閉じた多様体

数学において、閉多様体とは、境界がなくコンパクトな多様体 です。対照的に、開多様体とは、境界がなく、非コンパクトな成分のみを持つ多様体です。

連結した1 次元の例は円だけです。球、トーラス、クラインの壺はすべて閉じた 2 次元多様体です。実射影空間 RP ^{n は}閉じた n 次元多様体です。複素射影空間 CP ^{n は}閉じた 2n 次元多様体です。^[1] 直線はコンパクトではないため閉じていません。閉じた円板はコンパクトな 2 次元多様体ですが、境界があるため閉じていません。

すべての閉多様体はユークリッド近傍を包含し、したがって有限生成ホモロジー群を持つ。^[2]

が閉じた連結なn次元多様体である場合、n次ホモロジー群は、が向き付け可能かどうかに応じて、 0または0となる。^[3]さらに、(n-1)次ホモロジー群の捩れ部分群は、が向き付け可能かどうかに応じて、 0または0となる。これは、普遍係数定理の応用から導かれる。^[4]${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle M}$

を可換環とする。が基本クラス を持つ-向き付け可能であれば、によって定義される写像はすべての k に対して同型となる。これが ポアンカレ双対性である。^[5]特に、すべての閉多様体は-向き付け可能である。したがって、常に同型 が存在する 。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R)}$${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

連結多様体の場合、「開いている」は「境界がなく、非コンパクト」と同等ですが、連結されていない多様体の場合、「開いている」はより強力です。たとえば、円と直線の非連結和は、直線が非コンパクトであるため非コンパクトですが、円 (その構成要素の 1 つ) はコンパクトであるため、これは開多様体ではありません。

ほとんどの書籍では、多様体は、局所的にはユークリッド空間に同相な空間（その他の技術的条件も含む）であると一般的に定義されており、したがってこの定義では、多様体はより大きな空間に埋め込まれる場合、その境界を含みません。ただし、この定義では閉じた円板などのいくつかの基本的なオブジェクトがカバーされていないため、著者は境界のある多様体を定義し、境界を参照せずに多様体と乱用することがあります。ただし、通常は、多様体の通常の定義を使用する場合、コンパクト多様体（基礎となる位相に関してコンパクト）は、閉じた多様体と同義に使用できます。

閉多様体の概念は、閉集合の概念とは無関係です。直線は平面の閉じた部分集合であり、多様体ですが、閉多様体ではありません。

「閉じた宇宙」という概念は、宇宙が閉じた多様体であることを意味する場合もありますが、より可能性が高いのは、宇宙が一定の正のリッチ曲率を持つ多様体であることを意味する場合です。

• 飼いならされた多様体

• Michael Spivak :微分幾何学の包括的入門。第 1 巻。訂正を加えた第 3 版。Publish or Perish、ヒューストン、テキサス州、2005 年、ISBN  0-914098-70-5。
• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2002年。