算術関数の平均次数

数論において、算術関数の平均順序とは、「平均して」同じ値を取る、より単純で理解しやすい関数のことです。

を算術関数とします。 が無限大に近づく とき、の平均位数はで あると言えます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$${\displaystyle x}$

連続かつ単調な近似関数を選択するのが一般的です。しかし、そうであっても平均順序は当然一意ではありません。 ${\displaystyle g}$

制限が $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}f(n)=c}$$

が存在する場合、 は平均値（平均値）を持つと言われます。さらに定数がゼロでない場合、定数関数はの平均次数です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle g(x)=c}$${\displaystyle f}$

• nの約数の個数d ( n )の平均位数はlog nである。
• nの約数の合計であるσ ( n )の平均位数はn π ²  /  6です。
• nのオイラーのトーシェント関数φ ( n )の平均次数は6 n  /  π ²である。
• n を2 つの平方の和として表す方法の数であるr ( n )の平均次数はπです。
• 自然数を3つの平方数の和として表現する平均順序は4π n  /  3です。
• 自然数を 1 つ以上の連続する素数の和に分解する平均回数はn log2です。
• nの異なる素因数の数ω ( n )の平均位数はloglog nである。
• nの素因数の数Ω ( n )の平均位数はloglognである。
• 素数定理は、フォン・マンゴルト関数 Λ( n )の平均位数が 1 であるという主張と同等です。
• メビウス関数μ ( n )の平均値はゼロであり、これも素数定理と同等である。

が何らかの算術関数の形である 場合、 ${\displaystyle F}$$${\displaystyle F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),}$$${\displaystyle f(n)}$

前の形式の一般化された恒等式はここにあります。この恒等式は、リーマンゼータ関数に関して平均値を計算する実用的な方法を提供することがよくあります。これは次の例で説明されています。

整数に対してk^乗の整数の集合は ${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle Q_{k}}$$${\displaystyle Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ は任意の整数 }}d\geq 2\} に対して }}d^{k}{\text{ で割り切れない。}$$

これらの数の ℕ における自然密度、つまり の平均値（ と表記）をゼータ関数の観点から計算します。 ${\displaystyle 1_{Q_{k}}}$${\displaystyle \delta (n)}$

関数は乗法関数であり、1で有界なので、そのディリクレ級数は半平面上で絶対収束し、オイラー積が成り立つ。${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ $${\displaystyle \sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.}$$

メビウスの反転公式により、 は メビウス関数 を表します。 同様に、 で あり 、したがって、 $${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}\mu (n)n^{-ks},}$$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}f(n)n^{-s},}$$${\displaystyle f(n)={\begin{cases}\mu (d)&n=d^{k}\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}=\sum _{n}\left(\sum _{d\mid n}f(d)\right)n^{-s}.}$$

係数を比較すると、 $${\displaystyle \delta (n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

(1)を用いると、 $${\displaystyle \sum _{d\leq x}\delta (d)=x\sum _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).}$$

結論として、 メビウスの反転公式から得られる 関係式を使用しました 。$${\displaystyle \sum _{\stackrel {n\in Q_{k}}{n\leq x}}1={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),}$$$${\displaystyle \sum _{n}(f(n)/n)=\sum _{n}f(n^{k})n^{-k}=\sum _{n}\mu (n) n^{-k}={\frac {1}{\zeta (k)}},}$$

特に、平方自由整数の密度は です。 ${\textstyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

2 つの格子点を結ぶ開いた線分上に格子点がない場合、それらの格子点は互いに見えると言います。

ここで、gcd( a , b ) = d > 1の場合、a = da ²、b = db ²と書くと、点 ( a ² , b ^{2 ) は (0,0) と (} a , b )を結ぶ線分上にあり、したがって ( a , b ) は原点から見えないことがわかります。したがって、 ( a , b ) が原点から見えるということは、 ( a , b ) = 1 であることを意味します。逆に、 gcd( a , b ) = 1 は、 (0,0) と ( a , b )を結ぶ線分に他の整数格子点が存在しないことを意味することも簡単にわかります。したがって、 ( a , b ) が (0,0) から見えるのは、 gcd( a , b ) = 1 の場合のみです。

正方形上のランダムな点が原点から見える 確率であることに注意してください。${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}}$

したがって、原点から見える点の自然密度は平均で与えられることが分かる。 $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.}$$

${\textstyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$は、ℕ における平方自由数の自然密度でもあります。実際、これは偶然ではありません。k 次元格子 を考えてみましょう。原点から見える点の自然密度は であり、これは ℕ におけるk番目の自由整数の自然密度でもあります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$${\textstyle {\frac {1}{\zeta (k)}}}$

の一般化を考えてみましょう: ${\displaystyle d(n)}$$${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }.}$$

以下は真です: ここで。 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\alpha >0,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if }}\alpha =-1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\max(0,1+\alpha )})&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \beta =\max(1,\alpha )}$

この概念は、例を挙げて説明するのが最も適切です。 (はオイラー・マスケローニ定数) であり、 から 漸近関係式が得られます 。これは、 の平均次数として、単に を選択するよりも関数 を選択する方が適切であること を示しています。 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+o(x)}$$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),}$$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}(d(n)-(\log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\to \infty ),}$$${\displaystyle \log n+2\gamma }$${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle \log n}$

h ( x ) をF _q上のモニック多項式集合上の関数と する。${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{ monic}},\deg(f)=n}h(f).}$$

これは、次数nの単項多項式の集合におけるhの平均値です。 n が無限大に近づくとき、 g ( n )はhの平均次数であると言います。 $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)}$$

極限が存在する場合 、 h は平均値 cを持つと言われ ます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c}$$

F _q [ X ] = Aを有限体F _q上の多項式環とする。

h を多項式算術関数（つまり、 A上の単項多項式の集合上の関数）とします。対応するディリクレ級数は として定義されます 。 ただし、 の場合は、の場合は、それ以外の場合は となります。$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$${\displaystyle g\neq 0}$${\displaystyle |g|=0}$

多項式ゼータ関数は $${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

Nの場合と同様に、乗法関数 hのすべてのディリクレ級数には積表現 (オイラー積) があります。 ここで、積はすべてのモニック既約多項式Pにわたって実行されます。 $${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})\left|P\right|^{-sn}\right),}$$

たとえば、ゼータ関数の積表現は整数の場合と同じです。 ${\textstyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}\left(1-\left|P\right|^{-s}\right)^{-1}}$

古典的なゼータ関数とは異なり、は単純な有理関数です。 ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}(|f|^{-s})=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

同様に、fとg が2 つの多項式算術関数である場合、fとgのディリクレ畳み込みf  *  g を次のように定義します。ここで 、 和はmの すべてのモニック約数dに渡って拡張されます。または、積がmであるモニック多項式のすべてのペア ( a、b ) に渡って拡張されます。恒等式は依然として有効です。したがって、初等理論の場合と同様に、多項式ディリクレ級数とゼータ関数は、多項式のコンテキストでの平均値の概念と関連しています。次の例でそれを説明します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

k乗が自由な 場合は1 に、そうでない場合は 0 に定義します。${\displaystyle \delta (f)}$${\displaystyle f}$

整数の場合と同じ方法で、 F _q [X]のk乗自由多項式の密度である の平均値を計算します。${\displaystyle \delta }$

の乗法により： ${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}\left(\sum _{j=0}^{k-1}(|P|^{-js})\right)=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}}$$

n次のk乗モニック多項式の個数を表すと、 ${\displaystyle b_{n}}$$${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\sum _{n}\sum _{{\text{def}}f=n}\delta (f)|f|^{-s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.}$$

置換すると次のようになります。 ${\displaystyle u=q^{-s}}$$${\displaystyle {\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}u^{n}.}$$

最後に、左辺を等比級数展開し、両辺の係数を比較すると、次のようになります。 ${\displaystyle u^{n}}$$${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}q^{n}&n\leq k-1\\q^{n}(1-q^{1-k})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\frac {1}{\zeta _{A}(k)}}}$$

また、これはnに依存しないので、の平均値でもあります。 ${\displaystyle \delta (f)}$

F _q [X]において、次のように定義する。 $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=\sum _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.}$$

を計算します。 ${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})}$${\displaystyle k\geq 1}$

まず、 および であることに注目してください。 $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)}$$${\displaystyle h(f)=|f|^{k}}$${\displaystyle \mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}}$

したがって、 $${\displaystyle \sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\sum _{m}h(m)|m|^{-s}.}$$

置換すると、 コーシー積により、 ${\displaystyle q^{-s}=u}$$${\displaystyle {\text{LHS}}=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m)\right)u^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}h(m)\right)u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}\left(\sum _{j=0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j}\right)\\&=\sum _{n}\left(q^{n}\left({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}\right)\right)u^{n}.\end{aligned}}}$$

ついにそれが分かりました $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.}$$

注意してください $${\displaystyle q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}\left({\frac {1-q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}}\right)=q^{n(k+1)}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$

したがって、 と設定すると、上記の結果は 整数の類似の結果に似たものになります。 ${\displaystyle x=q^{n}}$$${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n)={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})}$$

をfのモニック因子の数とし、をn 次モニック全体の 合計とします。 ここで。 ${\displaystyle d(f)}$${\displaystyle D(n)}$${\displaystyle d(f)}$$${\displaystyle \zeta _{A}(s)^{2}=\left(\sum _{h}|h|^{-s}\right)\left(\sum _{g}|g|^{-s}\right)=\sum _{f}\left(\sum _{hg=f}1\right)|f|^{-s}=\sum _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }D(n)u^{n}}$$${\displaystyle u=q^{-s}}$

右辺をべき級数に展開すると、 $${\displaystyle D(n)=(n+1)q^{n}.}$$

上記の式 を代入すると次のようになります。これは整数（ここではオイラー定数 ）に対する類似の結果とよく似ています。 ${\displaystyle x=q^{n}}$$${\displaystyle D(n)=x\log _{q}(x)+x}$$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$${\displaystyle \gamma }$

整数の誤差項についてはあまり知られていませんが、多項式の場合は誤差項はありません。これは、ゼータ関数が非常に単純な性質を持ち、ゼロを持たないためです。 ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

多項式フォン・マンゴルト関数は次のように定義されます。 ここで、対数はq に基づいて取られます。 $${\displaystyle \Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\text{if }}f=|P|^{k}{\text{ for some prime monic}}P{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

命題。の平均値はちょうど1です。 ${\displaystyle \Lambda _{A}}$

証明。m を単項多項式とし、を mの素分解とします。 ${\textstyle m=\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$

我々は持っています、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{l})|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}\left(\prod _{j=1}^{l}P_{j}^{i_{j}}\right)=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})\\&=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\sum _{j=1}^{l}e_{j}\log |P_{j}|=\sum _{j=1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}\\&=\log \left|\left(\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}\right)\right|\\&=\log(m)\end{aligned}}}$$

したがって 、 $${\displaystyle \mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|}$$$${\displaystyle \zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\sum _{m}\log \left|m\right|\left|m\right|^{-s}.}$$

今、 $${\displaystyle \sum _{m}|m|^{s}=\sum _{n}\sum _{\deg m=n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n(1-s)}.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log \left|f\right|\left|f\right|^{-s}.}$$

私たちはそれを得ました: $${\displaystyle D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}}$$

今、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}&=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm}\right)=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)\right)u^{n}\\&={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}\log(q)}{1-q^{1-s}}}\\&=\log(q)\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}u^{n}\end{aligned}}}$$

したがって、 をで割ると、 $${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),}$$${\displaystyle q^{n}}$$${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.}$$

オイラートーシェント関数の多項式類似物である を 、群 の要素の数として定義します。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (A/fA)^{*}}$$${\displaystyle \sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).}$$

• 除数合計関数
• 算術関数の通常の順序
• 算術関数の極値順序
• 約数の和の恒等式

• ハーディ、GH ;ライト、EM (2008) [1938].数論入門. DR ヒースブラウンとJH シルバーマンによる改訂.アンドリュー・ワイルズによる序文. (第6版). オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-921986-5MR 2445243。Zbl 1159.11001  。 ​ 347～360ページ
• ジェラルド・テネンバウム (1995)。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ高等数学研究。第46巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 36–55。ISBN 0-521-41261-7.ZBL0831.11001  。​
• トム・M・アポストル（1976）『解析的数論入門』、Springer Undergraduate Texts in Mathematics、ISBN 0-387-90163-9
• マイケル・ローゼン（2000）『関数体における数論』、Springer Graduate Texts In Mathematics、ISBN 0-387-95335-3
• ヒュー・L・モンゴメリー、ロバート・C・ヴォーン（2006年）、乗法数論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521849036
• Michael Baakea、Robert V. Moodyb、Peter AB Pleasantsc (2000)、可視格子点とk乗自由整数からの回折、離散数学ジャーナル