ハウスドルフ密度

数学の一分野である測度論において、ハウスドルフ密度はラドン濃度が特定の点で どの程度集中しているかを測定します。

をラドン測度とし、ユークリッド空間内の点とする。s次元の上部ハウスドルフ密度と下部ハウスドルフ密度はそれぞれ次のように定義される。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Theta ^{*s}(\mu ,a)=\limsup _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

そして

${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)=\liminf _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

ここで、 は半径r > 0 で中心がaの球です。明らかに、すべての に対してです。2 つが等しい場合、それらの共通値をaにおけるのs 密度と呼び、 と表記します。 ${\displaystyle B_{r}(a)}$${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)\leq \Theta ^{*s}(\mu ,a)}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Theta ^{s}(\mu ,a)}$

次の定理は、 s密度が存在する時間は非常にまれであると述べています。

マルストランドの定理:を 上のラドン測度とします。s密度が存在し、正の測度の集合においてaに対して正かつ有限であると仮定します。このときsは整数です。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Theta ^{s}(\mu ,a)}$${\displaystyle \mu}$

1987 年、デイヴィッド・プライスは、マルストランドの定理のより強力なバージョンを証明しました。その結果、正の有限密度を持つ集合は修正可能集合であることがわかりました。

プライスの定理:を 上のラドン測度とします。mは整数で、m 密度が存在し、 の台にあるほぼすべての a に対して正かつ有限であるとします。するとはm補正可能、つまり(はハウスドルフ測度に関して絶対連続)であり、 の台はm補正可能集合です。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \geq 1}$${\displaystyle \Theta ^{m}(\mu ,a)}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu \ll H^{m}}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle H^{m}}$${\displaystyle \mu}$

• 数学百科事典の集合の密度
• 数学百科事典の Rectifiable Set について

• Pertti Mattila、「ユークリッド空間における集合と測度の幾何学」、ケンブリッジ出版、1995年。
• Preiss, David (1987). 「分布、整流性、密度における測定の幾何学」. Ann. Math . 125 (3): 537–643. doi :10.2307/1971410. hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR  1971410.${\displaystyle R^{n}}$