二環式半群

数学において、双環半群は半群の構造理論にとって重要な代数的対象である。実際にはモノイドであるが、通常は単に半群と呼ばれる。おそらく最も理解しやすいのは、括弧の対のバランスのとれたダイク言語を記述する構文モノイドとして捉えることだろう。そのため、二分木や結合代数を記述するなど、組み合わせ論において広く応用されている。

この天体に関する最初の発表は、1953年にエフゲニー・リャピンによって行われた。アルフレッド・H・クリフォードとゴードン・プレストンは、彼らのうちの一人が、デイビッド・リースと共同で、1943年以前のある時点で独自に（発表せずに）この天体を発見したと主張している。

二環半群を構成する標準的な方法は少なくとも３つあり、それを参照するためのさまざまな表記法がある。リアピンはそれをPと呼び、クリフォードとプレストンは$\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして、最近の論文のほとんどはBを使用する傾向にある。本稿では、終始現代的なスタイルを用いる。

二環半群は、Bから別の半群Sへの任意の準同型写像φの像が、巡回半群であるか、またはBと同型なコピーであるかのいずれかであるという性質を持ちます。Sの要素φ ( a ) 、φ ( b ) およびφ ( e ) は、 φ ( b ) φ ( a )が φ ( e )になる可能性があるという例外を除いて、常に上記の条件を満たします ( φは準同型写像であるため) 。これが真でない場合、φ ( B ) はBと同型です。そうでない場合、φ ( B ) はφ ( a )によって生成される巡回半群です。実際には、これは二環半群がさまざまな文脈で見られることを意味します。

Bの冪等元はすべてペア( x , x )であり、xは任意の自然数です ( Bの順序対による特徴付けを使用)。これらは可換であり、B は正則(すべてのxに対して、 x y x = xとなるy が存在する) であるため、この二環半群は逆半群です。(これは、 Bの各要素xに対して、 x y x = xおよびy x y = yという「弱い」半群の意味で、一意の逆元yが存在することを意味します。)

Bのすべてのイデアルは主イデアルである。 ( m , n )の左主イデアルと右主イデアルは

• ( m , n ) B = {( s , t )  : s ≥ m } および
• B ( m , n ) = {( s , t )  : t ≥ n }.

これらのそれぞれは無限に多くの他のイデアルを含んでいるため、Bには最小の左イデアルも右イデアルも存在しない。

グリーンの関係式によれば、B はDクラスを1 つだけ持ち(双単純である)、したがってJクラスを 1 つだけ持ち (単純である)。LおよびR の関係式は次のように与えられる。

• ( a , b ) R ( c , d )はa = cの場合に限る 。
• ( a , b ) L ( c , d ) は、 b = dの場合に限り成り立つ。^{[ 3 ]}

これは、2つの要素がH関連であるのは、それらが同一である場合に限ることを意味する。したがって、 Bの唯一の部分群は、自明群の無限個のコピーであり、それぞれが冪等元のいずれかに対応する。

Bのエッグボックス図は無限に大きく、左上隅は次のように始まります。

各エントリは単一のHクラスを表し、行はRクラス、列はLクラスを表します。B の冪等元は対角線上に表示されています。これは、可換な冪等元を持つ正則半群では、各Lクラスと各Rクラスに必ず 1 つの冪等元が含まれるという事実に基づいています。

双環半群は、単位元を持つ双単純逆半群の「最も単純な」例です。他にも多くの例があります。順序対からBを定義する際に自然数のクラス (これは加法半群であるだけでなく、最小値と最大値の演算の下で可換な束でもあります) を使用しましたが、代わりに適切な性質を持つ別の集合が現れ、それに応じて「+」、「−」、「max」演算が変更されることもあります。

二環式半群は次の恒等式を満たす${\displaystyle xyyxxyxyyx=xyyxyxxyyx}$いかなる場合でも${\displaystyle x,y}$で${\displaystyle B}$アジャンの恒等式（またはアディアンの恒等式）として知られるこの恒等式は、によって満たされる最短の長さの恒等式である。${\displaystyle B}$[ ^{4 ]​}

• 4つの螺旋を持つ半群
• 半群の特殊なクラス

• 半群の代数理論、AH クリフォード、GB プレストン。アメリカ数学会、1961 年（第 1 巻）、1967 年（第 2 巻）。
• 半群：構造理論入門、ピエール・アントワーヌ・グリレ著。マルセル・デッカー社、1995年。
• 定義関係によって与えられる連想システムの要素の標準形、エフゲニー・セルゲーエヴィチ・リャピン、レニングラード国立教育研究所研究論文89（1953）、45-54ページ[ロシア語]。
• Hollings, CD (2007). 「半群理論への最初の魅力的なステップ」. Mathematics Magazine . 80. Mathematical Association of America: 331–344 . JSTOR 27643058 .