円錐台

ピラミッド型の正方形の体積を求める公式は、古代エジプトの数学において、第13王朝時代（紀元前1850年頃）に書かれた「モスクワ数学パピルス」と呼ばれる文書の中で初めて導入された。

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

ここで、aとbは底辺と上辺の長さ、hは高さである。

エジプト人は、このような切頭四角錐の体積を求める正しい公式を知っていたが、モスクワ・パピルスにはこの公式の証明は記されていない。

円錐台またはピラミッド型の立体の体積は、その「頂点」を切り取る前の立体の体積から、切り取った「頂点」の体積を引いたものです。

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

ここで、B ₁とB ₂は底面積と上面積であり、h ₁とh ₂は頂点から底面と上面への垂線の高さである。

それを考慮すると

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

体積の公式は、この比例関係の積の3分の1として表すことができる。${\displaystyle \alpha }$、そして高さh1と_h2の立方体の差_のみ：

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

恒等式a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² )を用いると、次の式が得られる。

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

ここで、h ₁ − h ₂ = hは円錐台の高さです。

配布${\displaystyle \alpha }$そして、その定義から代入すると、面積B ₁とB ₂のヘロン平均が得られる。

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

したがって、代替式は次のようになる。

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

アレクサンドリアのヘロンはこの公式を導き出したことで知られており、それによって虚数単位、すなわちマイナス1の平方根に出会った。^{[ 2 ]}

特に：

• 円錐台の体積は次のとおりです。

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

ここで、r ₁とr ₂は底面と上面の半径です。

• 底面が正n角形である錐台の体積は次のとおりである。

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

ここで_、1と2は_底辺と上辺の長さを表す。

直円錐台の場合^{[ 3 ] [ 4 ]}斜高${\displaystyle s}$は

${\displaystyle \displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$

側面表面積は

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,}$

そして総表面積は

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),}$

ここで、r ₁とr ₂はそれぞれ底面と上面の半径である。