デデキント psi 関数

数論 において、デデキントのpsi関数は、次のように定義される正の整数 の乗法関数である。

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),}$

ここで、積はを割り切るすべての素数に対して取られます(慣例により、空積である の値は 1 です)。関数 は、モジュラー関数に関連してリチャード・デデキントによって導入されました。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \psi (1)}$

最初のいくつかの整数の値は次のとおりです。 ${\displaystyle \psi (n)}$${\displaystyle n}$

1、3、4、6、6、12、8、12、12、18、12、24、...（OEISの配列A001615）。

関数 は、1 より大きいすべての に対してより大きく、 2 より大きいすべての に対して は偶数です。 が平方数でない数の場合、となり、 は約数の和関数となります。 ${\displaystyle \psi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi (n)=\sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (n)}$

関数は、任意の素数のべき乗に対して を設定し、その定義を乗法的にすべての整数に拡張することによっても定義できます。これにより、リーマンゼータ関数による生成関数の証明も得られます。 ${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}。 }$

これは、 のディリクレ畳み込みとして記述できるという事実の結果でもあります。 ${\displaystyle \psi =\mathrm {Id} *|\mu |}$

psi関数の加法的定義もある。Dickson ^{[1]からの引用。}

R.デデキント^[2]は、があらゆる方法で積に分解され、が のGCDである場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle e}$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle \sum _{a}(a/e)\varphi (e)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

ここで、はのすべての約数にわたっており、の素約数にわたっており、 はトーティエント関数です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi}$

ジョルダンのトーティエントの比による高次の一般化は

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

ディリクレ級数

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\ゼータ (s)\ゼータ (sk)} {\ゼータ (2 秒)}}}$。

これは、メビウス関数のべき乗と2乗のディリクレ畳み込みでもある。

${\displaystyle \psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$。

もし

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots }$

は平方の特性関数であり、別のディリクレ畳み込みにより一般化されたσ関数が得られる。

${\displaystyle \epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)}$。

• Weisstein、Eric W.「デデキント関数」。MathWorld。

• 志村五郎(1971)。『保型関数の算術理論入門』プリンストン。（25ページ、式（1））
• Mathar, Richard J. (2011). 「乗法算術関数のディリクレ級数の調査」. arXiv : 1106.4038 [math.NT].セクション3.13.2
• OEIS : A065958は ψ ₂、 OEIS : A065959は ψ ₃、 OEIS : A065960は ψ ₄