構造ダイナミクス

構造ダイナミクスは、動的（高加速度の動作）荷重を受ける構造物の挙動を扱う構造解析の一種です。動的荷重には、人、風、波、交通、地震、爆風などがあります。あらゆる構造物が動的荷重を受ける可能性があります。動的解析は、動的変位、時間履歴、およびモード解析を見つけるために使用できます。

構造解析は、主に、物理的構造物が力を受けたときの挙動を調べることに関係しています。この作用は、人、家具、風、雪などの物の重さによる荷重、または地震、近くで起きた爆発による地面の揺れなどの他の種類の励起の形で発生します。本質的には、構造物の自重を含め、これらすべての荷重は動的です。なぜなら、ある時点ではこれらの荷重は存在しなかったからです。動的解析と静的解析は、適用される作用が構造物の固有振動数と比較して十分な加速度を持つかどうかに基づいて区別されます。荷重が十分にゆっくりと適用される場合、慣性力 (ニュートンの運動の第 1 法則) は無視でき、解析は静的解析として簡略化できます。

静的荷重は、非常にゆっくりと変化する荷重です。動的荷重は、構造物の固有振動数と比較して、時間とともにかなり速く変化する荷重です。ゆっくりと変化する場合は、静的解析で構造物の応答を決定できますが、(構造物の応答能力と比較して) 急速に変化する場合は、動的解析で応答を決定する必要があります。

単純な構造の動的解析は手動で実行できますが、複雑な構造の場合は有限要素解析を使用してモード形状と周波数を計算できます。

動的荷重は、構造が荷重に素早く反応できない（たわむ）ため、同じ大きさの静的荷重よりも大幅に大きな影響を与える可能性があります。動的荷重の影響の増加は、動的増幅係数（DAF）または動的荷重係数（DLF）によって表されます。

${\displaystyle {\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max}}{u_{\text{static}}}}}$

ここで、u は加えられた荷重による構造物のたわみです。

標準的な荷重関数には、動的増幅係数と無次元立ち上がり時間( t _r / T ) のグラフがあります (立ち上がり時間の説明については、以下の時間履歴解析を参照してください)。したがって、特定の荷重に対する DAF はグラフから読み取ることができ、単純な構造の静的たわみは簡単に計算でき、動的たわみを見つけることができます。

完全な時間履歴は、荷重の適用中および適用後の構造物の応答を時間経過とともに示します。構造物の応答の完全な時間履歴を見つけるには、構造物の運動方程式を解く必要があります。

単純な 1自由度 システム(たとえば、 剛性kのバネ上の質量M ) には、次の運動方程式があります。

${\displaystyle M{\ddot {x}}+kx=F(t)}$

ここで、は加速度（変位の二重微分）、x は変位です。 ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

荷重F ( t ) がヘヴィサイドのステップ関数（一定荷重の突然の適用）である場合、運動方程式の解は次のようになります。

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]}$

ここで、 は基本固有振動数です。 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}}$${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$

単一自由度システムの静的たわみは次のとおりです。

${\displaystyle x_{\text{static}}={\frac {F_{0}}{k}}}$

上記の式を組み合わせると、次のように書くことができます。

${\displaystyle x=x_{\text{static}}[1-\cos(\omega t)]}$

これは、荷重F(t)による構造物の（理論的な）時間履歴を与えますが、減衰がないという誤った仮定が立てられています。

これは実際の構造物に適用するには単純すぎるものの、ヘヴィサイドのステップ関数は、家具を突然追加したり、新しく鋳造したコンクリートの床から支柱を取り外したりするなど、多くの実際の負荷を適用する場合の適切なモデルです。ただし、実際には、負荷が瞬時に適用されることはなく、一定期間にわたって蓄積されます (非常に短い場合もあります)。この時間を立ち上がり時間と呼びます。

構造の自由度の数が増加すると、時間履歴を手動で計算することが非常に困難になります。実際の構造は、非線形 有限要素解析ソフトウェアを使用して解析されます。

実際の構造物はエネルギーを消散します（主に摩擦によって）。これはDAFを変更することでモデル化できます。

${\displaystyle {\text{DAF}}=1+e^{-c\pi}}$

ここで、およびは、建設の種類に応じて通常 2～10% です。 ${\displaystyle c={\frac {\text{減衰係数}}{\text{臨界減衰係数}}}}$

• ボルト鋼 ~6%
• 鉄筋コンクリート ~5%
• 溶接鋼 ~2%
• レンガ造り ~10%

減衰を高める方法

減衰を高めるために広く使用されている方法の 1 つは、振動する構造に、減衰係数の高い材料 (ゴムなど) の層を取り付けることです。

モーダル解析では、特定のシステムの周波数モードまたは固有振動数が計算されますが、特定の入力に対するシステムの全時間履歴応答が計算されるとは限りません。システムの固有振動数は、構造の剛性と構造に関与する質量(自重を含む) のみに依存します。荷重関数には依存しません。

構造物のモード周波数を知っておくと、適用される周期的な荷重の周波数がモード周波数と一致して共振が発生し、大きな振動につながることがないようにすることができます。

方法は次のとおりです。

1. 固有モード（構造が採用する形状）と固有振動数を見つける
2. 各モードの応答を計算する
3. 各モードの応答を重ね合わせて、与えられた荷重に対する完全なモード応答を求めることもできます。

エネルギー法によって、システムのさまざまなモード形状の周波数を手動で計算することができます。複数の自由度を持つシステムの特定のモード形状に対して、単一の自由度を持つシステムの「同等の」質量、剛性、および適用された力を見つけることができます。単純な構造の場合、基本的なモード形状は検査によって見つけることができますが、これは保守的な方法ではありません。レイリーの原理は次のように述べています。

「エネルギー法で計算された任意の振動モードの周波数 ω は、常に基本周波数ω _n以上になります。」

質量 M、曲げ剛性 EI (ヤング率Eに断面2次モーメントIを乗じた値)、および印加力F ( x ) を持つ構造システムの想定モード形状の場合:${\displaystyle {\bar {u}}(x)}$

${\displaystyle {\text{等価質量、}}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du}$

${\displaystyle {\text{等価剛性、}}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx}$

${\displaystyle {\text{等価力、}}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx}$

その後、上記のようになります。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}}$

与えられた荷重F ( x , t ) に対する完全なモード応答は です。合計は、次の 3 つの一般的な方法のいずれかで実行できます。 ${\displaystyle v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)}$

• 各モードの完全な時間履歴を重ね合わせる（時間はかかるが正確）
• 各モードの最大振幅を重ね合わせる（迅速だが保守的）
• 二乗和の平方根を重ね合わせる（十分に離れた周波数に対しては良い推定値だが、近接した周波数に対しては安全ではない）

エネルギー法で計算した個々のモード応答を手動で重ね合わせるには、次の手順を実行します。

立ち上がり時間 t _{r が}既知であると仮定すると ( T = 2 π / ω )、標準グラフから DAF を読み取ることができます。静的変位は で計算できます。選択したモードと適用された力に対する動的変位は、次のように求められます。 ${\displaystyle u_{\text{static}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}}$

${\displaystyle u_{\max}=u_{\text{static}}{\text{DAF}}}$

実際のシステムでは、強制機能に関与する質量（地震時の地盤の質量など）と慣性効果に関与する質量（構造物自体の質量、M _eq ）がしばしば存在します。モード関与係数 Γ は、これら 2 つの質量の比較です。単一自由度システムの場合、Γ = 1 です。

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}}$

• マギル大学構造力学・振動研究所
• モードパラメータからの周波数応答関数
• 構造ダイナミクスチュートリアルと Matlab スクリプト
• AIAA 構造ダイナミクスの探究 (http://www.exploringstructuraldynamics.org/ ) – 航空宇宙工学における構造ダイナミクス: インタラクティブなデモ、ビデオ、および実務エンジニアとのインタビュー