ユークリッド空間上の微積分

数学において、ユークリッド空間上の微積分は、 1 つまたは複数の変数の関数の微積分を、ユークリッド空間 および有限次元の実ベクトル空間上の関数の微積分に一般化したものである。この微積分は、特に米国では高度微積分としても知られている。多変数微積分に似ているが、線型代数 (または何らかの関数解析) をより広範に使用し、微分形式や微分形式に関するストークスの公式など、微分幾何学のいくつかの概念をカバーしている点で、いくぶん洗練されている。線型代数を広範に使用することで、多変数微積分をバナッハ空間または位相ベクトル空間上の微積分に自然に一般化することもできる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ユークリッド空間上の微積分は、多様体上の関数の理論である 多様体上の微積分の局所モデルでもあります。

このセクションでは、1 変数微積分における関数理論について簡単に説明します。

実数値関数がで連続であるとは、それがの近くで近似的に一定である場合、つまり、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}(f(a+h)-f(a))=0.}$

対照的に、関数が で微分可能であるとは、関数がの近くで近似的に線形である、つまり 、${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-\lambda h}{h}}=0.}$^[1]

(簡単にするために、 と仮定します。すると、上記は、が h が0 に向かうよりも速く 0 に向かうことを意味し、その意味ではのように動作します。) ${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle f(a+h)=\lambda h+g(a,h)}$${\displaystyle g(a,h)}$${\displaystyle f(a+h)}$${\displaystyle \lambda h}$

数はに依存するため、 と表記されます。 が開区間上で微分可能であり、 が上の連続関数である場合、 はC ¹関数と呼ばれます。より一般的には、その導関数がC ^k-1関数である場合、 は C k 関数と呼ばれます。テイラーの^定理によれば、C ^{k関数はまさに}k次多項式で近似できる関数です。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$

がC ¹関数であり、何らかの に対して である場合、 または のいずれか、つまり のいずれかがを含む開区間で厳密に増加または厳密に減少します。特に、はを含む開区間に対して全単射です。逆関数定理は、逆関数がU上で微分可能であり、導関数が に対して微分可能であることを示しています。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f'(a)\neq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)>0}$${\displaystyle f'(a)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:f^{-1}(U)\to U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle y\in U}$

${\displaystyle (f^{-1})'(y)={1 \over f'(f^{-1}(y))}.}$

平面上、またはより一般的にはユークリッド空間上で定義された関数については、ベクトル値または行列値の関数を考慮する必要があります。これを不変な方法（つまり、座標に依存しない方法）で行うことも概念的に有用です。そのようなマップの点における導関数は、実数ではなく、ベクトルまたは線形マップです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

を の開集合から の開集合への写像とする。このとき、におけるの 導関数と呼ばれる（必ず一意の）線型変換が存在し、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{|h|}}|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|=0}$

ここで はへの線型変換の適用である。^[2]が で微分可能である場合、 はで 連続である。${\displaystyle f'(x)h}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle |f(x+h)-f(x)|\leq (|h|^{-1}|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|)|h|+|f'(x)h|\to 0}$として。${\displaystyle h\to 0}$

1変数の場合と同様に、

これは、1 変数の関数の場合とまったく同じように証明されます。実際、 という表記を使用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\widetilde {h}}=f(x+h)-f(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{|h|}}|g(f(x+h))-g(y)-g'(y)f'(x)h|\\&\leq {\frac {1}{|h|}}|g(y+{\widetilde {h}})-g(y)-g'(y){\widetilde {h}}|+{\frac {1}{|h|}}|g'(y)(f(x+h)-f(x)-f'(x)h)|.\end{aligned}}}$

ここで、 はで微分可能なので、右側の第 2 項は のときにゼロになります。第 1 項については、次のように書くことができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h\to 0}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {|{\widetilde {h}}|}{|h|}}|g(y+{\widetilde {h}})-g(y)-g'(y){\widetilde {h}}|/|{\widetilde {h}}|,&{\widetilde {h}}\neq 0,\\0,&{\widetilde {h}}=0.\end{cases}}}$

さて、におけるの連続性を示す議論により、 が有界であることがわかります 。また、はで連続であるため となります。したがって、におけるの微分可能性により、最初の項も のようにゼロになります。${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {|{\widetilde {h}}|}{|h|}}}$${\displaystyle {\widetilde {h}}\to 0}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \square }$

上記のような写像は、領域上で微分可能であり、かつ導関数が連続的に変化する、つまり連続的である場合、連続的微分可能と呼ばれます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle x\mapsto f'(x)}$

線形変換として、はのヤコビ行列と呼ばれる -行列で表され、次のように書きます。 ${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle Jf(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (Jf)(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(x)\end{bmatrix}}.}$

を 、実数、j番目の標準基底要素とすると、 における の微分可能性は次を意味することがわかります。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle he_{j}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle e_{j}=(0,\cdots ,1,\cdots ,0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f_{i}(x+he_{j})-f_{i}(x)}{h}}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)}$

ここで は のi番目の成分を表します。つまり、 の各成分は、導関数 によって各変数でで微分可能です。ヤコビ行列に関して、連鎖律は と言います。つまり、 として、 ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)}$${\displaystyle J(g\circ f)(x)=Jg(y)Jf(x)}$${\displaystyle (g\circ f)_{i}=g_{i}\circ f}$

${\displaystyle {\frac {\partial (g_{i}\circ f)}{\partial x_{j}}}(x)={\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{1}}}(y){\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(x)+\cdots +{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{m}}}(y){\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{j}}}(x),}$

これはよく言われる連鎖律の形式です。

上記との部分的な逆が成り立つ。つまり、偏微分がすべて定義され連続であれば、は連続的に微分可能である。^[4]これは平均値不等式の結果である。 ${\displaystyle {\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$${\displaystyle f}$

(このバージョンの平均値不等式は、平均値定理 § ベクトル値関数の平均値定理の平均値不等式を関数 に適用したものから得られます。ここでは平均値不等式の証明が与えられています。) ${\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} ^{m},\,t\mapsto f(x+ty)-tv}$

実際、とします。の場合、 ${\displaystyle g(x)=(Jf)(x)}$${\displaystyle y=y_{i}e_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(x+ty)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x+ty)y=g(x+ty)(y_{i}e_{i}).}$

簡単にするために、（一般の場合の議論も同様である）と仮定する。すると、平均値不等式により、演算子ノルムは、 ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\Delta _{y}f(x)-g(x)y|\\&\leq |\Delta _{y_{1}e_{1}}f(x_{1},x_{2}+y_{2})-g(x)(y_{1}e_{1})|+|\Delta _{y_{2}e_{2}}f(x_{1},x_{2})-g(x)(y_{2}e_{2})|\\&\leq |y_{1}|\sup _{0<t<1}\|g(x_{1}+ty_{1},x_{2}+y_{2})-g(x)\|+|y_{2}|\sup _{0<t<1}\|g(x_{1},x_{2}+ty_{2})-g(x)\|,\end{aligned}}}$

これは必要に応じて意味します。${\displaystyle |\Delta _{y}f(x)-g(x)y|/|y|\to 0}$${\displaystyle \square }$

例: をサイズnの可逆な実正方行列全体の集合とします。 は、座標 を持つの開部分集合として識別できることに注意してください。上で定義されたの逆行列である関数 = を考えます。 その導関数を推測するには、 が微分可能であると仮定し、が の行列指数を意味する曲線を考えます。 に連鎖律を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$${\displaystyle x_{ij},0\leq i,j\neq n}$${\displaystyle f(g)=g^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c(t)=ge^{tg^{-1}h}}$${\displaystyle e^{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(c(t))=e^{-tg^{-1}h}g^{-1}}$

${\displaystyle f'(c(t))\circ c'(t)=-g^{-1}he^{-tg^{-1}h}g^{-1}}$。

を取ると、次のようになります。 ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f'(g)h=-g^{-1}hg^{-1}}$。

さて、次のようになります: ^[6]

${\displaystyle \|(g+h)^{-1}-g^{-1}+g^{-1}hg^{-1}\|\leq \|(g+h)^{-1}\|\|h\|\|g^{-1}hg^{-1}\|.}$

演算子ノルムは 上のユークリッドノルムと等しい（任意のノルムは互いに等しい）ので、 は微分可能であることが分かります。最後に、 の公式から、 の偏微分は滑らか（無限に微分可能）であることがわかります。したがって、も滑らかです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

が微分可能で、 が開集合である場合、導関数は写像 を決定します。ここで、 はベクトル空間間の準同型、つまり線型写像を表します。が微分可能な場合、 です。ここで、 の余域は、次のように双線型写像の空間と同一視できます。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f':X\to \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} }$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'':X\to \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}))}$${\displaystyle f''}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})){\overset {\varphi }{\underset {\sim }{\to }}}\{(\mathbb {R} ^{n})^{2}\to \mathbb {R} ^{m}{\text{ bilinear}}\}}$

ここで、 と は、逆によって与えられるものと一対一である。^[a]一般に、は、 -多重線型写像の空間への写像である。 ${\displaystyle \varphi (g)(x,y)=g(x)y}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (\psi (g)x)y=g(x,y)}$${\displaystyle f^{(k)}=(f^{(k-1)})'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to \mathbb {R} ^{m}}$

が行列（ヤコビ行列）で表されるのと同様に、 （双線型写像は双線型形式である）のとき、双線型形式はにおけるのヘッセ行列と呼ばれる行列によって表されます。つまり、となるサイズの正方行列です。ここで、ペアリングは の内積を参照し、は のヤコビ行列に他なりません。したがって、の 番目の要素は として明示的に与えられます。 ${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle f''(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f''(x)(y,z)=(Hy,z)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f':X\to (\mathbb {R} ^{n})^{*}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)}$

さらに、が存在し、連続している場合、行列は対称であり、この事実は2次導関数の対称性として知られています。^[7]これは平均値不等式を使用して確認できます。のベクトルに対して、平均値不等式を2回使用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle f''}$${\displaystyle H}$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |\Delta _{v}\Delta _{u}f(x)-f''(x)(u,v)|\leq \sup _{0<t_{1},t_{2}<1}|f''(x+t_{1}u+t_{2}v)(u,v)-f''(x)(u,v)|,}$

それは言う

${\displaystyle f''(x)(u,v)=\lim _{s,t\to 0}(\Delta _{tv}\Delta _{su}f(x)-f(x))/(st).}$

右辺が で対称なので、左辺も です。帰納的に、が であれば、k多重線型写像は対称です。つまり、偏微分を取る順序は重要ではありません。^[7]${\displaystyle u,v}$${\displaystyle f''(x)(u,v)=f''(x)(v,u)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f^{(k)}(x)}$

1変数の場合と同様に、テイラー級数展開は部分積分によって証明できます。

${\displaystyle f(z+(h,k))=\sum _{a+b<n}\partial _{x}^{a}\partial _{y}^{b}f(z){h^{a}k^{b} \over a!b!}+n\int _{0}^{1}(1-t)^{n-1}\sum _{a+b=n}\partial _{x}^{a}\partial _{y}^{b}f(z+t(h,k)){h^{a}k^{b} \over a!b!}\,dt.}$

テイラーの公式には関数を変数で割る効果があり、これは次の公式の典型的な理論的使用法によって説明できます。

例: ^{[8] を、}急速に減少する導関数を持つ上の滑らかな関数のベクトル空間の間の線型写像とします。つまり、任意の多重添字 に対して となります。(この空間はシュワルツ空間と呼ばれます。) の各 に対して、テイラーの公式は次のように書けることを意味します。 ${\displaystyle T:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sup |x^{\beta }\partial ^{\alpha }\varphi |<\infty }$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \varphi -\psi \varphi (y)=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})\varphi _{j}}$

であり、 はコンパクトな台と を持つ滑らかな関数です。ここで、 が座標と可換であると仮定します。つまり、です。すると、 ${\displaystyle \varphi _{j}\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi (y)=1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(x_{j}\varphi )=x_{j}T\varphi }$

${\displaystyle T\varphi -\varphi (y)T\psi =\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})T\varphi _{j}}$。

上記を で評価すると、次の式が得られます。言い換えると、 はある関数による乗算、つまりです。ここで、さらに が偏微分と可換であると仮定します。すると、が定数であり、が定数による乗算であること が簡単にわかります。${\displaystyle y}$${\displaystyle T\varphi (y)=\varphi (y)T\psi (y).}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T\varphi =m\varphi }$${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$

(余談ですが、上記の議論はフーリエ反転公式をほぼ証明しています。実際、をフーリエ変換、 を反射とします。つまり、 です。次に、含まれる積分を直接扱うと、座標と偏微分との交換がわかります。したがって、は定数による乗算です。この定数をまだ計算する必要があるため、これはほぼ証明です。) ${\displaystyle F,R:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}$${\displaystyle (R\varphi )(x)=\varphi (-x)}$${\displaystyle T=RF^{2}}$${\displaystyle T}$

テイラー公式の部分的な逆も成り立ちます。ボレルの補題とホイットニーの拡張定理を参照してください。

-写像と-逆写像は -微分同相写像と呼ばれます。したがって、定理は、点 で仮定を満たす写像に対して、は の近くの微分同相写像である、ということを述べています。証明については、逆写像定理 § 逐次近似法 を使用した証明を参照してください。 ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x,f(x).}$

陰関数定理は次のように述べている。^[9]写像 が与えられたとき、が の近傍にあり、におけるの導関数が可逆であれば、となる の近傍に対して微分可能な写像が存在する。この定理は逆関数定理に従う。逆関数定理 § 陰関数定理 を参照。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f(a,b)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g:U\to V}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle f(x,g(x))=0}$

もう一つの結果は、沈み込み定理です。

区間の分割は有限列 である。 における長方形（区間の積）の分割はの辺の分割から構成される。つまり、ならば はで構成され、は の分割となる。^[10]${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k}=b}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D=\prod _{1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}$

上の関数が与えられたとき、その上リーマン和を次のように定義します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle U(f,P)=\sum _{Q\in P}(\sup _{Q}f)\operatorname {vol} (Q)}$

どこ

• ${\displaystyle Q}$は の分割元である。つまり、が の分割元であるときである。^[11]${\displaystyle P}$${\displaystyle Q=\prod _{i=1}^{n}[t_{i,j_{i}},t_{i,j_{i}+1}]}$${\displaystyle P_{i}:a_{i}=t_{i,0}\leq \dots \cdots \leq t_{i,k_{i}}=b_{i}}$${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}$
• の体積は通常のユークリッド体積、すなわち です。${\displaystyle \operatorname {vol} (Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \operatorname {vol} (Q)=\prod _{1}^{n}(t_{i,j_{i}+1}-t_{i,j_{i}})}$

の下リーマン和は を で置き換えることによって定義されます。最後に、関数が有界かつ である場合、その関数は積分可能と呼ばれます。その場合、共通値は と表されます。^[12]${\displaystyle L(f,P)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup\{L(f,P)\mid P\}=\inf\{U(f,P)\mid P\}}$${\displaystyle \int _{D}f\,dx}$

の部分集合が測度ゼロであるとは、各 に対して、集合を包含する長方形が無限に存在する場合を言う。^[13]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle D_{1},D_{2},\dots ,}$${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {vol} (D_{i})<\epsilon .}$

重要な定理は

次の定理により、関数の積分を 1 変数関数の積分の反復として計算することができます。

特に、統合の順序を変更することができます。

最後に、が有界開集合で上の関数である場合、が を含む閉長方形であり上の特性関数である場合にを定義します。つまり、が積分可能である場合、であり です。[ ^15]${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \int _{M}f\,dx:=\int _{D}\chi _{M}f\,dx}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \chi _{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \chi _{M}(x)=1}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle =0}$${\displaystyle x\not \in M,}$${\displaystyle \chi _{M}f}$

の境界面がによって定義域でパラメータ化されている場合、上の測定可能な関数の面積分は次のように定義され、次のように表されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\textbf {r}}={\textbf {r}}(u,v)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \int _{M}F\,dS:=\int \int _{D}(F\circ {\textbf {r}})|{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}|\,dudv}$

がベクトル値である 場合、次のように定義します。${\displaystyle F:M\to \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \int _{M}F\cdot dS:=\int _{M}(F\cdot {\textbf {n}})\,dS}$

ここで はへの外向きの単位法線ベクトルです。 なので、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\textbf {n}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\textbf {n}}={\frac {{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}}{|{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}|}}}$

${\displaystyle \int _{M}F\cdot dS=\int \int _{D}(F\circ {\textbf {r}})\cdot ({\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v})\,dudv=\int \int _{D}\det(F\circ {\textbf {r}},{\textbf {r}}_{u},{\textbf {r}}_{v})\,dudv.}$

を微分可能な曲線とします。すると、における曲線の接線ベクトルは、その成分が次のように与えられる 点におけるベクトルになります。${\displaystyle c:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c(t)}$

${\displaystyle v=(c_{1}'(t),\dots ,c_{n}'(t))}$^[16 ]

たとえば、がらせんの場合、tにおける接線ベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle c(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt),a>0,b>0}$

${\displaystyle c'(t)=(-a\sin(t),a\cos(t),b).}$

これは、らせん上の点が一定の速度で上方に移動するという直感に一致します。

が微分可能な曲線または曲面である場合、点pにおける への接空間は、 を持つ微分可能な曲線へのすべての接ベクトルの集合です。 ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle c:[0,1]\to M}$${\displaystyle c(0)=p}$

ベクトル場 Xは、 M内の各点pに、その点pにおけるMへの接線ベクトルを割り当てたもので、割り当ては滑らかに変化します。 ${\displaystyle X_{p}}$

ベクトル場の双対概念は微分形式である。 の開集合が与えられた場合、定義により、微分1形式（多くの場合は1形式）は、への接空間上の線型関数の点への割り当てであり、割り当ては滑らかに変化する。（実数値または複素数値の）滑らかな関数 に対して、1形式を次のように定義する。での接ベクトルに対して、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle df_{p}(v)=v(f)}$

ここで はにおける の方向微分を表す。^[17]例えば、 が- 番目の座標関数である場合、 となる。すなわち、 はにおける標準基底の双対基底となる。すると、すべての微分 1 形式は次のように一意に表される。 ${\displaystyle v(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle dx_{i,p}(v)=v_{i}}$${\displaystyle dx_{i,p}}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =f_{1}\,dx_{1}+\cdots +f_{n}\,dx_{n}}$

上のいくつかの滑らかな関数に対して成り立つ（なぜなら、任意の点 に対して、線型関数は実数上のの一意の線型結合だからである）。より一般的には、微分k形式は、割り当てが滑らかに変化するようなの双対空間の- 番目の外冪内のベクトルの点への割り当てである。 ^[17]特に、0 形式は滑らかな関数と同じである。また、任意の-形式は次のように一意に記述できる。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{k}T_{p}^{*}M}$${\displaystyle T_{p}^{*}M}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}f_{i_{1}\dots i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$

いくつかの滑らかな関数に対して。^[17]${\displaystyle f_{i_{1}\dots i_{k}}}$

滑らかな関数と同様に、微分形式を微分したり積分したりすることができます。が滑らかな関数である場合、次のように書くことができます。^[18]${\displaystyle f}$${\displaystyle df}$

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}$

なぜなら、 については、 が成り立つからです。上記の式では、左辺（したがって右辺）は座標 に依存しないことに注意してください。この特性は微分不変性と呼ばれます。 ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}|_{p}}$${\displaystyle df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)\,dx_{i}(v)}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

この演算は外微分と呼ばれ、要求条件（ライプニッツの規則） によって任意の微分形式に帰納的に拡張される。${\displaystyle d}$

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta .}$

ここで、p形式とq形式です。 ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

外微分には、重要な性質があります。つまり、微分形式の外微分はゼロになります。この性質は、 2 次微分の対称性(混合偏微分は等しい) の結果です。${\displaystyle d\circ d=0}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d\omega }$

円は時計回りまたは反時計回りに向けることができます。数学的には、への法線ベクトルの一貫した選択があり、それが連続的に変化する場合に、のサブセットは向きがあると言えます。たとえば、円、またはより一般的にはn球は向きを変えることができます。つまり、向きを変えることができます。一方、メビウスの帯(長方形の 2 つの反対側の辺をねじった方法で識別して得られる表面) は向きを変えることができません。法線ベクトルから始めて帯の周りを移動すると、最後の法線ベクトルは反対方向を指します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$

この命題は、体積形式を与えることによって方向を与えることができるので有用である。

が の開集合M上の微分n形式である場合(任意のn形式がその形式である)、それを 上で標準方向で 積分すると、次のように定義されます。${\displaystyle \omega =f\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{M}f\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

M に標準の向きと反対の向きが与えられた場合、 は右辺の負として定義されます。 ${\displaystyle \int _{M}\omega }$

次に、外微分と積分を関連付ける基本式を示します。

ここに公式の証明の概略を示す。^{[19] が}コンパクトな台を持つ滑らかな関数である場合、次式が成り立つ。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int d(f\omega )=0}$

（微積分学の基本定理により、上記は台を含む集合の境界上で評価できるため）一方、

${\displaystyle \int d(f\omega )=\int df\wedge \omega +\int f\,d\omega .}$

を の特性関数に近づけます。すると、微積分学の基本定理を証明するのと同様の議論により、右側の第 2 項は になり、第 1項は になります。${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \int _{M}d\omega }$${\displaystyle -\int _{\partial M}\omega }$${\displaystyle \square }$

この公式は、微積分学の基本定理と多変数微積分学におけるストークスの定理を一般化したものです。実際、 が区間で の場合、 となり、この公式は次のように表します。 ${\displaystyle M=[a,b]}$${\displaystyle \omega =f}$${\displaystyle d\omega =f'\,dx}$

${\displaystyle \int _{M}f'\,dx=f(b)-f(a)}$。

同様に、 がおよび内の有向境界面である場合、 となり、 および についても同様に成り立ちます。項をまとめると、次の式が得られます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \omega =f\,dx+g\,dy+h\,dz}$${\displaystyle d(f\,dx)=df\wedge dx={\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy\wedge dx+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz\wedge dx}$${\displaystyle d(g\,dy)}$${\displaystyle d(g\,dy)}$

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial h}{\partial y}}-{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}\right)dz\wedge dx+\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$

すると、 の積分の定義から、がベクトル値関数で あり であることがわかります。したがって、ストークスの公式は次のようになります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS}$${\displaystyle F=(f,g,h)}$${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

${\displaystyle \int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS=\int _{\partial M}(f\,dx+g\,dy+h\,dz),}$

これは表面上のストークスの定理の通常の形です。グリーンの定理もストークスの公式の特殊なケースです。

ストークスの公式はコーシーの積分公式の一般版も生み出す。これを述べて証明するために、複素変数と共役に対して、演算子を導入しよう。 ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle {\bar {z}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

これらの表記法では、関数が正則（複素解析的）であるためには、（コーシー・リーマン方程式）が成り立つ必要があります。また、次の式も成り立ちます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}.}$

を中心とする穴あき円板とします。は 上で正則なので、次が成り立ちます。 ${\displaystyle D_{\epsilon }=\{z\in \mathbb {C} \mid \epsilon <|z-z_{0}|<r\}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle 1/(z-z_{0})}$${\displaystyle D_{\epsilon }}$

${\displaystyle d\left({\frac {f}{z-z_{0}}}dz\right)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {d{\bar {z}}\wedge dz}{z-z_{0}}}}$。

ストークスの公式によれば、

${\displaystyle \int _{D_{\epsilon }}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {d{\bar {z}}\wedge dz}{z-z_{0}}}=\left(\int _{|z-z_{0}|=r}-\int _{|z-z_{0}|=\epsilon }\right){\frac {f}{z-z_{0}}}dz.}$

すると次のようになる: ^{[20] [21]}${\displaystyle \epsilon \to 0}$

${\displaystyle 2\pi i\,f(z_{0})=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f}{z-z_{0}}}dz+\int _{|z-z_{0}|\leq r}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-z_{0}}}.}$

微分形式は、ある微分形式（しばしばポテンシャルと呼ばれる）に対して のとき閉じているとされ、 のとき正確であるとされる。 なので、正確形式は閉じている。しかし、その逆は一般には成り立たず、正確でない閉じた形式が存在する可能性がある。そのような形式の典型的な例は以下の通りである：^[22]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle \omega =d\eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle d\circ d=0}$

${\displaystyle \omega ={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$、

これは 上の微分形式です。極座標に切り替えて とします。ここでです。すると ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$${\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta }$${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \omega =r^{-2}(-r\sin \theta \,dx+r\cos \theta \,dy)=d\theta .}$

これは が正確であることを示していません。問題は が 上の明確に定義された連続関数ではないということです。上の関数はと定数だけ異なるため、これはが正確ではないことを意味します。ただし、計算により が正確であることが示されます。たとえば、 ではを取ることができるためです。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-0}$${\displaystyle df=\omega }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{x=0\}}$${\displaystyle \theta =\arctan(y/x)}$

閉形式が正確であることを保証する条件を与える結果（ポアンカレの補題）があります。それを述べるには、位相幾何学の概念が必要です。のサブセット（またはより一般的には位相空間）間の 2 つの連続写像が与えられたとき、からへのホモトピーは、かつとなる連続関数です。直感的には、ホモトピーとは、ある関数から別の関数への連続的な変化です。集合内のループとは、開始点が終了点と一致する曲線です。つまり、となる曲線です。 のサブセットは、すべてのループが定数関数にホモトピックである場合に単連結であるといいます。単連結集合の典型的な例はディスク です。実際、ループ が与えられたとき、から定数関数 へのホモトピーが成り立ちます。一方、穴の開いたディスクは単連結ではありません。 ${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$${\displaystyle f(x)=H(x,0)}$${\displaystyle g(x)=H(x,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c:[0,1]\to X}$${\displaystyle c(0)=c(1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle D=\{(x,y)\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle c:[0,1]\to D}$${\displaystyle H:[0,1]^{2}\to D,\,H(x,t)=(1-t)c(x)+tc(0)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c(0)}$

上のベクトル場は、各点で互いに直交している場合、すなわち、各点で である場合、フレーム場と呼ばれる。^[23]基本的な例は標準フレーム である。すなわち、は の各点の標準基底である。別の例は円筒フレーム である。 ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle E_{i}\cdot E_{j}=\delta _{ij}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle E_{1}=\cos \theta U_{1}+\sin \theta U_{2},\,E_{2}=-\sin \theta U_{1}+\cos \theta U_{2},\,E_{3}=U_{3}.}$^[24]

曲線の幾何学を研究するために使用する重要なフレームは、次のように表される単位速度曲線上のフレネ フレーム です。 ${\displaystyle T,N,B}$${\displaystyle \beta :I\to \mathbb {R} ^{3}}$

ガウス・ボネの定理は、表面の トポロジーとその幾何学を関連付けます。

このセットは通常、制約と呼ばれます。 ${\displaystyle g^{-1}(0)}$

例: ^[27]円と直線の間の最小距離を求めるとします。つまり、制約条件の下で、円上の点と直線上の点の間の二乗距離である関数を最小化したいということです。次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$${\displaystyle x+y=4}$${\displaystyle f(x,y,u,v)=(x-u)^{2}+(y-v)^{2}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle g=(x^{2}+y^{2}-1,u+v-4)}$

${\displaystyle \nabla f=(2(x-u),2(y-v),-2(x-u),-2(y-v)).}$

${\displaystyle \nabla g_{1}=(2x,2y,0,0),\nabla g_{2}=(0,0,1,1).}$

のヤコビ行列は上のどこでも階数 2なので、ラグランジュ乗数は次のように表されます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$

${\displaystyle x-u=\lambda _{1}x,\,y-v=\lambda _{1}y,\,2(x-u)=-\lambda _{2},\,2(y-v)=-\lambda _{2}.}$

ならば、不可能である。したがって、そして ${\displaystyle \lambda _{1}=0}$${\displaystyle x=u,y=v}$${\displaystyle \lambda _{1}\neq 0}$

${\displaystyle x={\frac {x-u}{\lambda _{1}}},\,y={\frac {y-v}{\lambda _{1}}}.}$

このことから、およびであることが容易にわかります。したがって、最小距離は です(最小距離は明らかに存在するため)。 ${\displaystyle x=y=1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle u=v=2}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}-1}$

ここに線型代数への応用がある。^{[28] を}有限次元実ベクトル空間とし、自己随伴演算子とする。 の次元に関する帰納法により、 が の固有ベクトルからなる基底を持つ（すなわち、が対角化可能）ことを示す。 上の基底を選択すると、を識別でき、は行列 によって表される。関数 について考える。ここで、括弧は内積を意味する。すると となる。一方、 については、はコンパクトなので、の点で最大または最小値を達成する。 なので、ラグランジュ乗数により、となる実数を見つける。しかし、それは を意味する。帰納的仮説により、 の直交補数である自己随伴演算子 は、固有ベクトルからなる基底を持つ。よって、これで終わりである。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [a_{ij}]}$${\displaystyle f(x)=(Tx,x)}$${\displaystyle \nabla f=2(\sum a_{1i}x_{i},\dots ,\sum a_{ni}x_{i})}$${\displaystyle g=\sum x_{i}^{2}-1}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$${\displaystyle \nabla g=2(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 2\sum _{i}a_{ji}u_{i}=2\lambda u_{j},1\leq j\leq n.}$${\displaystyle Tu=\lambda u}$${\displaystyle T:W\to W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \square }$

測度零集合までは、他の関数（テスト関数と呼ばれる）に対する積分によって、2 つの関数が等しいかどうかを判断できます。つまり、次の式は変分法の基本補題と呼ばれることもあります。

連続関数が与えられたとき、補題により、連続的に微分可能な関数とは、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f}$

${\displaystyle \int {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx}$

任意の に対して が成り立ちます。しかし、の部分積分により、 の左辺の偏微分はの偏微分に移動できます。つまり、 ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle -\int u{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\,dx=\int f\varphi \,dx}$

ここで、 はコンパクトな台を持つため、境界項は存在しません。ここで重要な点は、 が必ずしも微分可能でなくてもこの式は意味を持ち、したがって、そのような関数の導関数に意味を与えるために使用できるということです。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u}$

各局所的に積分可能な関数は上の線型関数を定義し、さらに、前述の補題により、各局所的に積分可能な関数はそのような線型関数と同一視できることに注意されたい。したがって、ごく一般的に、が 上の線型関数である場合、を線型関数 と定義します。ここで括弧は を意味します。これはに関するの弱微分と呼ばれます。 が連続的に微分可能な場合、その弱微分は通常の微分と一致します。つまり、線型関数はに関する の通常の偏微分によって決定される線型関数と同じです。通常の微分は、多くの場合、古典的微分と呼ばれます。 上の線型関数が上のある位相に関して連続である場合、そのような線型関数は、一般化関数の例である超関数と呼ばれます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi \mapsto \int u\varphi \,dx}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle \varphi \mapsto -\left\langle u,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right\rangle }$${\displaystyle \langle \alpha ,\varphi \rangle =\alpha (\varphi )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$

弱微分の典型的な例は、区間 の特性関数であるヘヴィサイド関数 の例である。^[30]すべてのテスト関数 に対して、次式が成り立つ。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \langle H',\varphi \rangle =-\int _{0}^{\infty }\varphi '\,dx=\varphi (0).}$

を、ディラックのデルタ関数と呼ばれる線形関数（厳密には関数ではない）と表記します。すると、上記は次のように記述できます 。${\displaystyle \delta _{a}}$${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (a)}$

${\displaystyle H'=\delta _{0}.}$

コーシーの積分公式は、弱導関数に関して同様の解釈ができます。複素変数 については、 とします。テスト関数 について、円板がのサポートを含む場合、コーシーの積分公式により、次の式が得られます。 ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle E_{z_{0}}(z)={\frac {1}{\pi (z-z_{0})}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |z-z_{0}|\leq r}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (z_{0})={1 \over 2\pi i}\int {\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-z_{0}}}.}$

なので、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle dz\wedge d{\bar {z}}=-2idx\wedge dy}$

${\displaystyle \varphi (z_{0})=-\int E_{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}dxdy=\left\langle {\frac {\partial E_{z_{0}}}{\partial {\bar {z}}}},\varphi \right\rangle ,}$

または

${\displaystyle {\frac {\partial E_{z_{0}}}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}.}$^[31]

一般に、一般化関数は、その関数への演算子の適用がディラックのデルタである場合、線形偏微分演算子の基本解と呼ばれます。したがって、上記は、微分演算子の基本解であると言います。 ${\displaystyle E_{z_{0}}}$${\displaystyle \partial /\partial {\bar {z}}}$

このセクションでは、一般的なトポロジに関する背景知識が必要です。

多様体とは、局所的にはユークリッド空間によってモデル化されるハウスドルフ位相空間である。定義により、位相空間のアトラスは、チャートと呼ばれる地図の集合であり、次のようなものである。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle U_{i}}$は の開被覆である。すなわち、それぞれが開いており、${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle M=\cup _{i}U_{i}}$
• ${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \varphi _{i}(U_{i})}$は同相写像であり、
• ${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$は滑らかです。したがって微分同相写像です。

定義により、多様体は、最大アトラス（微分可能構造と呼ばれる）を持つ第 2 可算なハウスドルフ位相空間です。 「最大」とは、厳密に言えば、それよりも大きなアトラスには含まれないことを意味します。多様体の次元は、モデルユークリッド空間の次元です。つまり、 であり、多様体がn次元を持つ場合、その多様体はn多様体と呼ばれます。多様体上の関数は、微分可能構造の 各チャートに対してが滑らかである場合に滑らかであると言われます。${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f|_{U}\circ \varphi ^{-1}}$${\displaystyle \varphi (U)}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

多様体はパラコンパクトです。これは、与えられた開被覆に従属する 1 の分割を許容することを意味します。

を上半空間 に置き換えると、境界を持つ多様体の概念が得られます。図表の下で の境界にマップされる点の集合は で表され、 の境界と呼ばれます。この境界は の位相境界ではない場合があります。 の内部はに微分同相であるため、多様体は境界が空の境界を持つ境界を持つ多様体です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

次の定理は多様体の多くの例を提供します。

たとえば、 の場合、のどの点でも導関数の階数は 1 です。したがって、n球面はn多様体です。 ${\displaystyle g(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}-1}$${\displaystyle g'(x)={\begin{bmatrix}2x_{1}&2x_{2}&\cdots &2x_{n+1}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$

この定理は逆関数定理の系として証明されます。

よく知られている多様体の多くは のサブセットです。次の理論的に重要な結果は、他の種類の多様体は存在しないということです。 はめ込みは、微分が単射である滑らかな写像です。 埋め込みは、画像に同相（したがって微分同相）なはめ込みです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

多様体がNに対してに埋め込めることの証明はかなり簡単で、ここで簡単に示すことができます。多様体が有限のアトラスを持つことは知られています^[要出典]。が滑らかな関数で、と が(例えば、 の分割) を覆うものとします。写像を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}\mid 1\leq i\leq r\}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \operatorname {Supp} (\lambda _{i})\subset U_{i}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}=1\}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle f=(\lambda _{1}\varphi _{1},\dots ,\lambda _{r}\varphi _{r},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}):M\to \mathbb {R} ^{(k+1)r}}$

は単射浸漬であることは簡単にわかります。埋め込みではないかもしれません。これを修正するには、次を使用します。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f,g):M\to \mathbb {R} ^{(k+1)r+1}}$

ここで、は滑らかな真写像である。滑らかな真写像の存在は、単位の分割の結果である。浸漬の場合の残りの証明については、[1]を参照。${\displaystyle g}$${\displaystyle \square }$

ナッシュの埋め込み定理によれば、がリーマン計量を備えている場合、 を増やすことを犠牲にして埋め込みを等長的にすることができる。これについては、T. Tao のブログを参照してください。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle 2k}$

技術的に重要な結果は次のとおりです。

これは、多様体 にリーマン計量を適用することで証明できます。実際、計量の選択により、正規バンドルはの補バンドルになります。つまり、は との直和です。次に、計量を使用して、正規バンドル内の のある近傍から 内の のある近傍への指数写像を取得します。ここでの指数写像は単射ではないかもしれませんが、縮小することで単射（したがって微分同相）にすることができます（今のところ、[2] を参照）。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \nu _{i}}$${\displaystyle TN}$${\displaystyle TM|_{N}}$${\displaystyle TN}$${\displaystyle \nu _{N}}$${\displaystyle \exp :U\to V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \nu _{N}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$

多様体上の積分という話題の出発点は、多様体上の関数を積分する不変な方法は存在しないということです。これは、「有限次元実ベクトル空間上の関数の積分とは何か」と問えば明らかでしょう。(対照的に、定義により多様体は微分可能な構造を持つため、微分を行う不変な方法は存在します)。多様体に積分理論を導入する方法はいくつかあります。

• 微分形式を積分します。
• 何らかの基準に対して積分を実行します。
• 多様体にリーマン計量を装備し、そのような計量に対して積分を実行します。

たとえば、多様体がユークリッド空間に埋め込まれると、周囲のユークリッド空間から制限するルベーグ測度が得られ、2 番目のアプローチが機能します。最初のアプローチは多くの状況で問題ありませんが、多様体が方向付けられている必要があります (そして、病的ではない方向付けられない多様体が存在します)。3 番目のアプローチは一般化され、密度の概念を生み出します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分可能性のような概念はノルム空間にまで拡張されます。

• 曲面の微分幾何学
• 繊維に沿った積分
• ルシンの定理
• 多様体上の密度

• カルモ、マンフレド P. (1976)、曲線と曲面の微分幾何学、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-212589-5
• エドワーズ、チャールズ・ヘンリー（1994）[1973]、Advanced Calculus of Several Variables、ミネオラ、ニューヨーク：Dover Publications、ISBN 0-486-68336-2
• フォランド、ジェラルド、『実分析：現代の技術とその応用（第 2 版）』
• カルタン、アンリ（1971）、微分計算（フランス語）、ヘルマン、ISBN 9780395120330
• ヒルシュ、モリス (1994)、微分位相学(第 2 版)、シュプリンガー・フェアラーク
• ヘルマンダー、ラース（2015）、線形偏微分演算子の解析I：分布理論とフーリエ解析、数学の古典（第2版）、シュプリンガー、ISBN 9783642614972
• ルーミス、リン・ハロルド、スターンバーグ、シュロモ（1968）、Advanced Calculus、Addison-Wesley（1990年に改訂、ジョーンズとバートレット、2014年に再版、ワールドサイエンティフィック）[このテキストでは特に密度について説明しています]
• オニール、バレット（2006）、初等微分幾何学（改訂第2版）、アムステルダム：エルゼビア/アカデミックプレス、ISBN 0-12-088735-5
• ルディン、ウォルター（1976）[1953]、数学解析の原理（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒル、pp.204-299、ISBN 978-0-07-054235-8
• スピヴァック、マイケル(1965)。『多様体上の微積分学：高度な微積分の古典的定理への現代的アプローチ』サンフランシスコ：ベンジャミン・カミングス。ISBN 0-8053-9021-9。