ホイットニー拡張定理

数学、特に数学解析学において、ホイットニーの拡張定理はテイラーの定理の部分逆である。大まかに言えば、この定理は、Aがユークリッド空間の閉部分集合である場合、 Aの与えられた関数を、 Aの点で所定の導関数を持つように拡張することが可能であることを主張する。これはハスラー・ホイットニーの結果である。

定理を正確に述べるには、閉集合上の関数の導関数を規定することが何を意味するかを慎重に考慮する必要があります。たとえば、1 つの難しさは、ユークリッド空間の閉部分集合には一般に微分可能な構造がないことです。したがって、出発点はテイラーの定理の記述を調べることです。

テイラーの定理は、R ⁿ上の実数値C ^m関数f ( x )が与えられたとき、各a , x , y ∈ R ⁿに対して、 x , y → aの ときに一様に 0 に近づく関数R _α ( x , y ) が存在し、

ここで、合計は複数のインデックス αにわたって行われます。

各多重指数αについてfα = Dαfとする。(1)をxに関して微分し、必要に応じて Rを置き換えると、_{次式が得られる}^。

ここでR _{α は}x , y → aのときに一様にo (| x  −  y | ^{m −| α |} )となる。

（２ ）は、関数ｆαが関数ｆの_{テイラー級数の係数となるために満たされなければならない、純粋に関数ｆα}間の適合条件とみなすことができることに注意されたい。この洞察により、次の記述が容易になる。

定理。f _{α が}、 Aのすべての点x、y、aで適合条件 ( 2 )を満たすすべての多重インデックス α に対して、R ⁿの閉部分集合A上の関数の集合である とします。このとき、クラスC ^mの関数F ( x )が存在し、次のようになります。 ${\displaystyle |\alpha |\leq m}$

1. A上でF = f ₀です。
2. D ^α F = f _αはA上にあります。
3. FはR ⁿ  −  Aのあらゆる点で実解析的である。

証明は Whitney (1934) の原著論文、Malgrange (1967)、Bierstone (1980)、Hörmander (1990) に記載されています。

Seeley (1964) は、半空間の特殊なケースにおけるホイットニーの拡張定理を証明した。 x _n ≥ 0 となる点の半空間R ^{n ,+}上の滑らかな関数は、その導関数 ∂ ^α f が半空間上の連続関数に拡張されるような、内部x _n上の滑らかな関数fである。境界x _n = 0 では、f は滑らかな関数に制限される。ボレルの補題により、f はR ⁿ全体上の滑らかな関数に拡張できる。ボレルの補題は局所的であるため、同じ議論から、 が滑らかな境界を持つR ⁿ内の (有界または非有界の) 領域である場合、 の閉包上の任意の滑らかな関数はR ⁿ上の滑らかな関数に拡張できることが示される。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$

半直線に対するシーリーの結果は、一様拡大写像を与える。

${\displaystyle \displaystyle {E:C^{\infty }(\mathbf {R} ^{+})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ),}}$

これは線形かつ連続的であり（関数とその導関数がコンパクト上で一様収束する位相に対して）、 [0, R ] でサポートされる関数を [− R , R ] でサポートされる関数に変換します。

セットを定義するには^[1]${\displaystyle E,}$

${\displaystyle \displaystyle {E(f)(x)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}f(-b_{m}x)\varphi (-b_{m}x)\,\,\,(x<0),}}$

ここでφはR上のコンパクトな台の滑らかな関数で、0付近では1に等しく、数列( a _m )、( b _m )は次を満たす。

• ${\displaystyle b_{m}>0}$傾向がある;${\displaystyle \infty}$
• ${\displaystyle \sum a_{m}b_{m}^{j}=(-1)^{j}}$和は絶対収束するからである。${\displaystyle j\geq 0}$

この連立方程式の解は、関数全体を求めることで得られる。${\displaystyle b_{n}=2^{n}}$

${\displaystyle g(z)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}z^{m}}$

このような関数が構成できることは、ワイエルシュトラスの定理とミッタク・レフラーの定理から導かれる。^[2]${\displaystyle g\left(2^{j}\right)=(-1)^{j}.}$

^[3]を設定すると直接見ることができます。

${\displaystyle W(z)=\prod _{j\geq 1}(1-z/2^{j}),}$

で単純な零点を持つ整関数。導関数W '(2 ^j )は上と下に有界である。同様に関数 ${\displaystyle 2^{j}.}$

${\displaystyle M(z)=\sum _{j\geq 1}{(-1)^{j} \over W^{\prime }(2^{j})(z-2^{j})}}$

単純な極と所定の留数を持つ有理型${\displaystyle 2^{j}.}$

建設によって

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=W(z)M(z)}}$

必要なプロパティを備えた完全な関数です。

R ⁿの半空間の定義は、最後の変数x _nに演算子R を適用することによって行われます。同様に、滑らかな1 の分割と局所的な変数変換を使用すると、半空間の結果は、類似の拡張マップの存在を意味します 。

${\displaystyle \displaystyle {C^{\infty }({\overline {\Omega }})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}}$

滑らかな境界を持つR ⁿ内の任意の領域に対して。 ${\displaystyle \オメガ}$

• キルシュブラウンの定理はリプシッツ関数の拡張を与えます。
• ティーツェ拡張定理 – 正規空間の閉部分集合上の連続写像は拡張できる
• ハーン・バナッハの定理 – 有界線形関数の拡張に関する定理

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