面積定理（等角写像）

等角写像の数学的理論において、面積定理は、特定の等角写像のべき級数係数が満たす不等式を 与えます。この定理がそのように呼ばれるのは、その意味からではなく、証明に面積の概念を使用しているためです。

が解析的かつ単射で、 冪級数表現を持つと する。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\qquad z\in \mathbb { D} \setminus \{0\},}$

すると係数は ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n|a_{n}|^{2}\leq 1.}$

証明の考え方は、 の像によって覆われていない領域を見ることです。 に対して定義します。${\displaystyle f}$${\displaystyle r\in (0,1)}$

${\displaystyle \gamma _{r}(\theta ):=f(r\,e^{-i\theta }),\qquad \theta \in [0,2\pi ].}$

すると、 は平面上の単純な閉曲線になります。の一意の有界連結成分を で表します 。 の存在と一意性は、ジョルダンの曲線定理から得られます。 ${\displaystyle \gamma_{r}}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \gamma _{r}([0,2\pi ])}$${\displaystyle D_{r}}$

が平面上の領域であり、その境界が滑らかな単純閉曲線である場合、 ${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \mathrm {エリア} (D)=\int _{\gamma }x\,dy=-\int _{\gamma }y\,dx\,,}$

ただし、 は の 周りを正に向いていると仮定します。これは、例えばグリーンの定理から簡単に導かれます。すぐにわかるように、は の周りを正に向いています （これが の定義にマイナス記号が付いている理由です）。連鎖律 と の公式を適用すると、面積に関する上記の式は次のようになります。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma_{r}}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle \gamma_{r}}$${\displaystyle \gamma_{r}}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=\int _{0}^{2\pi }\Re {\bigl (}f(re^{-i\theta }){\bigr )}\,\Im {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}\,d\theta =-\int _{0}^{2\pi }\Im {\bigl (}f(re^{-i\theta }){\bigr )}\,\Re {\bigl (}-i\,r\,e^{-i\theta }\,f'(re^{-i\theta }){\bigr )}d\theta .}$

したがって、の面積は右辺の2つの式の平均に等しい。簡略化すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }f(r\,e^{-i\theta })\,{\overline {r\,e^{-i\theta }\,f'(r\,e^{-i\theta })}}\,d\theta ,}$

ここで は複素共役を表す。 を設定し、 のべき級数展開を用いて、 ${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle a_{-1}=1}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=-{\frac {1}{2}}\,\Re \int _{0}^{2\pi }\sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,a_{n}\,{\overline {a_{m}}}\,e^{i\,(mn)\,\theta }\,d\theta \,.}$

（項の並べ替えは正当化されるので）ここで、 であれば であり、 でなければ 0 であることに注意する 。したがって、 ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sum _{n=-1}^{\infty }\sum _{m=-1}^{\infty }m\,r^{n+m}\,|a_{n}|\,|a_{m}|\,d\theta <\infty \,,}$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{i\,(mn)\,\theta }\,d\theta }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle n=m}$

${\displaystyle \mathrm {area} (D_{r})=-\pi \sum _{n=-1}^{\infty }n\,r^{2n}\,|a_{n}|^{ 2}.}$

の面積は明らかに正です。したがって、右辺は正です。 なので、 とすると、定理が成り立ちます。 ${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle a_{-1}=1}$${\displaystyle r\to 1}$

残っているのは、 がの周りで正に向いているという主張を正当化することだけです。 が を満たし、 と設定する とします。 が非常に小さい について、の周りの の巻き数を表す式を と書き、それが に等しいことを検証できます。は のとき ( は単射であるため)を通らないため、 の補集合におけるホモトピーの下での巻き数の不変性は、の周り の巻き数 も であることを意味します。これは、 および が の周りで正に向いていることを意味します(要求どおり)。 ${\displaystyle \gamma_{r}}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle r<r'<1}$${\displaystyle z_{0}=f(r')}$${\displaystyle s>0}$${\displaystyle \gamma_{s}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \gamma_{t}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle t\neq r'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \gamma_{r}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z_{0}\in D_{r}}$${\displaystyle \gamma_{r}}$${\displaystyle D_{r}}$

等角写像のべき級数係数が満たす不等式は、ビーベルバッハ予想が解決される以前から数学者にとって大きな関心事であった。面積定理はこの文脈において中心的なツールである。さらに、面積定理は、等角写像の幾何学の研究に非常に役立つ ケーベの 1/4 定理を証明するためによく使用される。

• ルディン、ウォルター（1987）、実解析と複素解析（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒルブック社、ISBN 978-0-07-054234-1、MR  0924157、OCLC  13093736