行列指数

数学において、指数行列は、通常の指数関数に類似した正方行列上の行列関数です。これは、線形微分方程式系を解くために使用されます。リー群の理論では、指数行列は、行列リー代数と対応するリー群との間の指数写像を与えます。

$X を$ $n \times n$ の実数または複素行列とする。 $X$ の指数関数は $e X$ または $exp(X)$ で表され、次のべき級数で与えられる $n \times n行列である。$

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}$

ここで、はと同じ次元の単位行列として定義されます。^[1]級数は常に収束するため、 $X$ の指数は明確に定義されます。 $X^{0}$ $I$ $X$

同様に、 $e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}$

ここで $Iは$ $n \times n$ の単位行列です。

$X$ が $n \times n$ 対角行列の場合、 $exp(X)は$ $n \times n$ $対角行列になり、各対角要素はX$ の対応する対角要素に適用された通常の指数に等しくなります。

プロパティ

基本的な性質

$X$ と $Yを$ $n \times n$ 複素行列とし、 $a$ と $bを$ 任意の複素数とする。n×n単位行列をI、零行列を0で表す。 $指数行列$ $は$ 以下の $性質$ を満たす。^[2]

まず、べき級数としての定義から直接得られる特性から始めます。

$0 = 私 $
$exp(X T) = (exp X) T$ 、ここで $X T は$ $X$ の転置を表します。
$exp(X *) = (exp X) *$ 、ここで $X * は$ $X$ の共役転置を表します。
$Y$ が逆関数の場合、 $e YXY -1 = Ye X Y -1 となります。$

次の重要な結果は次のとおりです。

もしそうなら。 $XY=YX$ $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$

この恒等式の証明は、実数の指数関数の対応する恒等式の標準的な冪級数の議論と同じです。つまり、とが可換である限り $X$ $Y$ 、とが数であるか行列であるかは議論に違いをもたらしません。とが可換でない場合、この恒等式は通常は成立しないことに注意することが重要です(以下の Golden-Thompson 不等式を参照)。 $X$ $Y$ $X$ $Y$

前述のアイデンティティの結果は次のとおりです。

$e aX e bX = e (a + b) X$
$e X e - X = I$

上記の結果を使用して、次の主張を簡単に検証できます。X $が$ 対称であれば、 $e X$ も対称であり、 $X$ が歪対称であれば、 $e X は$ 直交します。Xが $エルミート$ であれば、 $e X$ もエルミートであり、 $X$ が歪エルミートであれば、 $e X$ はユニタリです。

最後に、行列指数のラプラス変換は、 $s$ が十分に大きい正の値であれば、すべてレゾルベントになります。 $\int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}$

線形微分方程式系

行列指数が重要な理由の1つは、線形常微分方程式の系を解くのに使用できることです。A $が$ 定数行列でyが列ベクトルである場合の解は、次のように与えられます。 ${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},$ $y(t)=e^{At}y_{0}.$

行列指数は不同次方程式を解くのにも使用できます。例については、以下のアプリケーションのセクションを参照してください。 ${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.$

$A$ が定数ではない形式の微分方程式には閉じた形の解はありませんが、マグヌス級数は無限和として解を与えます。 ${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},$

行列指数の行列式

ヤコビの公式によれば、任意の複素正方行列に対して次のトレースの恒等式が成り立つ：^[3]

$\det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.$

この式は計算ツールを提供するだけでなく、指数行列が常に可逆行列であることを示しています。これは、上記の式の右辺が常にゼロ以外であり、 $det(e A) \neq 0 で$ あるという事実から導かれ、 $e A は$ 必ず可逆であることを意味します。

実数値の場合、式は、前述の複素数の場合とは対照的に、写像が全射ではないことも示しています。これは、実数値行列の場合、式の右辺が常に正であるのに対し、負の行列式を持つ可逆行列が存在するという事実から生じます。 $\exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$

実対称行列

実対称行列の行列指数は正定値です。を $n$ $\times$ $n$ 実対称行列、を列ベクトルとします。行列指数と対称行列の基本的な性質を使用すると、次の式が得られます。 $S$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$

$x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.$

は可逆なので、等式はに対してのみ成立し、すべての非ゼロに対してが成立します。したがっては正定値です。 $e^{S/2}$ $x=0$ $x^{T}e^{S}x>0$ $x$ $e^{S}$

和の指数

任意の実数（スカラー） $x$ と $y$ に対して、指数関数は $e x + y = e x e y$ を満たすことが分かっています。同じことは可換行列にも当てはまります。行列 $X$ と $Yが$ 可換である場合（つまり $XY = YX$ である場合）、 $e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.$

ただし、交換されない行列の場合、上記の等式は必ずしも成立しません。

リー積の公式

$X$ と $Yが$ 可換でない場合でも、指数関数 $e X + Yは$ リー積公式^[4]によって計算できる。 $e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.$

上記を近似するために大きな有限の $k を使用することは、$ 数値時間発展でよく使用される Suzuki-Trotter 展開の基礎となります。

ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式

逆に、 $X$ と $Y$ が十分に小さい（必ずしも可換ではない）行列である場合、次式が得られます。ここで、 $Z は$ 、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式によって、 $X$ と $Y$ の交換子の級数として計算できます。^{[5]ここで、残りの項はすべて、} $X$ と $Y を$ 含む反復交換子です。 $X$ と $Y が可換である場合、すべての交換子はゼロであり、単に$ $Z$ $=$ $X$ $+$ $Y$ となります。 $e^{X}e^{Y}=e^{Z},$ $Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$

エルミート行列の指数関数の不等式

エルミート行列の場合、行列指数のトレースに関連した注目すべき定理があります。

$A$ と $Bが$ エルミート行列である場合、 ^[6] $\operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].$

交換可能性の要件はありません。ゴールデン・トムソン不等式は3つの行列に拡張できないことを示す反例があります。また、いずれにしても、 $tr(exp(A)exp(B)exp(C))はエルミート行列$ $A$ 、 $B$ 、 $C$ に対して実数である保証はありません。しかし、Liebは^[7]^[8] 、次のように式を修正すれば3つの行列に一般化できることを証明しました。 $\operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].$

指数マップ

行列の指数は常に可逆行列です。e $X$ の逆行列は $e$ $-$ $X$ で与えられます。これは、複素数の指数が常にゼロでないという事実に似ています。行列指数は、すべての n × n 行列の空間から n 次一般線型群、つまりすべての n × n 可逆行列の群への写像を与えます $。$ 実際、この写像は $全射$ であり、つまりすべての可逆行列は他の行列の指数として表すことができます^[9] (このためには、複素数の体C を考慮することが重要であり、 R を考慮する必要はありません)。 $\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

任意の2つの行列 $X$ と $Y$ について、 $\left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},$

ここで、 $‖\cdot‖は任意の$ 行列ノルムを表す。したがって、指数写像は $Mn$ $($ $C$ $)$ $の$ コンパクト部分集合上で連続かつリプシッツ連続である。

この写像は、一般線型群において、 $t$ $= 0$ で単位元を通過する滑らかな曲線を定義します。 $t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R}$

実際、これは一般線型群の 1パラメータ部分群を与える。 $e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.$

この曲線（または接線ベクトル）の点tにおける微分は次のように与えられる。

$t = 0$ での導関数は行列Xに等しく、つまりX はこの 1 パラメータサブグループを生成します。

より一般的には、^{[10]一般的な} $t$ 依存指数 $X (t)$ に対して、

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.$

上記の式 $e X (t)$ を積分符号の外側にとり、アダマールの補題を用いて積分関数を展開すると、行列指数の導関数を表す次の便利な式が得られる。^[11] $\left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots$

上記の式の係数は指数関数に現れるものとは異なります。閉じた形式については、指数マップの導関数を参照してください。

エルミート行列に限定した場合の方向微分

を異なる固有値を持つエルミート行列とする。をその固有分解とする。ここではユニタリ行列で、その列はの固有ベクトル、はその共役転置、は対応する固有値のベクトルである。すると、任意のエルミート行列に対して、方向におけるの方向微分は^[12]^[13]となる。ここで、演算子はアダマール積を表し、すべてのに対して、行列はと定義される。さらに、任意のエルミート行列に対して、方向および方向の 2 次方向微分は ^[13]となる。ここで、行列値関数は、すべてのに対して、次のように定義される。 $X$ $n\times n$ $X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}$ $E$ $X$ $E^{*}$ $\Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)$ $n\times n$ $V$ $\exp :X\to e^{X}$ $X$ $V$ $D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}$ ${\bar {V}}=E^{*}VE$ $\odot$ $1\leq i,j\leq n$ $G$ $G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.$ $n\times n$ $U$ $U$ $V$ $D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}$ $F$ $1\leq i,j\leq n$ $F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})$ $\phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.$

行列指数の計算

行列指数を計算するための信頼性が高く正確な方法を見つけることは難しく、これは現在でも数学と数値解析の分野でかなり研究されているトピックです。Matlab、GNU Octave、R、およびSciPy はすべてパデ近似を使用します。^[14]^[15]^[16]^[17]このセクションでは、原理的にはどの行列にも適用でき、小さな行列に対して明示的に実行できる方法について説明します。^[18]以降のセクションでは、大きな行列の数値評価に適した方法について説明します。

対角化可能な場合

行列が対角行列の場合、その指数は主対角線上の各要素を指数化することで得られます。 $A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},$ $e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.$

この結果により、対角化可能な行列を指数化することも可能になる。

A = UDU -1

$D$ は対角線なので

e A = Ue D U -1

です。

シルベスターの公式を適用しても同じ結果が得られます。(これを確認するには、対角行列の加算と乗算、つまり累乗は、要素ごとの加算と乗算、つまり累乗と同等であることに注意してください。特に、対角行列の場合、「1 次元」の累乗は要素ごとに行われます。)

例: 対角化可能

例えば、行列は次のように対角化できる。 $A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.$

したがって、 $e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.$

零位ケース

行列 $N が$ べき零であるとは、ある整数qに対して $N q = 0$ となる場合です。この場合、級数は有限個の項の後に終了するため、級数展開から直接、行列指数 $e$ $N を$ 計算できます。

$e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.$

この級数は有限個のステップを持つため、行列多項式となり、効率的に計算できます。

一般的なケース

ジョルダン・シュヴァレー分解を使う

ジョルダン・シュヴァレー分解により、複素要素を持つ任意の行列Xは次のように表される。ここで $n\times n$ $X=A+N$

Aは対角化可能である
Nはべき乗である
Aは Nと通勤する

これは、前の 2 つのケースに還元することでXの指数を計算できることを意味します。 $e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.$

最後のステップが機能するには、 AとNの可換性が必要であることに注意してください。

ジョルダン標準形の使用

これによく似た方法として、体が代数的に閉じている場合、 $X$ のジョルダン形式を扱う方法がある。 $X$ $=$ $PJP$ $-1$ と仮定する。ここで $J は$ $X$ のジョルダン形式である。すると $e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.$

また、 ${\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}$

したがって、ジョルダンブロックの行列指数を計算する方法さえ知っていればよい。しかし、各ジョルダンブロックは次のような形式である。 ${\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}$

ここで $Nは$ 特別な冪零行列である。Jの行列指数は次のように与えられる $。$ $e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}$

投影ケース

$P が$ 射影行列（つまり冪等： $P 2 = P$ ）である場合、その行列指数は次のようになります。

eP = I + (e - 1) P です

。

これを指数関数の展開によって導くと、 $Pの各累乗は$ $P$ に減算され、これが合計の共通因数になります。 $e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.$

回転ケース

直交する単位ベクトル $a$ と $bが$ 平面を指定する単純な回転の場合、^[19]回転行列 $Rは$ 生成元 $G$ と角度 $θ$ を含む同様の指数関数で表すことができます。^[20]^[21] ${\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}$

指数関数の式は、級数展開における $G$ のべき乗を減算し、 $G 2$ と $Gのそれぞれの級数係数をそれぞれ$ $-cos(θ)$ と $sin(θ)$ と同一視することで得られます。ここでの $e Gθ$ の 2 番目の式は、生成子の導出を含む記事の $R (θ)$ の式、 $R$ $($ $θ$ $) =$ $e$ $Gθ$ と同じです。

2 次元では、およびの場合、、、およびは平面回転の標準行列に簡約されます。 $a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]$ $b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]$ $G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$ $G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$ $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )$

行列 $P = - G 2 は$ ベクトルを $ab平面に$ 投影し、回転はベクトルのこの部分にのみ影響します。これを示す例として、 $a$ と $b$ が張る平面での $30° = π/6$ の回転が挙げられます。

${\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

$N = I - P$ とすると、 $N 2 = Nとなり、$ $P$ および $G$ との積はゼロになります。これにより、 $R$ の累乗を評価できます。

${\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}$

ローランシリーズによる評価

ケーリー・ハミルトン定理により、行列指数は $n$ −1次多項式として表現できます。

$P$ と $Q t$ が 1 変数の非ゼロ多項式で、 P ( A ) = 0 であり、 $有理型関数が$ 完全である場合、これを証明するには、上記の 2 つの等式の最初のものに $P$ $($ $z$ $)$ を掛け、 $z を$ $A$ に置き換えます。 $f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}$ $e^{tA}=Q_{t}(A).$

このような多項式 $Q t (z) は$ 次のようにして求められます（シルベスターの公式を参照）。 a を P の根とすると、 Q a,t ( z ) は、 a における f のローラン級数の主部分とP $の$ $積$ から解か $れます。これは$ $、$ 関連 $する$ フロベニウス共変量 $に$ 比例します。次に、 $a が$ $P$ のすべての根を横切るQ a _,tの合計S _{t を}、特定の $Q$ $t$ として取ることができます。他のすべてのQ _{t は} $、 Pの倍数を$ $S$ $t$ $($ $z$ $)$ に追加することで得られます。特に、ラグランジュ-シルベスター多項式 $S$ $t$ $($ $z$ $)$ は、次数が $P$ の次数よりも小さい唯一の $Q$ $t$ です。

例:任意の2×2行列の場合を考えてみましょう。 $A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.$

指数行列 $e tA は$ 、ケーリー・ハミルトン定理により、次の形式になる必要がある。 $e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.$

(任意の複素数 $z$ と任意のC代数 $Bに対して、$ $z$ と単位 $B$ の積を再び $z$ で表します。)

$α$ と $βを$ $A$ の特性多項式の根とすると、 $P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.$

すると、 $S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,$ ${\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}$

$α \neq β$ の場合;一方、 $α = β$ の場合、 $S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,$

となることによって ${\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}$

定義 ${\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}$

我々は持っています ${\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}$

ここで、 $sin(qt)/ qは、$ $t = 0$ の場合には0 、 $q$ $= 0$ の場合には $tに$ なります。

したがって、

$e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.$

したがって、上で示したように、行列 $Aは、$ 相互に交換可能な2つの部分、すなわちトレース部分とトレースなし部分の和に分解され、 $A=sI+(A-sI)~,$

行列指数は、2つのそれぞれの部分の指数の単純な積に簡約されます。これは物理学でよく使用される式で、パウリスピン行列に対するオイラーの公式、つまり群SU(2)の二重表現の回転の類似物に相当します。

多項式 $S t に$ は、次の「補間」特性を与えることもできます。 $e t (z) \equiv e tz$ 、および $n \equiv deg P$ と定義します。すると、 $S t (z)$ は、 $k が$ Pの根としての $a$ の重複度よりも小さい場合に $S t (k) (a) = e t (k) (a)を満たす唯一の次数$ $<$ $n$ の多項式です。当然のことですが、 $Pは$ $A$ の最小多項式であると仮定します。さらに、 $A$ $は$ 対角化可能な行列であると仮定します。特に、 $P$ の根は単純であり、「補間」特性は $S$ $t$ がラグランジュ補間公式によって与えられることを示しているため、ラグランジュ−シルベスター多項式です。

一方、 $P = (z - a) n$ の場合には、 $S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.$

上記の観察でカバーされていない最も単純なケースは、 $a$ $\neq$ $b$ の場合であり、これは次のようになる。 $P=(z-a)^{2}\,(z-b)$ $S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.$

実施による評価シルベスターの公式

上記の実際的で迅速な計算は、次の迅速な手順に簡略化されます。上で説明したように、n×n行列 $exp(tA)は$ 、ケイリー・ハミルトン定理により、 $A$ の最初の $n -1 乗の線形$ 結合になります。上に示したように、たとえば 2×2 の場合、シルベスターの公式により、 $exp($ $tA$ $) =$ $B$ $α$ $exp($ $tα$ $) +$ $B$ $β$ $exp($ $tβ$ $)$ が得られます。ここで、 $Bは$ $A$ のフロベニウス共変量です。

$ただし、この式とt$ $= 0での 1 次導関数を$ $A$ と $I$ について評価して、これらの $B$ を直接解くのが最も簡単で、上記と同じ答えが得られます。

しかし、この単純な手順は、ブッフハイムによる一般化では、欠陥のある行列にも適用できます。 ^{[22]ここでは、}対角化できない4×4行列の例でこれを示し、 $B$ は射影行列ではありません。

固有値 $λ$ $1$ $= 3/4$ および $λ$ $2$ $= 1$ （それぞれ重複度 2）を考えます。 $A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,$

各固有値の指数関数に $t$ を掛けたもの、 $exp(λ i t)$ を考えます。指数関数で乗じられた各固有値に、対応する未定係数行列 $B i$ $を掛けます。固有値の代数的重複度が 1 より大きい場合は、このプロセスを繰り返しますが、繰り返しごとにt$ という追加の係数を掛けて、線形独立性を確保します。

(1 つの固有値の重複度が 3 の場合、という 3 つの項が存在します。対照的に、すべての固有値が異なる場合、 $Bは$ フロベニウス共変量にすぎず、以下のように解くことは、これら 4 つの固有値のヴァンデルモンド行列の逆行列に相当します。) $B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}$

そのような項をすべて合計します。ここでは4つの項です。 ${\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}$

$未知の行列B$ のすべてを $A$ の最初の 3 つの累乗と恒等式で解くには 4 つの方程式が必要であり、上記の方程式は $t = 0 における方程式の 1 つである。さらに、これを$ $t$ について微分すると、 $Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,$

そしてまた、 ${\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}$

そしてもう一度、 ${\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}$

（一般的なケースでは、 $n$ −1 回の導関数を取る必要があります。）

$これら4つの方程式でt$ = 0と設定すると、4つの係数行列 $B$ sは次のように解ける。 ${\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}$

譲る ${\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}$

$A$ の値を代入すると係数行列が得られる。 ${\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

最終的な答えは $e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}$

この手順は、このような場合に時々使用されるPutzer のアルゴリズムよりもはるかに短くなります。

イラスト

の指数を計算したいとします。 $B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.$

そのジョルダン形式は行列Pが次のように与えられる。 $J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},$ $P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.$

まずexp( J )を計算してみましょう。 $J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)$

1×1行列の指数は、行列の1つの要素の指数なので、 $exp(J 1 (4)) = [e 4]となる。J$ ₂ (16)の指数は、上記の式 $e$ $(λ$ $I$ + $N$ $)$ $=$ $e$ $λ$ $e$ $N$ で計算でき、次の式が得られる^[23] $。$

${\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

したがって、元の行列 $B$ の指数は ${\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

アプリケーション

線形微分方程式

行列指数は、線形微分方程式系に応用できます。(行列微分方程式も参照してください。) この記事の前半で述べたように、形式の同次微分方程式には解 $e$ $At$ $y$ $(0)$ があります。 $\mathbf {y} '=A\mathbf {y}$

ベクトルを考えると、 非同次連立線型微分方程式の系は次のように表すことができます。e $-$ $At$ $の$ 積分係数を使用するという仮定を立てて、全体に掛け合わせると、次のようになります。 $\mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,$ $\mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).$ ${\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}$

$2 番目のステップは、 AB = BA$ の場合、 $e At B = Be At と$ なるため可能です。したがって、 $e At を$ $計算すると、 3 番目のステップをt$ に関して単純に積分することで、システムの解が得られます。

この解は、を積分し、を掛けて左辺の指数を消去することで得られます。は行列ですが、それが行列指数関数である場合、と言うことができることに注意してください。言い換えると、です。 $e^{{\textbf {A}}t}$ $e^{{\textbf {A}}t}$ $e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I$ $\exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}$

例（同質）

システムを検討する ${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.$

関連する欠陥マトリックスは $A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$

行列指数は $e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$

したがって、同次系の一般解は ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,$

相当する ${\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}$

例（不均質）

不均質なシステムを考えてみましょう ${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.$

私たちはまた $A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$

そして $\mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$

以前から、同次方程式の一般解はすでに得られています。同次解と特殊解を足すと非同次問題の一般解が得られるので、あとは特殊解を見つけるだけです。

上記により、パラメータの変化を通じて必要な特定の解を決定するためにさらに簡略化することができます。c = y p (0) に注意してください。より厳密_にするには、次の一般化を参照してください。 ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}$

不均質なケースの一般化：パラメータの変化

非同次ケースでは、積分因子（パラメータの変化に似た方法） $を使用することができます。y p$ $(t) = exp(tA) z (t)$ の形式の特定の解を求めます。 ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}$

$y p$ が解となるためには、 ${\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}$

したがって、 $c は$ 問題の初期条件によって決まります。 ${\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}$

より正確には、次の式を考えてみましょう $Y'-A\ Y=F(t)$

初期条件は $Y (t 0) = Y 0$ であり、ここで

$Aは$ $n$ 行n列の複素行列 $で$ あり、
$F は、ある開区間$ $Iから$ $C n$ までの連続関数であり、
$t_{0}$ $はI$ の点であり、
$Y_{0}$ $はC n$ のベクトルです。

上記の等式を $e -tA$ で左乗すると次の式が得られる。 $Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.$

我々は、方程式の解は $P(d/dt)\ y=f(t)$

$0 \leq$ $k$ $<$ $n$ の初期条件は $y^{(k)}(t_{0})=y_{k}$ $y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,$

ここでの表記は次のようになります。

$P\in \mathbb {C} [X]$ $はn > 0$ 次の単項多項式であり、
$f は、ある開区間$ $I$ 上で定義された連続複素数値関数であり、
$t_{0}$ $はI$ の点です、
$y_{k}$ は複素数であり、

$s k (t)$ は、上記のローラン級数による評価のサブセクションでで表される多項式の係数です。 $X^{k}$ $S_{t}\in \mathbb {C} [X]$

この主張を正当化するために、通常の1 次システムへの簡約によって、 $n$ 次スカラー方程式を 1 次ベクトル方程式に変換します。ベクトル方程式は、 $A が$ $P$ の転置コンパニオン行列である形式になります。この方程式を上記のように解き、上記のシルベスターの公式の実装によるサブセクション評価で行った観察によって行列指数を計算します。 ${\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},$

$n$ = 2の場合、次の式が得られます。 $y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}$

は $y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,$

ここで関数 $s 0$ と $s 1 は$ 上記のローラン級数による評価のサブセクションと同じです。

行列-行列指数

行列指数関数（行列-行列指数関数）^{[24]は、任意の}正規かつ特異でない $n$ $\times$ $n$ 行列 $X$ と任意の複素 $n$ $\times$ $n$ 行列 $Y$ に対して次のように定義されます。 $X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}$ $^{Y}\!X=e^{Y\cdot \log(X)}$

$行列-行列指数関数の場合、左指数関数Y X$ と右指数関数 $X Y$ の間には区別があります。これは、行列間の乗算演算子が可換ではないためです。さらに、

$X$ が正規かつ非特異である場合、 $X Y$ と $Y X は$ 同じ固有値の集合を持ちます。
$X$ が正規かつ非特異で、 $Y が$ 正規であり、 $XY = YX$ である場合、 $X Y = Y X$ です。
$X が$ 正規かつ非特異であり、 $X$ 、 $Y$ 、 $Z が$ 互いに可換である場合、 $X Y + Z = X Y \cdot X Z$ かつ $Y + Z X = Y X \cdot Z X$ となります。

参照

参考文献

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外部リンク

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[2] ホール 2015 提案 2.3

[3] ホール 2015 定理 2.12

[4] ホール 2015 定理 2.11

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[11] ホール 2015 定理 5.4

[lewis-12] Lewis, Adrian S.; Sendov, Hristo S. (2001). 「2 度微分可能なスペクトル関数」(PDF) . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 23 (2): 368–386. doi :10.1137/S089547980036838X.定理3.3を参照。

[deledalle-13] Deledalle, Charles-Alban; Denis, Loïc; Tupin, Florence (2022). 「合成開口レーダー画像のためのマトリックス対数領域におけるスペックル低減」Journal of Mathematical Imaging and Vision . 64 (3): 298–320. doi : 10.1007/s10851-022-01067-1 .命題1と命題2を参照してください。

[14] 「行列指数 – MATLAB expm – MathWorks Deutschland」。Mathworks.de。2011-04-30。2013-06-05に閲覧。

[15] 「GNU Octave – 行列の関数」。Network-theory.co.uk。2007年1月11日。2015年5月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年6月5日閲覧。

[16] 「R - pkg {Matrix}: Matrix Exponential」 2005年2月28日. 2023年7月17日閲覧。

[17] 「scipy.linalg.expm 関数ドキュメント」。SciPy コミュニティ。2015 年 1 月 18 日。2015年 5 月 29 日閲覧。

[18] Hall 2015 セクション 2.2 を参照

[19] ユークリッド空間における

[20] ^ワイル、ヘルマン（1952年）。 空間時間物質。ドーバー。p.142。ISBN 978-0-486-60267-7。

[21] Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964).相対論的量子力学. McGraw-Hill. p. 22.

[22] Rinehart, RF (1955). 「行列関数の定義の同値性」.アメリカ数学月刊誌, 62 (6), 395-414.

[23] これは一般化できます。一般に、 $J n (a)$ の指数は、主対角線上にe $a / 0!、$ その上の対角線上に $e a /1!、次の対角線上に$ $e a /2!$ などを持つ上三角行列です。

[24] Ignacio Barradas および Joel E. Cohen (1994)。「Iterated Exponentiation, Matrix-Matrix Exponentiation, and Entropy」(PDF) 。Academic Press, Inc. 2009-06-26 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。