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ゼノンのパラドックスは、古代ギリシアの哲学者エレアのゼノン（紀元前490年頃～430年頃）が提示した一連の哲学的議論であり、 [ 1 ] [ 2 ]主にプラトン、アリストテレス、そしてキリキアのシンプリキオスなどの後世の注釈者の著作を通して知られています。[ 2 ]ゼノンは、人々の感覚的経験にもかかわらず、現実は単一で不変であると主張する師パルメニデスの一元論の哲学を支持するためにこれらのパラドックスを考案しました。これらのパラドックスは、多元性（多くのものの存在）、運動、空間、時間の概念が論理的矛盾につながることを示唆することで、これらの概念に異議を唱えることで有名です。
ゼノンの著作は、原本が失われているため主に伝聞によって知られているが、40の「多元性のパラドックス」から成り、これらは複数の存在を信じることの整合性に反論し、運動と変化に反論するいくつかの議論も含まれている。[ 2 ]これらのうち、今日では明確に知られているのはごくわずかで、その中には空間と時間における無限分割可能性という問題のある概念を示す有名な「アキレスのパラドックス」も含まれる。[ 1 ] [ 2 ]このパラドックスにおいて、ゼノンは、アキレスのような俊足のランナーは、より遅い動きをする亀を先行して追い抜くことはできないと主張する。なぜなら、両者の間の距離は無限に分割できるため、アキレスが亀に追いつくには無限の歩数が必要になるからである。[ 1 ] [ 2 ]
これらのパラドックスは、歴史を通じて哲学と数学の広範な議論を巻き起こしてきました。[ 1 ] [ 2 ]特に、無限の性質と空間と時間の連続性に関してです。当初、アリストテレスの解釈、つまり実際の無限ではなく潜在的な無限を示唆する解釈が広く受け入れられました。[ 1 ]しかし、微積分学の数学的枠組みを活用した現代の解決策は、異なる視点を提供し、無限と連続運動の複雑さに対するゼノンの重要な初期の洞察を強調しています。[ 1 ]形而上学の領域では、ゼノンがパラドックスを分析するために採用した「懐疑的方法」が、イマヌエル・カントが自身のアンチノミーの中で特定したパラドックスを解決しようとした方法にも影響を与えたことを示す証拠があります。[ 3 ]ゼノンのパラドックスは、現実、運動、無限の哲学的および数学的探求において重要な参照点であり続け、古代の思想と現代の科学的理解の両方に影響を与えています。[ 1 ] [ 2 ]
パラドックスの起源はやや不明瞭だが、一般的には、現実のすべては一つであり、変化は不可能である、つまり、場所やその他の点で何も変化しないというパルメニデスの一元論を支持するために発展したと考えられている。 [ 1 ] [ 2 ]ディオゲネス・ラエルティオスはファヴォリノスを引用して、ゼノンの師であるパルメニデスがアキレウスと亀のパラドックスを最初に紹介したと述べている。しかし、後の箇所でラエルティオスはパラドックスの起源をゼノンに帰し、ファヴォリノスはこれに反対していると説明している。[ 4 ]現代の学者はパラドックスをゼノンに帰している。[ 1 ] [ 2 ]
これらのパラドックスの多くは、感覚の証拠に反して、運動は単なる錯覚にすぎないと主張している。[ 1 ] [ 2 ]プラトンの『パルメニデス』（128a-d）では、ゼノンは、他の哲学者たちがパルメニデスの見解を考察するとパラドックスが生じると主張したため、これらのパラドックスを作成するプロジェクトを引き受けたとされている。ゼノンの議論は、背理法、または矛盾による証明と呼ばれる証明方法の初期の例である可能性がある。そのため、プラトンはゼノンに、パラドックスの目的は「存在が多数であるという仮説を適切に追求すれば、存在が1つであるという仮説よりもさらに不条理な結果につながることを示すことである」と言わせている。[ 5 ]プラトンは、ソクラテスに、ゼノンとパルメニデスは本質的に全く同じ点を議論していたと主張しさせている。[ 6 ]彼らはまた、ソクラテスが用いた弁証法の源泉としても認められている。[ 7 ]
ゼノンの現存する 9 つのパラドックス (アリストテレスの『自然学』[ 8 ] [ 9 ]およびシンプリキオスの注釈に保存されている) のいくつかは本質的に互いに同等である。アリストテレスはそれらのいくつかに回答を与えた。[ 8 ] 一般的な文献では、ゼノンの議論が誤って伝えられることが多い。たとえば、ゼノンは、無限個の項の和自体が無限でなければならないと主張したとよく言われる。その結果、移動時間だけでなく、移動距離も無限になる。[ 10 ] しかし、古代の原典には、ゼノンが無限和について議論している記述はない。シンプリキオスは、ゼノンが「有限の時間で無限個のものを横断することは不可能である」と言っているとしている。これは、ゼノンの問題を、和を求めることではなく、無限のステップを持つタスクを完了することに関する問題として提示しています。B に到達する前に必要となる無限の数の (瞬間的ではない) 事象を特定できる場合、どのようにして A から B に到達できるのでしょうか。また、「最後の事象」の開始にさえ到達できないのでしょうか。[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]
最も強力で有名な3つの例、すなわちアキレスと亀のたとえ、二分法論証、そして飛翔する矢のたとえについて、以下で詳しく説明する。
移動しているものは、ゴールに到達する前に必ず中間地点に到達しなければならない。
アタランタが道の終点まで歩きたいとしましょう。終点に着くには、まず半分まで行かなければなりません。半分まで行くには、4分の1まで行かなければなりません。4分の1まで行くには、8分の1まで行かなければなりません。8分の1まで行くには、16分の1まで行かなければなりません。以下同様です。
結果として得られるシーケンスは次のように表すことができます。
この説明では無限の数のタスクを完了する必要があるが、ゼノンはそれは不可能だと主張している。[ 15 ]
このシーケンスには、走る最初の距離が含まれていないという第二の問題もあります。なぜなら、可能な（有限の）最初の距離は半分に分割できるため、結局最初の距離にはならないからです。したがって、旅は開始することさえできません。逆説的な結論としては、有限の距離を移動すると、完了も開始もできないため、すべての運動は錯覚でなければならないということになります。[ 16 ]
この議論は、距離を繰り返し二つの部分に分割することを含むため、「二分法」と呼ばれています。本来の意味での例としては、漸近線が挙げられます。これは「競馬場のパラドックス」としても知られています。
レースでは、最も速いランナーが最も遅いランナーを追い越す
アキレスと亀のパラドックスでは、アキレスは亀と徒競走をしています。例えば、アキレスは亀に100メートルのハンデを与えます。両者が一定の速度で走り始め、一方が他方より速いとします。ある有限時間後、アキレスは100メートル走り、亀のスタート地点に到達します。この間に、亀ははるかに短い距離、例えば2メートル走っています。アキレスがその距離を走るにはさらに時間がかかりますが、その間に亀はさらに先に進みます。そして、3番目の地点に到達するまでにさらに時間がかかり、その間にも亀は先に進みます。したがって、アキレスが亀が通った場所に到着したとしても、亀に追いつくにはまだ距離が残っています。アリストテレスが指摘したように、この議論は二分法に似ています。[ 17 ]しかし、静止状態という明らかな結論は得られない。
等しい空間を占めるすべてのものがその瞬間に静止しているとすれば、運動しているものが常にそのような空間を占めているとすれば、飛んでいる矢はその瞬間と次の瞬間には静止しているが、両方の瞬間を同じ瞬間または連続した瞬間とみなせば、それは運動していることになる。[ 18 ]
矢のパラドックスにおいて、ゼノンは、運動が起こるためには、物体が占めている位置を変えなければならないと述べている。彼は飛んでいる矢を例に挙げている。彼は、任意の（無時間の）瞬間において、矢は今いる場所にも、今いない場所にも移動していないと述べている。[ 19 ] 矢が今いない場所に移動することはできない。なぜなら、そこへ移動するのに必要な時間が経過しないからである。矢が今いる場所に移動することはできない。なぜなら、矢はすでにそこにあるからである。言い換えれば、あらゆる瞬間において運動は起こっていない。あらゆる瞬間においてすべてが静止しており、時間が完全に瞬間から構成されているならば、運動は不可能である。
最初の2つのパラドックスは空間を分割するのに対し、このパラドックスは時間を分割することから始まる。しかも、セグメントではなく点に分割するのだ。[ 20 ]
アリストテレスは他にも３つの逆説を挙げている。
アリストテレスより：
ラウトレッジ哲学辞典からのパラドックスの説明：
議論の要点は、キビの粒が1粒落ちても音はしないが、1000粒落ちれば音が出るということだ。したがって、1000個の無が何かになる、という不条理な結論である。[ 22 ]
アリストテレスの回答：
ゼノンの推論は、粟には音を立てない部分はないという主張において誤りである。なぜなら、そのような部分がどんなに長い時間であっても、粟全体が落下する際に動かす空気量を動かすことができない理由はないからである。実際、その部分はそれ自体では、その部分が単独で存在する場合に動かすであろう量の空気さえ動かさない。なぜなら、どの部分も潜在的にしか存在しないからである。[ 23 ]
ニック・ハゲットによる説明：
これは、聴覚を信頼できないというパルメニデスの議論である。アリストテレスの反論は、聞こえない音でさえ聞こえる音に加わる可能性があるということのようだ。 [ 24 ]
アリストテレスより：
... concerning the two rows of bodies, each row being composed of an equal number of bodies of equal size, passing each other on a race-course as they proceed with equal velocity in opposite directions, the one row originally occupying the space between the goal and the middle point of the course and the other that between the middle point and the starting-post. This...involves the conclusion that half a given time is equal to double that time.[25]
An expanded account of Zeno's arguments, as presented by Aristotle, is given in Simplicius's commentary On Aristotle's Physics.[26][2][1]
According to Angie Hobbs of The University of Sheffield, this paradox is intended to be considered together with the paradox of Achilles and the Tortoise, problematizing the concept of discrete space & time where the other problematizes the concept of infinitely divisible space & time.[27]
According to Simplicius, Diogenes the Cynic said nothing upon hearing Zeno's arguments, but stood up and walked, in order to demonstrate the falsity of Zeno's conclusions.[26][2] To fully solve any of the paradoxes, however, one needs to show what is wrong with the argument, not just the conclusions. Throughout history several solutions have been proposed, among the earliest recorded being those of Aristotle and Archimedes.
アリストテレスは、距離が短くなるにつれて、その距離を移動するのに必要な時間も短くなるので、必要な時間もますます小さくなると指摘した。[ 28 ] アリストテレスはまた、「分割可能性に関して無限のもの」（空間的に同じまま、精神的にますます小さな単位に分割できる空間の単位など）と、広がりに関して無限のもの（または距離）（「その端に関して」）を区別した。[ 29 ] アリストテレスの矢のパラドックスに対する反論は、「他のいかなる量も分割不可能なものから構成されていないのと同様に、時間も分割不可能な現在から構成されていない」というものであった。[ 30 ]トマス・アクィナスはアリストテレスの反論についてコメントし、「瞬間は時間の一部ではない。なぜなら、すでに証明したように、大きさが点からできていないのと同様に、時間も瞬間からできていないからである。したがって、ある物がその時間のどの瞬間にも動いていないからといって、その物が特定の時間に動いていないということにはならない。」と書いた。[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]
カール・ベンジャミン・ボイヤーなどの数学者や歴史家の中には、ゼノンのパラドックスは単なる数学の問題であり、現代の微積分学が数学的な解決策を提供すると主張する者もいる。[ 34 ]無限過程は、19 世紀後半まで数学において理論的に厄介な問題であり続けた。極限の定義により、カール・ワイエルシュトラスとオーギュスタン＝ルイ・コーシーは、関連する論理と微積分学の厳密な定式化を開発した。これらの研究は、無限過程を含む数学を解決した。[ 35 ] [ 36 ]
しかし、ゼノンのパラドックスとその変形（トムソンのランプを参照）は依然として重要な形而上学的問題であると述べる哲学者もいる。[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]数学は、動くアキレスがゼノンのパラドックスの亀にいつどこで追いつくかを計算できるが、ケビン・ブラウン[ 11 ]やフランシス・ムーアクロフト[ 12 ]などの哲学者は、数学はゼノンの議論の中心点を扱っておらず、数学的な問題を解決してもパラドックスが提起するすべての問題が解決されるわけではないと主張している。ブラウンは「アリストテレス以来の『最終的な解決』の歴史を考えると、我々が終わりに達したと考えるのはおそらく無謀だろう。ゼノンの運動に関する議論は、その単純さと普遍性ゆえに、人々が（もしあれば）最も根本的な現象学的関心を投影できる一種の『ロールシャッハ・テスト』のような役割を果たすかもしれない」と結論付けている。 [ 11 ]
アンリ・ベルクソンが1896年の著書『物質と記憶』で提唱した別の結論は、経路は分割可能であるが、運動は分割不可能であるというものである。[ 37 ] [ 38 ]
2003年、ピーター・リンズは、ゼノンの運動のパラドックスはすべて、時間における瞬間と瞬間的な大きさは物理的に存在しないという結論によって解決されると主張した。[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]リンズは、相対運動している物体は瞬間的または決定された相対位置を持つことはできない（もし持つとしたら、運動しているとは言えないから）ので、パラドックスで想定されているように、その運動を分割して考えることはできないと主張している。ニック・ハゲットは、ゼノンが、静止しているときと同じ空間を占める物体は静止していなければならないと言うとき、その結論を前提としていると主張している。 [ 20 ]
ゲオルク・カントールの研究に基づき、[ 42 ]バートランド・ラッセルはパラドックスに対する解決策として「at-at運動理論」と呼ばれるものを提示した。この理論は、持続のない瞬間の「間」には運動はあり得ないことに同意しており、運動に必要なのは、ある時点では矢印が一点にあり、別の時点では別の点にあり、その間の時間ではその2点間の適切な点にあることだけだと主張している。この見方では、運動とは時間の経過に伴う位置の変化にすぎない。[ 43 ] [ 44 ]
もう一つの提案された解決策は、ゼノンがパラドックス（特に二分法）で使用した仮定の1つ、つまり空間（または時間）内の任意の2つの異なる点の間には必ず別の点が存在するという仮定に疑問を呈することである。この仮定がなければ、2点間の距離は有限個しか存在せず、したがって無限の動きのシーケンスは存在せず、パラドックスは解決される。ヘルマン・ワイルによれば、空間が有限で離散的な単位から構成されているという仮定は、「タイルの議論」または「距離関数の問題」によって与えられるさらなる問題に直面する。[ 45 ] [ 46 ]これによれば、離散化された空間における直角三角形の斜辺の長さは常に2辺の長さの合計に等しくなり、幾何学に矛盾する。ジャン・ポール・ヴァン・ベンデゲムは、タイルの議論は解決可能であり、したがって離散化によってパラドックスを取り除くことができると主張した。[ 34 ] [ 47 ]
1977年、[ 48 ]物理学者のECジョージ・スダルシャンとB・ミスラは、量子システムの動的進化（離散状態間の遷移）がシステムの測定によって抑制されることを発見した。 [ 49 ]この効果は、ゼノンの矢のパラドックスを強く想起させるため、通常は量子ゼノン効果と呼ばれている。この効果は1958年に初めて理論的に提唱された。[ 50 ]
時間制約のあるシステムやハイブリッドシステムの検証と設計の分野では、有限時間内に無限個の離散ステップが含まれる場合、システム動作はゼノと呼ばれます。 [ 51 ]一部の形式検証手法では、非ゼノ動作と等価でない場合、これらの動作を分析から除外します。[ 52 ] [ 53 ]システム設計では、これらの動作はデジタルコントローラで実装できないため、システムモデルからも除外されることがよくあります。[ 54 ]
戦国時代（紀元前475年～221年） とほぼ同時期に、論理学と弁証法に関心を寄せていた名学派の古代中国の哲学者たちは、ゼノンのパラドックスに似たパラドックスを発展させた。名学派の著作は、『公孫龍子』の一部を除いて、ほとんど失われている。恵士の十命題の第二は、無限小の知識を示唆している。「厚みのないものは積み重ねることができないが、その大きさは千里である」。荘子に記録されている恵士の多くの謎の中には、ゼノンの二分法に非常によく似たものがある。
「長さ1フィートの棒から毎日半分ずつ取っていけば、幾千年経っても尽きることはないだろう。」
墨家の規範は、測定された長さを移動する際に、その距離は長さの連続した部分ではなく、1つの段階で移動すると主張することで、このパラドックスに対する解決策を提示しているように見える。名前派の現存する作品が不足しているため、挙げられている他のパラドックスのほとんどは解釈が難しい。[ 56 ]
ルイス・キャロルが1895年に書いた「亀がアキレスに言ったこと」[ 57 ]は、純粋論理の領域における逆説的な無限後退の議論を描写している。アキレスと亀を登場人物として用いることで、ゼノンのアキレスのパラドックス[ 58 ]を明確に参照している。
{{cite web}}: CS1メンテナンス: アーカイブサービスは非推奨になりました (リンク)しかし、ゼノンの推論は誤りである。彼は、等しい空間を占めるすべてのものは静止しており、運動しているものは常にどの瞬間にもそのような空間を占めているならば、飛んでいる矢は静止していると述べている。これは誤りである。なぜなら、他のいかなる量も分割不可能なものから構成されていないのと同様に、時間も分割不可能な瞬間から構成されているわけではないからである。
パラドックスが連続変数の正確な数学用語でこのように述べられると、（…）一見矛盾しているように見える問題は解決される。