半群作用

代数学および理論計算機科学において、半群の集合に対する作用または作用とは、半群の各要素に集合の変換を関連付ける規則であり、半群の2つの要素の積（半群演算を使用）が、対応する2つの変換の合成と関連付けられる。この用語は、半群の要素が集合の変換として作用するという考え方を伝えている。代数学的な観点から見ると、半群作用は群論における群作用の概念の一般化である。計算機科学の観点から見ると、半群作用はオートマトンと密接に関連している。集合はオートマトンの状態をモデル化し、作用は入力に応じてその状態が変換される様子をモデル化する。

重要な特殊ケースとして、モノイド作用（または作用）があります。これは、半群がモノイドであり、モノイドの単位元が集合の恒等変換として作用する場合です。圏論的な観点から見ると、モノイドは対象が1つだけの圏であり、作用はその圏から集合の圏への関手です。このことから、集合の圏以外の圏の対象に対するモノイド作用への一般化が直ちに得られます。

もう一つ重要な特殊なケースは、変換半群です。これは集合の変換の半群であり、したがってその集合に対して恒真式的な作用を持ちます。この概念は、ケイリーの定理の類似物によって、より一般的な半群の概念と結びついています。

（用語に関する注記：この分野で使用される用語は、著者によって、場合によっては大きく異なる場合があります。詳細は記事を参照してください。）

S を半群とする。このとき、S の（左）半群作用（または作用）は、集合Xと、半群作用∗と互換性のある演算• : S × X → Xとの組み合わせである。 

• Sのすべてのs、tおよびXのすべてのxに対して、s • ( t • x ) = ( s ∗ t ) • x。

これは半群理論における（左）群作用の類似物であり、X上の関数の集合への半群準同型と同等である。右半群作用は、 ( x • a ) • b = x • ( a ∗ b )を満たす演算• : X × S → Xを使用して同様の方法で定義される。 

Mがモノイドである場合、 Mの (左)モノイド作用(または作用)は、次の追加特性を持つMの (左) 半群作用である。

• すべてのx ∈ Xについて: e • x = x

ここで、eはMの単位元です。これにより、モノイド準同型が得られます。右モノイド作用も同様に定義されます。集合に対する作用を持つモノイドM は、作用素モノイドとも呼ばれます。

SのXへの半群作用は、半群に恒等写像を付加し、それがX上の恒等変換として作用することを要求することによって、モノイド作用にすることができる。

• 任意の半群${\displaystyle (S,*)}$アクションがあります${\displaystyle S}$、 どこ${\displaystyle \cdot =*}$アクションプロパティは結合法則により成り立つ。${\displaystyle *}$。
• より一般的には、任意の半群準同型に対して${\displaystyle F\colon (S,*)\rightarrow (T,\oplus )}$半群${\displaystyle (S,*)}$アクションがあります${\displaystyle T}$によって与えられた${\displaystyle s\cdot t=F(s)\oplus t}$。
• 任意の集合に対して${\displaystyle X}$、 させて${\displaystyle X^{*}}$要素のシーケンスの集合とする${\displaystyle X}$半群${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$アクションがあります${\displaystyle X^{*}}$によって与えられた${\displaystyle n\cdot s=s^{n}}$（どこ$\displaystyle s^{n}}$意味する${\displaystyle s}$繰り返し${\displaystyle n}$（回）。
• 半群${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times )}$正当な行動をとる${\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}$によって与えられた${\displaystyle x\cdot y=x^{y}}$。

変換半群と半群作用の間の対応関係を以下に説明する。これを忠実な半群作用に限定すると、優れた性質が得られる。

任意の変換半群は、以下の構成により半群作用に変換できる。任意の変換半群に対して${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$半群作用を定義する${\displaystyle T}$の${\displaystyle S}$の上${\displaystyle X}$として${\displaystyle T(s,x)=s(x)}$のために$s ∈ S, x ∈ X$この行為は忠実であり、それは$\displaystyle curry(T)$単射であること。

逆に、任意の半群作用に対して${\displaystyle T}$の${\displaystyle S}$の上${\displaystyle X}$変換半群を定義する${\displaystyle S'=\{T_{s}\mid s\in S\}}$この構成では、集合を「忘れる」${\displaystyle S}$。${\displaystyle S'}$は、​$\displaystyle curry(T)$と表記します$\displaystyle curry(T)$として${\displaystyle f}$簡潔にするため。${\displaystyle f}$が単射である場合、それは半群同型である。${\displaystyle S}$に${\displaystyle S'}$つまり、${\displaystyle T}$忠実であれば、重要なことは何も忘れません。この主張は、次の観察によって明確になります。${\displaystyle S'}$準集団戦に戻る${\displaystyle T'}$の${\displaystyle S'}$の上${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle T'(f(s),x)=T(s,x)}$すべての人々のために$s ∈ S, x ∈ X$。${\displaystyle T}$そして${\displaystyle T'}$は「同型」である${\displaystyle f}$つまり、私たちは基本的に回復した${\displaystyle T}$したがって、一部の著者^{[ 3 ]}は、忠実な半群作用と変換半群の間に区別はないと考えている。

• AH クリフォードとGB プレストン(1961)、『半群の代数理論』第 1 巻。アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0272-4。
• AH クリフォードと GB プレストン (1967)、『半群の代数理論』第 2 巻。アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0272-4。
• Mati Kilp、Ulrich Knauer、Alexander V. Mikhalev (2000)、Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs、Expositions in Mathematics 29、Walter de Gruyter、ベルリン、ISBN 978-3-11-015248-7。
• ルドルフ・リドルとギュンター・ピルツ、『応用抽象代数』（1998 年）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-98290-8