パスに沿ったスカラー場またはベクトル場の定積分
数学 において 、 線積分は 積分する 関数が 曲線に沿って評価される 積分 で ある 。 [1] 経路積分 、 曲線積分 、 曲線積分 という 用語 も使用される。 また、複素平面上の線積分に典型的には使用されるが、
輪郭積分も使用される。
積分される関数は、 スカラー場 または ベクトル場 です。線積分の値は、曲線上のすべての点における場の値の合計であり、曲線上の何らかのスカラー関数 (一般的には 弧の長さ 、またはベクトル場の場合は、曲線上の 微分 ベクトルとベクトル場の スカラー積) によって重み付けされます。この重み付けにより、線積分は、 区間 で定義されるより単純な積分と区別されます。物理学における多くの単純な公式、たとえば としての 仕事 の定義には 、 線積分という自然な連続類似物があります。この場合は で 、 これは 電場または重力場 F を 通って経路 に沿って移動する物体にかかる 仕事を計算します 。
W
=
F
⋅
s
{\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }
W
=
∫
L
F
(
s
)
⋅
d
s
{\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }
L
{\displaystyle L}
ベクトル計算 定性的な言葉で言えば、ベクトル計算における線積分は、特定の曲線に沿った特定の テンソル場 の全体的な効果の尺度と考えることができます。たとえば、スカラー場 (ランク 0 テンソル) の線積分は、特定の曲線によって切り取られた場の下の領域として解釈できます。これは、 z = f ( x , y )と xy 平面の 曲線 C によって作成される表面として視覚化できます。f の線積分は、 C の 真上にある表面の点 が切り取られたときに作成される「カーテン」の面積になります。
スカラー場の線積分 スカラー場f 上の線積分は、 場によって記述される 表面 z = f ( x , y )に沿った曲線 C の 下の面積と考えることができます。
意味 で ある スカラー場に対して、 区分的に滑らかな 曲線 に沿った線積分は、 と定義されます
。
ここで、 は 曲線の 任意の 全単射 パラメータ化 であり、 r ( a ) と r ( b ) は の端点を与え、 a < b となります 。ここで、およびこの記事の残りの部分では、絶対値のバーは ベクトルの
標準（ユークリッド）ノルムを表します。
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
C
⊂
U
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}
∫
C
f
(
r
)
d
s
=
∫
a
b
f
(
r
(
t
)
)
|
r
′
(
t
)
|
d
t
,
{\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}
r
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
関数 f は積分関数と呼ばれ、曲線は 積分領域であり、記号 ds は 曲線の 基本 弧長 （つまり、 の微分長 ）として直感的に解釈できます。曲線上のスカラー場の線積分は、 の選択されたパラメータ化 r に依存しません 。 [2]
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
幾何学的には、スカラー場 f が 平面 ( n = 2) 上で定義されている場合、そのグラフは空間内の表面 z = f ( x , y ) であり、線積分は曲線と f のグラフ によって囲まれた(符号付き) 断 面積を与えます。右のアニメーションを参照してください。
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
導出 スカラー体上の線積分の場合、積分は上記の f 、 C の定義と C の パラメータ化 r を使用してリーマン和から構築できます。これは、 区間 [ a 、 b ] を長さ Δ t = ( b − a )/ n のn 個 のサブ区間 [ t i −1 、 t i ] に 分割することで実行できます 。この場合、 r ( t i ) は曲線 C 上の何らかの点 (サンプル点と呼びます) を表します。 サンプル点の 集合 { r ( t i ): 1 ≤ i ≤ n } を使用して、各サンプル点 r ( t i −1 ) と r ( t i ) の間に直線部分を導入することで、曲線 C を 多角形のパス として 近似できます 。 （曲線を多角形のパスに近似することを 曲線の平行化と呼びます。詳細については、 ここを 参照してください 。）次に、曲線上の隣接するサンプルポイント間の線分の距離を Δ s i とラベル付けします。 f ( r ( t i )) と Δ s i の積は、それぞれ高さと幅が f ( r ( t i )) と Δ s i である長方形の符号付き面積に関連付けられます。 パーティションの長さがゼロに近づくにつれて項の合計
の 極限 を 取ると、次の式が得られます。
I
=
lim
Δ
s
i
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
r
(
t
i
)
)
Δ
s
i
.
{\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}
平均値定理 によれば 、曲線上の連続する点間の距離は
Δ
s
i
=
|
r
(
t
i
+
Δ
t
)
−
r
(
t
i
)
|
≈
|
r
′
(
t
i
)
Δ
t
|
{\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}
これを上記のリーマン和に代入すると、
積分に対するリーマン和
が得られる。
I
=
lim
Δ
t
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
r
(
t
i
)
)
|
r
′
(
t
i
)
|
Δ
t
{\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}
I
=
∫
a
b
f
(
r
(
t
)
)
|
r
′
(
t
)
|
d
t
.
{\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}
ベクトル場の線積分
意味 ベクトル場 F : U ⊆ R n → R n に対して、 r 方向の 区分的に滑らかな 曲線 C ⊂ U に沿った線積分は 、次のように定義されます。
ここで、 · は ドット積 、 r : [ a , b ] → C は、 r ( a ) と r ( b )が C の端点となる ような 曲線 Cの正規 パラメータ化 (つまり、 ) です 。
∫
C
F
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
a
b
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}
|
|
r
′
(
t
)
|
|
≠
0
∀
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}
したがって、スカラー場の線積分はベクトル場の線積分であり、ベクトルは常に 積分の線に
接します。
ベクトル場の線積分は絶対値 では パラメータ化 rに依存しないが、その 向き には依存する 。具体的には、パラメータ化の向きが逆になると線積分の符号が変わる。 [2]
微分幾何学 の観点からは 、曲線に沿ったベクトル場の線積分は、 浸漬された 1 次元多様体として考えられた曲線上の、 音楽同型(ベクトル場を対応する共 ベクトル 場にする) の下での対応する 1 次元形式の積分です 。
導出 ベクトル場内の曲線に沿った粒子の軌跡 (赤)。 粒子は a から出発して、ベクトル場 Fに沿って経路 C を 描きます。接線ベクトル (赤矢印) と場ベクトル (青矢印) のドット積 (緑線) は曲線の下の領域を定義します。これは経路の線積分に相当します。(詳細な説明については画像をクリックしてください。) ベクトル場の線積分は、スカラー場の場合と非常によく似た方法で導くことができますが、今回はドット積が含まれます。再び、上記の F 、 C の定義とそのパラメータ化 r ( t )を使用して、 リーマン和 から積分を構築します 。区間 [ a 、 b ] ( パラメータ t の値の範囲 ) を長さ Δ t = ( b − a )/ n のn 区間に分割します 。 t i を [ a 、 b ]上の i 番目の点 とすると 、 r ( t i ) は 曲線上の i 番目 の 点の位置を示します。ただし、後続の点間の距離を計算する代わりに、それらの 変位 ベクトル Δ r i を計算する必要があります。前と同様に、曲線上のすべての点で F を 評価し、各変位ベクトルとのドット積を取ると、 C 上の F の各区分の 微小な 寄与が得られます 。パーティションのサイズをゼロにすると、合計は次のようになります。
I
=
lim
Δ
t
→
0
∑
i
=
1
n
F
(
r
(
t
i
)
)
⋅
Δ
r
i
{\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}
平均値定理 により 、曲線上の隣接する点間の変位ベクトルは
Δ
r
i
=
r
(
t
i
+
Δ
t
)
−
r
(
t
i
)
≈
r
′
(
t
i
)
Δ
t
.
{\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}
これを上記のリーマン和に代入すると、
I
=
lim
Δ
t
→
0
∑
i
=
1
n
F
(
r
(
t
i
)
)
⋅
r
′
(
t
i
)
Δ
t
,
{\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}
これは上で定義した積分のリーマン和です。
パスの独立性 ベクトル場 F が スカラー場 G の 勾配 である場合 （つまり、 F が 保存的で ある場合）、つまり
多変数連鎖律
により、 G と r ( t ) の 合成 の 導 関数は、 Fの r ( t ) 上の
線積分の被積分関数である 。
パス C が与えられると、
次のようになる。
F
=
∇
G
,
{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,}
d
G
(
r
(
t
)
)
d
t
=
∇
G
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
=
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
{\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}
∫
C
F
(
r
)
⋅
d
r
=
∫
a
b
F
(
r
(
t
)
)
⋅
r
′
(
t
)
d
t
=
∫
a
b
d
G
(
r
(
t
)
)
d
t
d
t
=
G
(
r
(
b
)
)
−
G
(
r
(
a
)
)
.
{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}
言い換えれば、 F のC 上の積分は 、点 r ( b ) と r ( a )における G の値のみに依存し、それらの間の経路とは無関係です。このため、保存ベクトル場の線積分は 経路に依存しないと 呼ばれます 。
アプリケーション 線積分は物理学において多くの用途がある。例えば、ベクトル場 F として表される力場内の曲線 C 上を移動する粒子に対して行われる 仕事は、 C 上の F の線積分である 。 [3]
曲線を横切る流れ ベクトル場 F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) の場合 、 曲線 C ⊂ Uに沿った線積分 (フラックス積分 とも呼ばれます) は、区分的に 滑らかな パラメータ化 r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) によって 次のように定義されます。
F
:
U
⊆
R
2
→
R
2
{\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
∫
C
F
(
r
)
⋅
d
r
⊥
=
∫
a
b
[
P
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
Q
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
]
⋅
[
y
′
(
t
)
−
x
′
(
t
)
]
d
t
=
∫
a
b
(
−
Q
d
x
+
P
d
y
)
.
{\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}
ここで、 ⋅ はドット積、 は 速度ベクトルの時計回りの垂線です 。
r
′
(
t
)
⊥
=
(
y
′
(
t
)
,
−
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}
r
′
(
t
)
=
(
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}
流れは方向付けされた意味で計算されます。曲線 C は r ( a ) から r ( b ) への指定された順方向を持ち 、流れは F ( r ( t ) )が順方向速度ベクトル r' ( t ) の時計回り側にあるときに正としてカウントされます 。
複素線積分 複素解析 では、線積分は 複素数の 乗算 と 加算 によって定義されます。 U が 複素平面 C の 開集合で あると仮定すると 、 f : U → C は 関数であり、 γ : [ a , b ] → L によってパラメータ化された有限長の曲線です 。ここで、 γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) です。線積分は、
区間 [ a , b ] を a = t 0 < t 1 < ... < t n = b に分割し、次の式を考慮すること
によって定義できます。
L
⊂
U
{\displaystyle L\subset U}
∫
L
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}
∑
k
=
1
n
f
(
γ
(
t
k
)
)
[
γ
(
t
k
)
−
γ
(
t
k
−
1
)
]
=
∑
k
=
1
n
f
(
γ
k
)
Δ
γ
k
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}
細分区間の長さがゼロに近づくにつれて、
積分はこの リーマン和の極限になります。
パラメータ化 γ が 連続的に微分可能で ある場合、線積分は実変数の関数の積分として評価できます。
∫
L
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}
L が閉曲線（始点と終点が一致する）の 場合、線積分はしばしば と表され、工学では 巡回積分 と呼ばれることもあります 。
∮
L
f
(
z
)
d
z
,
{\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}
ベクトル場の線積分との完全な類似性を確立するには、多変数微分積分における微分可能性の定義に戻る必要があります。勾配は リースの表現定理 から定義され、複素解析における内積には共役性が含まれます (ある における 関数の勾配 は となり 、複素内積は 線積分のベクトル場定義において の共役の 2 倍に帰属します)。
γ
{\displaystyle \gamma }
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
γ
′
(
z
)
¯
{\displaystyle {\overline {\gamma '(z)}}}
γ
′
{\displaystyle \gamma '}
共役複素微分に関する線積分は [4] で次のように
定義される。
d
z
¯
{\displaystyle {\overline {dz}}}
∫
L
f
(
z
)
d
z
¯
:=
∫
L
f
(
z
)
¯
d
z
¯
=
∫
a
b
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
¯
d
t
.
{\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}
複素関数の線積分は、いくつかの手法で評価できます。最も直接的な方法は、実部と虚部に分割して、問題を 2 つの実数値線積分の評価に簡略化することです。 コーシーの積分定理を使用すると、 解析関数 の線積分を 、より便利な曲線上の同じ積分と同等にすることができます。また、この定理は、 f ( z )が 特異点 のない解析的領域を囲む閉曲線上では 、積分の値が単に 0 になること、または領域に特異点が含まれる場合は、 留数定理 により特異点に基づいて積分が計算されることも意味します。これは、解析関数の複素線積分の経路独立性も意味します。
例 関数 f ( z ) = 1/ z を考え、等高線 L を 0 の周りの 反時計 回りの単位円とし、 複素指数 を使用して tが [0, 2 π ] の範囲にある z ( t ) = e it でパラメータ化するとします 。代入すると次のようになります。
∮
L
1
z
d
z
=
∫
0
2
π
1
e
i
t
i
e
i
t
d
t
=
i
∫
0
2
π
e
−
i
t
e
i
t
d
t
=
i
∫
0
2
π
d
t
=
i
(
2
π
−
0
)
=
2
π
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}
これはコーシーの積分公式 と 留数定理 の典型的な結果です 。
複素線積分とベクトル場の線積分の関係 複素数を 2 次元 ベクトル として見ると、複素数値関数の線積分の実部と複素部は、 共役 関数 に対応するベクトル場 の線積分とフラックス積分に等しくなります。具体的には、 L を パラメーター化し 、 が ベクトル場 に対応する 場合、 次のようになります。
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
f
(
z
)
¯
.
{\displaystyle {\overline {f(z)}}.}
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))}
f
(
z
)
=
u
(
z
)
+
i
v
(
z
)
{\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}
F
(
x
,
y
)
=
f
(
x
+
i
y
)
¯
=
(
u
(
x
+
i
y
)
,
−
v
(
x
+
i
y
)
)
,
{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),}
∫
L
f
(
z
)
d
z
=
∫
L
(
u
+
i
v
)
(
d
x
+
i
d
y
)
=
∫
L
(
u
,
−
v
)
⋅
(
d
x
,
d
y
)
+
i
∫
L
(
u
,
−
v
)
⋅
(
d
y
,
−
d
x
)
=
∫
L
F
(
r
)
⋅
d
r
+
i
∫
L
F
(
r
)
⋅
d
r
⊥
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}}
コーシーの定理 により 、 任意の滑らかな閉曲線 L に対して が解析的 ( コーシー・リーマン方程式 を満たす) な場合、左側の積分はゼロになります。同様に、 グリーンの定理 により、が 非回転 ( 回転 なし)かつ 非 圧縮( 発散 なし) な場合、右側の積分はゼロになります 。実際、 に対するコーシー・リーマン方程式は、 F に対して回転と発散がゼロになることと同じです 。
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
F
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
グリーンの定理 によれば 、滑らかで閉じた正の向きの曲線で囲まれた領域の面積は、 積分によって与えられます。 この事実は、たとえば、 面積定理 の証明で使用されます。
L
{\displaystyle L}
1
2
i
∫
L
z
¯
d
z
.
{\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}
量子力学 量子力学 の 経路 積分の定式化は、 実際にはこの意味での経路積分ではなく、 関数積分 、つまり、可能な経路 の関数の経路空間上の積分を指します。ただし、この記事の意味での経路積分は量子力学では重要です。たとえば、複素輪郭積分は、量子 散乱 理論で 確率振幅を 評価する際によく使用されます 。
参照
参考文献
^ Kwong-Tin Tang (2006 年 11 月 30 日)。エンジニアと科学者のための数学的手法 2: ベクトル解析、常微分方程式、 ラプラス 変換。Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-30268-1 。 ^ ab Nykamp, Duane. 「線積分はパラメータ化に依存しない」。Math Insight 。 2020年 9月18日 閲覧 。 ^ 「16.2 線積分」 www.whitman.edu . 2020年9月18日 閲覧 。 ^ アルフォース、ラース（1966年）。複素解析（第2版）。ニューヨーク：マグロウヒル。p.103。
外部リンク
![{\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e254c282fe91e1b451afd278d990ae34283d19)
![{\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a845d5294bb81bb2d50c44b4747fd6d6ea9689d2)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]= \sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bb22683cc64b9d75f8c5c6c3a2d60bde08a515)
