ハウスドルフモーメント問題

数学において、ハウスドルフモーメント問題（ハウスドルフモーメントじゅんじゃく）は、フェリックス・ハウスドルフにちなんで名付けられ、与えられた数列 （m ₀、m ₁、m ₂、…）がモーメント数列となるための必要十分条件を求める問題である。

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)}$

閉じた単位区間[0, 1]でサポートされるボレル測度 μ の存在。 m ₀ = 1の場合、これは[0, 1]でサポートされるランダム変数Xの存在と同等であり、E[ X ⁿ ] = m _nとなります。

このモーメント問題と他のよく知られたモーメント問題との本質的な違いは、これが有界区間上にあるのに対し、スティルチェス モーメント問題では半直線[0, ∞)を考慮し、ハンバーガー モーメント問題では直線全体(−∞, ∞)を考慮するという点です。スティルチェス モーメント問題とハンバーガー モーメント問題は、解ける場合、無限に多くの解を持つことがあります (不定モーメント問題)。一方、ハウスドルフモーメント問題は、解ける場合、常に唯一の解を持ちます (定モーメント問題)。不定モーメント問題の場合、同じ規定モーメントに対応する測度は無限にあり、それらは凸集合で構成されます。モーメント問題が不定である場合、多項式の集合は関連するヒルベルト空間で稠密である場合もそうでない場合もあります。これは、測度が極値であるかどうかによって決まります。しかし、定モーメント問題の場合、多項式の集合は関連するヒルベルト空間で稠密です。

1921年にハウスドルフは、( m ₀ , m ₁ , m ₂ , ...)がそのようなモーメント列であるためには、その列が完全に単調であること、すなわちその差分列が次式を満たすことが必要であることを示した。

${\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0}$

全てのn、k≥0に対して。ここでΔは差分演算子で あり、

${\displaystyle (\Delta m)_{n}=m_{n+1}-m_{n}.}$

この条件の必要性は、アイデンティティによって容易にわかる。

${\displaystyle (-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{k}d\mu (x),}$

これは非負関数の積分なので非負である。例えば、

${\displaystyle (\Delta^{4}m)_{6}=m_{6}-4m_{7}+6m_{8}-4m_{9}+m_{10}=\int x^{6}(1-x)^{4}d\mu (x)\geq 0.}$

• 絶対的かつ完全に単調な関数とシーケンス
• 完全な単調性

• ハウスドルフ、F.「Summationsmethoden und Momentfolgen. I.」数学時代9、74–109、1921 年。
• ハウスドルフ、F.「Summationsmethoden und Momentfolgen. II」。Mathematische Zeitschrift 9、280–299、1921。
• フェラー、W.「確率理論とその応用入門」第2巻、John Wiley & Sons、1971年。
• Shohat, JA .; Tamarkin, JD 『モーメントの問題』、アメリカ数学会、ニューヨーク、1943年。