローランド・フレイゼによってモデル理論に応用されました。

• エーレンフォイヒト対フレッセの対局

• ハウスドルフ、F. (1914)、グルンジュゲ デア メンゲンレーレ
• ホッジス、ウィルフリッド（1993）、『モデル理論』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-30442-9
• ハンティントン、E.V.（1904）、『連続体とその他の系列順序、カントールの超限数入門』、ハーバード大学出版局
• マーカー、デイビッド（2002）、『モデル理論入門』、大学院数学テキスト、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-98760-6