質量-ばね-ダンパーモデル

質量-ばね-ダンパーモデルは、物体全体に分布する離散的な質量ノードと、ばねとダンパーのネットワークを介して相互接続された構造から構成される。

この形式のモデルは、非線形性や粘弾性など、複雑な材料挙動を示す物体をモデル化するのに非常に適しています。

これらのシステムは、工学シミュレーションだけでなく、コンピュータグラフィックスやコンピュータアニメーションにも応用されています。^{[ 1 ]}

導出

このモデルの運動方程式を導出するには、通常、質量にかかる力（外部から加えられる力を含む）を合計します。 $F_{\text{external}})$ :

\Sigma F=-kx-c{\dot {x}}+F_{\text{external}}=m{\ddot {x}}

この方程式を整理すると、標準形が得られます。

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=u

どこ

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}};\quad \zeta ={\frac {c}{2m\omega _{n}}};\quad u={\frac {F_{\text{external}}}{m}}

$\displaystyle \omega _{n}}$ は減衰のない固有振動数であり、 $\zeta$ は減衰比である。質量ばね系の同次方程式は次のようになる。

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0

ここに解決策があります。

x=Ae^{-\omega _{n}t\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}+Be^{-\omega _{n}t\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}

もし $\displaystyle \zeta <1}$ それから $\displaystyle \zeta ^{2}-1}$ 負の値であるため、平方根は虚数となり、したがって解には振動成分が含まれる。^{[ 2 ]}