保存法

物理学において、保存則とは、孤立した物理システムの特定の測定可能な特性は、システムが時間の経過とともに進化しても変化しないというものです。正確な保存則には、質量エネルギー保存則、線形運動量保存則、角運動量保存則、電荷保存則などがあります。また、質量、レプトン数、重粒子数、ストレンジネス、ハイパーチャージなどの量に適用される近似保存則も多数あります。これらの量は、特定のクラスの物理プロセスでは保存されますが、すべての物理プロセスで保存されるわけではありません。

局所保存則は、通常、数学的には連続方程式、つまり量の量とその量の「輸送」との関係を示す偏微分方程式として表現されます。これは、ある点または体積内の保存量の量は、体積に出入りする量の量によってのみ変化できることを示しています。

ノイマンの定理によれば、あらゆる微分可能な対称性は保存則につながる。^{[1] [2] [3]}他の保存量も存在する可能性がある。

保存則は、自然界でどのような過程が起こり得るか、起こり得ないかを説明するものであり、物理世界を理解する上で基本的なものです。たとえば、エネルギー保存則は、孤立したシステムにおけるエネルギーの総量は、形が変わることはあっても変化しないと述べています。一般に、その法則によって支配される特性の総量は、物理過程の間、変化しません。古典物理学に関しては、保存則には、エネルギー、質量（または物質）、線形運動量、角運動量、および電荷の保存が含まれます。粒子物理学に関しては、粒子は、一方が通常の粒子でもう一方が反粒子であるペアでない限り、生成または破壊されることはありません。対称性と不変性の原理に関しては、空間、時間、および電荷の反転または逆転に関連する 3 つの特別な保存則が説明されています。

保存則は自然の基本法則であると考えられており、物理学だけでなく、化学、生物学、地質学、工学などの他の分野でも広く応用されています。

ほとんどの保存則は、すべての可能なプロセスに適用されるという意味で、正確または絶対的です。一部の保存則は、一部のプロセスには適用されますが、他のプロセスには適用されないという点で部分的です。

保存則に関する特に重要な結果の1つは、ネーターの定理であり、これは、保存則のそれぞれと宇宙の微分可能な対称性との間に1対1の対応があることを述べている。たとえば、エネルギー保存則は時間の一様性から生じ、角運動量保存則は空間の等方性から生じる、^{[4] [5] [6]}すなわち、空間には優先方向がないためである。注目すべきことに、時間反転に関連する保存則は存在しないが、時間反転と他の対称性を組み合わせたより複雑な保存則が知られている。

対称性による物理的保存方程式のうち、厳密な法則であると言われているもの、より正確には、破られたことが証明されたことがないものの一部を以下に示します。

もう一つの正確な対称性は CPT 対称性です。これは、すべての粒子とその反粒子が交換されるとともに、空間と時間の座標が同時に反転するものです。ただし、これは離散対称性であるため、ノイマンの定理は適用されません。したがって、保存量である CPT パリティは、通常、意味のある形で計算または決定することはできません。

近似的な保存則もあります。これらは、低速、短い時間スケール、特定の相互作用などの特定の状況では近似的に当てはまります。

• 力学的エネルギーの保存
• 質量保存則（非相対論的速度ではほぼ成立）
• 重粒子数の保存（カイラル異常とスファレロンを参照）
• レプトン数の保存（標準模型）
• フレーバーの保存（弱い相互作用によって破れる）
• 奇妙さの保存（弱い相互作用によって破れる）
• 空間パリティの保存（弱い相互作用によって破れる）
• 電荷パリティの保存則（弱い相互作用によって破れる）
• 時間パリティの保存（弱い相互作用によって破れる）
• CP パリティの保存（弱い相互作用によって破れる）；標準モデルでは、これは時間パリティの保存と同等である。

宇宙で保存されているある量の総量は、同量のエネルギーが一点Aに現れ、同時に別の点Bから消えたとしても、不変のままである可​​能性がある。たとえば、ある量のエネルギーが宇宙の別の領域から消えたとしても、地球上に現れても宇宙の総量は変わらない。この「グローバル」保存の弱い形は、ローレンツ不変ではないため、実際には保存則ではなく、上記のような現象は自然界では発生しない。^{[7] [8]}特殊相対性理論 により、 Aでのエネルギーの出現とBでのエネルギーの消失が1 つの慣性座標系で同時であっても、最初の慣性座標系に対して動いている他の慣性座標系では同時ではない。動いている座標系では、一方が他方より先に発生する。つまり、AのエネルギーはBのエネルギーが消える前か後に現れる。どちらの場合も、その期間中エネルギーは保存されない。

より強力な保存則では、ある点における保存量の量が変化するためには、その点へのまたはその点からの量の流入または流出がなければならないと規定されています。たとえば、ある点における電荷の量は、電荷の差を運ぶ電流が点に出入りしなければ変化しません。この強力なタイプの保存則は、連続的な局所的変化のみを伴うため、ローレンツ不変です。つまり、 1 つの基準フレームで保存される量は、すべての移動する基準フレームで保存されます。^{[7] [8]これは}局所保存則 と呼ばれます。^{[7] [8]} 局所保存則は、グローバル保存則も意味します。つまり、宇宙で保存される量の合計量は一定のままです。上記の保存則はすべて、局所保存則です。局所保存則は、数学的には連続方程式で表現されます。連続方程式は、体積内の量の変化が、体積の表面を通る量の合計正味「流出」に等しいことを述べています。次のセクションでは、連続方程式について一般的に説明します。

連続体力学では、正確な保存則の最も一般的な形式は連続方程式によって与えられます。たとえば、電荷qの保存は次のようになります 。 ここで、 ∇⋅は発散演算子、ρはqの密度(単位体積あたりの量)、jはqの流束(単位時間に単位面積を横切る量)、tは時間です。 $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,}$$

電荷の 運動uが位置と時間の連続関数であると仮定すると、$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{整列}}}$$

1 つの空間次元では、これは同次 1 次準線型 双曲方程式の形に表すことができます。^{[9] :43} ここで、従属変数yは保存量の密度と呼ばれ、A ( y )は現在のヤコビアンと呼ばれ、偏導関数の下付き文字が使用されています。より一般的な非同次ケース: は保存方程式ではなく、散逸系を記述する 一般的な種類のバランス方程式です。従属変数yは非保存量と呼ばれ、非同次項s ( y、x、t )はソース、つまり散逸です。たとえば、この種のバランス方程式には、運動量とエネルギーのナビエ-ストークス方程式、または一般的な孤立システムのエントロピーバランスがあります。 $${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$$$${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$$

1次元空間では、保存方程式は移流形式にまとめられる1次準線型 双曲方程式である。 ここで従属変数y ( x , t )は保存される（スカラー）量の密度と呼ばれ、a ( y )は電流係数と呼ばれ、通常、保存量j ( y )の電流密度の保存量における偏微分に対応する。^{[9] ：43}$${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$$ $${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$$

この場合、連鎖律が適用されるため、 保存方程式は電流密度の形に表すことができます。 $${\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}}$$$${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$

複数の次元を持つ空間では、前述の定義を次の形式に拡張することができます。 $${\displaystyle y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0}$$

ここで、保存量はy ( r , t )、⋅はスカラー積、∇ はナブラ演算子で、ここでは勾配、 a ( y )は電流係数のベクトルで、保存量j ( y )に関連付けられたベクトル電流密度の発散に類似して対応します。 $${\displaystyle y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0}$$

これは連続方程式の場合です: $${\displaystyle \rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

ここで保存量は質量であり、密度ρ ( r , t )と電流密度ρuは運動量密度と同一であり、u ( r , t )は流速である。

一般的な場合、保存方程式は、次のような形式のこの種の方程式（ベクトル方程式）のシステムになることもあります。 ^{[9] ：43} ここで、yは保存（ベクトル）量、∇yはその勾配、0はゼロベクトル、A（y）は電流密度のヤコビアンと呼ばれます。実際、前のスカラーの場合と同様に、ベクトルの場合もA（y）は通常、電流密度行列J（y）のヤコビアンに対応します。 そして、保存方程式は次の形式にすることができます。 $${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0} }$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )}$$$${\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} }$$

たとえば、これはオイラー方程式（流体力学）の場合です。単純な非圧縮の場合、次のようになります。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\,,\qquad {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,}$$

どこ：

• u は流速 ベクトルであり、N次元空間の成分はu ₁、 u ₂、 ...、 u _Nであり、
• sは、ソース項を与える比圧（単位密度あたりの圧力）、

これらの方程式の保存量（ベクトル）と電流密度行列はそれぞれ次のようになります。

$${\displaystyle {\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad }$$

ここで は外積を表します。 ${\displaystyle \otimes }$

保存方程式は通常、積分形式で表現することもできます。後者の利点は、解の滑らかさをあまり必要としないことです。これにより、弱形式への道が開かれ、許容される解のクラスが不連続解を含むように拡張されます。^{[9] ：62–63}任意の時空領域で1次元空間の電流密度形式を積分すると 、グリーンの定理 を使用すると、積分形式は次のようになります。 $${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0}$$

同様に、スカラー多次元空間の積分形式は次のようになる。 ここで線積分は領域の境界に沿って反時計回りに行われる。^{[9] : 62–63}$${\displaystyle \oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0}$$

さらに、コンパクトなサポートを持つ時間と空間の両方で連続的に微分可能なテスト関数 φ ( r , t ) を定義することにより、初期条件を軸にして弱形式を取得できます。1次元空間では次のようになります。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx}$$

弱形式では、密度と電流密度のすべての偏微分がテスト関数に渡されており、前者の仮説ではこれらの微分を許容するのに十分滑らかである。^{[9] ：62–63}

• 不変量（物理学）
• 勢い
  • コーシー運動量方程式
• エネルギー
  • エネルギー保存則と熱力学第一法則
• 保守的なシステム
• 保存量
  • いくつかの種類のヘリシティは、散逸なしの極限で保存されます：流体ヘリシティ、磁気ヘリシティ、クロスヘリシティ。
• 可変性の原理
• 応力エネルギーテンソルの保存則
• リーマン不変量
• 物理学の哲学
• 全体主義の原則
• 対流拡散方程式
• 自然の均一性

• 移流
• 質量保存則、または連続方程式
• 電荷保存
• オイラー方程式（流体力学）
• 非粘性バーガース方程式
• 運動波
• エネルギーの保存
• 交通の流れ

• Philipson, Schuster、「非線形微分方程式によるモデリング：散逸プロセスと保存プロセス」、World Scientific Publishing Company 2009 年。
• Victor J. Stenger、2000 年。『Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes』。ニューヨーク州バッファロー、プロメテウス ブックス。第 12 章は、対称性、不変性、保存則についての簡単な入門書です。
• E. Godlewski と PA Raviart、「保存則の双曲的システム」、Ellipses、1991 年。

• ウィキメディア・コモンズの保全法に関するメディア
• 保全法則 – オンライン教科書の第 11 章から第 15 章