ジョーダンのトーティエント関数

数論において、ジョルダンのトーティエント関数（ は正の整数）は、 （は整数）の関数であり、の個数に等しくなります。（SVG の解析に失敗しました（MathML はブラウザのプラグインで有効にできます）：サーバー「http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/」からの無効な応答（「Math 拡張機能は Restbase に接続できません。」）": {\displaystyle k} -と等しいかそれより小さい正の整数の組であり、 とともに互いに素な整数の集合を形成します。 ${\displaystyle J_{k}(n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k+1}$

ジョルダンのトーティエント関数は、 と同じオイラーのトーティエント関数の一般化です。この関数は、カミーユ・ジョルダンにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle J_{1}(n)}$

それぞれの正の整数に対して、ジョルダンのトーティエント関数は乗法関数であり、次のように評価できる。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$であり、は の素因数から までの範囲です。${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

これはディリクレ畳み込みの言語で次のように記述できる^[1]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

そしてメビウス反転により

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$。

のディリクレ生成関数は であり、 のディリクレ生成関数はであるため、 の級数はとなる。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 1/\zeta (s)}$${\displaystyle n^{k}}$${\displaystyle \zeta (s-k)}$${\displaystyle J_{k}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$。

• 平均順序は​${\displaystyle J_{k}(n)}$

${\displaystyle J_{k}(n)\sim {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$。

• デデキントのpsi関数は

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$、

また、定義を調べると（素数の積の各因数が の円分多項式であることを認識して）、またはによって定義される算術関数も整数値の乗法関数であることが示されます。${\displaystyle p^{-k}}$${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$^[2 ]

• 上の階数の行列の一般線型群は階数^{[3]を持つ。}${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• 上の位数の行列の特殊線型群は位数${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• 上の位数の行列のシンプレクティック群は位数${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

最初の 2 つの式はジョーダンによって発見されました。

• OEISの明示的なリストは、 OEISのJ ₂ : A007434 、 OEISのJ ₃ : A059376、OEISのJ ₄ : A059377 、 OEISのJ ₅ : A059378、OEISのJ ₆から J ₁₀ : A069091からOEIS : A069095までです。
• 比で定義される乗法関数は、OEIS : A001615の J ₂ (n)/J ₁ (n) 、OEIS : A160889の J ₃ (n)/J 1 ₍ n) 、 OEIS : A160891のJ ₄ (n)/J ₁ ( n )、OEIS : A160893のJ _{5 (n)/J 1 (n)、} OEIS : A160895のJ ₆ ( n) /J ₁ (n)、OEIS : A160897の J 7 ₍ n)/J ₁ (n)、OEIS _: A160908のJ ₉ (n)/J ₁ (n) 、 OEIS : A160953のJ ₁₀ (n)/Jです_。OEIS_の1 (n) : A160957、OEIS_{の J 11} (n)/J ₁ (n) : A160960。
• 比 J _2k (n)/J _k (n)の例としては、 OEIS : A065958の J ₄ (n)/J ₂ (n) 、 OEIS : A065959のJ ₆ (n)/J ₃ (n) 、OEIS : A065960の J ₈ (n)/J ₄ (n)などがあります。

• LE ディクソン(1971) [1919].数論の歴史、第 1 巻.チェルシー出版. p. 147. ISBN 0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04.
• M. ラム・マーティ(2001)。解析的数論の問題。数学大学院テキスト。第 206 巻。シュプリンガー出版。p. 11。ISBN 0-387-95143-1.ZBL0971.11001  。​
• サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 32～36ページ。ISBN 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001  。​

• アンドリカ、ドリン。ピティカリ、ミハイ (2004)。 「ジョルダンの算術関数のいくつかの拡張について」。Acta Universitatis Apulensis。7：13～22。MR  2157944。
• Holden, Matthew; Orrison, Michael; Vrable, Michael. 「オイラーのトーティエント関数のもう一つの一般化」(PDF)。2016 年 3 月 5 日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2011 年 12 月 21 日に取得。