弾性振り子

物理学と数学の力学系の分野において、弾性振り子^{[1] [2]}（バネ振り子^{[3] [4]}または揺れるバネとも呼ばれる）は、質量体がバネに接続され、その結果生じる運動に単純振り子と1次元バネ質量系の両方の要素が含まれる物理系である。^{[2]特定のエネルギー値に対して、この系は}カオス的挙動の特徴をすべて示し、初期条件に敏感である。^[2]非常に低いエネルギーと非常に高いエネルギーでは、規則的な運動も見られる。^[5]弾性振り子の運動は、一連の結合した常微分方程式によって支配される。この挙動は、エネルギー状態とシステムダイナミクスの複雑な相互作用を示唆している。

このシステムは単純な振り子よりもはるかに複雑で、バネの特性によってシステムに自由度の次元が追加されます。たとえば、バネが圧縮されると、半径が短くなるため、角運動量保存則によりバネの動きが速くなります。また、バネの範囲が振り子の動きに追いつかず、振り子の動きに対して実質的に中立になる可能性もあります。

バネは静止長 を持ち、長さ だけ伸ばすことができます。振り子の振動角度は です。 ${\displaystyle l_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta}$

ラグランジアンは 次のようになります。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=TV}$

ここでは運動エネルギー、 は位置エネルギーです。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$

フックの法則は、バネ自体の位置エネルギーです。

${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

バネ定数は どこですか。${\displaystyle k}$

一方、 重力による位置エネルギーは、質量の高さによって決まります。与えられた角度と変位に対して、位置エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta }$

重力加速度はどこにあるか。 ${\displaystyle g}$

運動エネルギーは次のように表されます。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

ここで、 は質量の速度です。他の変数と関連して、速度はバネに沿った動きとバネに垂直な動きの組み合わせとして表されます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})}$

したがってラグランジアンは次のようになる: ^[1]

${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$

${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta }$

自由度が2 の場合、およびについては、2 つのオイラー-ラグランジュ方程式を使用して運動方程式を求めることができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0}$

${\displaystyle {\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0}$

理由：^[1]${\displaystyle x}$

${\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta}}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}$

${\displaystyle {\ddot {x}}}$孤立:

${\displaystyle {\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }$

そして：^[1]${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$孤立:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}}$

これらは、長さと時間をスケーリングすることでさらに簡略化できます。システムを と で表すと、無次元の運動方程式が得られます。残りの 1 つの無次元パラメータがシステムの特徴を決定します。 ${\displaystyle S={\frac {x}{l_{0}}}}$${\displaystyle T=t{\sqrt {\frac {g}{l_{0}}}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {kl_{0}}{mg}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}S}{\mathrm {d} T^{2}}}=\left(S+1\right)\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} T}}\right)^{2}-\Omega ^{2}S+\cos \theta }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} T^{2}}}=-{\frac {\sin \theta }{S+1}}-{\frac {2}{1+S}}\left({\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} T}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} T}}\right)}$

弾性振り子は、2つの結合した常微分方程式で記述されます。これらは数値的に解くことができます。さらに、解析的手法を使用して、パラメータと初期条件のさまざまな値に対して、このシステムにおける秩序-カオス-秩序^[7]という興味深い現象を研究することができます。 ${\displaystyle \Omega ^{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \theta }$

• 二重振り子
• ダフィング発振器
• 振り子（数学）
• バネマスシステム

• Holovatsky V.、Holovatska Y. (2019)「弾性振り子の振動」(インタラクティブアニメーション)、Wolfram Demonstrations Project、2019 年 2 月 19 日発行。
• ホロヴァツキー V.、ホロヴァツキー I.、ホロヴァツカ ヤ、ストラク ヤ。共鳴弾性振り子の振動。物理学と教育テクノロジー、2023、1、10–17、https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physics/article/ビュー/1093