単純ハニカム

幾何学において、単体ハニカム（またはn単体ハニカム）は、アフィンコクセター群の対称性に基づく、ハニカムの次元無限列である。これは、1 つのノードが環状になっているn + 1ノードの巡回グラフとして、コクセター-ディンキン図で表されます。これは、 n単体ファセットと、すべての修正されたn単体で構成されます。これは、すべての超平面に沿って細分化されたn次元超立方体ハニカムの、次に超立方体の端の単体が正則になるまで主対角線に沿って引き伸ばされたものと考えることができます。n単体ハニカムの頂点図形は、拡張されたn単体です。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$ ${\displaystyle x+y+\cdots \in \mathbb {Z} }$

2次元では、ハニカムは三角形のタイリングを表し、コクセターグラフは交互に色分けされた三角形で平面を埋める。3次元では、コクセターグラフを持つ四面体八面体ハニカムを表す。空間を四面体と八面体のセルで交互に埋める。4次元では5セルハニカムと呼ばれ、コクセターグラフで表されます。、5セルと5セルの整流面を持つ。5次元では5単体ハニカムと呼ばれ、コクセターグラフを持つ。、 5単体、修正5単体、および二重修正5単体の面で空間を埋める。6次元では、 6単体ハニカムと呼ばれ、コクセターグラフ、 6 単体、修正 6 単体、および二重修正 6 単体ファセット で空間を埋めます。

(2n-1)単体ハニカムと2n単体ハニカムは、同じ頂点配置を共有する2組の鏡を互いに写像する幾何学的折り畳み操作によって、 n次元超立方ハニカムに投影することができます。

これらのハニカムは、各ハニカム頂点の中心に位置する接線 n 球として見られ、接触する球の数は固定されており、頂点図の頂点の数に対応しています。これは、2 次元および 3 次元では最大の接線数を表しますが、高次元では不十分です。2 次元では、三角形のタイリングにより、正六角形に配置された 6 つの接線球の円充填が定義され、3 次元では、立方八面体構成に配置された 12 の接線球があります。4 次元から 8 次元では、接線数は20、30、42、56、および72 個の球であり、最大の解はそれぞれ 24、40、72、126、および 240 個の球です。

• 超立方ハニカム
• 交互超立方ハニカム
• 1/4超立方ハニカム
• 切頂単体ハニカム
• 全切形ハニカム

• ジョージ・オルシェフスキー、均一な全倍数体テトラコーム、原稿 (2006) (11 個の凸均一タイリング、28 個の凸均一ハニカム、および 143 個の凸均一テトラコームの完全なリスト)
• Branko Grünbaum、「3次元空間の均一タイリング」、Geombinatorics 4(1994)、49 - 56。
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
• コクセター、HSM Regular Polytopes、（第 3 版、1973 年）、ドーバー版、ISBN  0-486-61480-8
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文 22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 一様空間充填)
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]