通常モード

動的システムの通常モードは、システムのすべての部分が同じ周波数で固定された位相関係で正弦波状に動く運動パターンです。通常モードによって記述される自由運動は、固定された周波数で発生します。システムの通常モードのこれらの固定された周波数は、その固有周波数または共振周波数として知られています。建物、橋、分子などの物理的オブジェクトには、その構造、材料、境界条件によって決まる一連の通常モードとその固有周波数があります。

線形システムの最も一般的な動きは、その通常モードの重ね合わせです。モードが通常であるというのは、独立して動くことができるという意味です。つまり、1 つのモードの励起が別のモードの動きを引き起こすことはありません。数学的には、通常モードは互いに 直交しています。

物理学と工学の波動理論では、動的システム内のモードは励起の定在波状態であり、システムのすべてのコンポーネントは、そのモードに関連付けられた固定周波数で正弦波的に影響を受けます。

実際のシステムは定在波の枠組みに完全に適合することはできないため、モードの概念は特定の振動状態の一般的な特性として採用され、動的システムを線形形式で扱い、状態の線形重ね合わせを実行できるようになります。

典型的な例としては次のようなものがあります。

• 機械力学システムでは、振動するロープはモードの最も明確な例であり、ロープが媒体、ロープにかかる応力が励起、静的状態に対するロープの変位がモード変数です。
• 音響力学システムでは、単一の音高がモードであり、空気が媒体、空気中の音圧が励起、空気分子の変位がモード変数となります。
• 構造力学システムでは、最も曲げの強い軸の下で振動する高層ビルはモードであり、そのモードでは、適切な数値的簡略化の下で、ビルのすべての材料が媒体となり、地震/風/環境の要請が励起となり、変位がモード変数となります。
• 電気力学システムでは、粒子加速器用の中空空間を囲む薄い金属壁で作られた共鳴空洞は純粋な定在波システムであり、したがって、空洞の中空空間が媒体であり、RF ソース (クライストロンまたは別の RF ソース) が励起であり、電磁場がモード変数であるモードの例です。
• 音楽に関しては、振動する楽器（弦楽器、気管、太鼓など）の通常のモードは「倍音」と呼ばれます。

通常モードの概念は、光学、量子力学、大気力学、分子動力学などの他の力学システムにも応用されています。

ほとんどの動的システムは、複数のモードで励起することができ、同時に励起されることもあります。各モードは、モード変数フィールドに応じて、1 つまたは複数の周波数^{[疑わしい–議論]}によって特徴付けられます。たとえば、2D 空間で振動するロープは、単一の周波数 (1D 軸変位) によって定義されますが、3D 空間で振動するロープは、2 つの周波数 (2D 軸変位) によって定義されます。

モード変数の特定の振幅に対して、各モードは正弦波励起のために特定の量のエネルギーを蓄えます。

複数のモードを持つシステムの通常モードまたは支配モードは、モード変数の特定の振幅に対して最小量のエネルギーを蓄積するモードになります。または、同様に、特定の蓄積されたエネルギー量に対して、支配モードはモード変数の最大振幅を課すモードになります。

振動モードは、モード周波数とモード形状によって特徴付けられます。振動の半波の数に応じて番号が付けられます。たとえば、両端が固定された振動梁が正弦波の半分のモード形状 (振動梁に 1 つのピーク) を示した場合、モード 1 で振動していることになります。完全な正弦波 (1 つのピークと 1 つの谷) を示した場合、モード 2 で振動していることになります。

図のディスクのような 2 次元以上のシステムでは、各次元にモード番号が与えられます。極座標を使用すると、ラジアル座標と角度座標が得られます。ラジアル座標に沿って中心から外側に向かって測定すると、全波が発生するため、ラジアル方向のモード番号は 2 になります。他の方向は、角度方向のディスクの振動の反対称 (スキュー対称とも呼ばれる) 特性により、ディスクの半分のみが考慮されるため、より複雑になります。したがって、角度方向に沿って 180° を測定すると半波が発生するため、角度方向のモード番号は 1 になります。したがって、システムのモード番号は、どの座標が「最初の」座標と見なされ、どの座標が「2 番目の」座標と見なされるかによって、2–1 または 1–2 になります (したがって、どのモード番号が各座標方向に一致するかを常に示すことが重要です)。

線形システムでは、各モードは他のすべてのモードから完全に独立しています。一般に、すべてのモードは異なる周波数 (低いモードはより低い周波数) と異なるモード形状を持ちます。

1 次元システムでは、特定のモードでの振動に節、つまり変位が常にゼロになる場所が存在します。これらの節は、モード形状がゼロになるモード形状の点に対応します。システムの振動は、モード形状に時間関数を乗じて得られるため、節点の変位は常にゼロのままです。

2 次元システムに拡張すると、これらのノードは変位が常にゼロになる線になります。上のアニメーションを見ると、2 つの円 (1 つは端と中心のほぼ中間、もう 1 つは端自体) と、変位がゼロに近いディスクを二等分する直線が見えます。理想的なシステムでは、右に示すように、これらの線は正確にゼロになります。

音響、分子スペクトル、電気回路で重要な、平衡からの小さな変位を持つ保存系の解析では、系を標準座標と呼ばれる新しい座標に変換することができます。 各標準座標は系の単一の振動周波数に対応し、系の対応する運動は振動の標準モードと呼ばれます。^{[1] ：332}

質量が mで、バネ定数が kである 3 つのバネが取り付けられた2 つの等しい物体 (重力の影響を受けない) を考えます。これらは次のように取り付けられ、物理的に対称なシステムを形成します。

ここで、端点は固定されており、移動できません。x ₁ ( t ) は左側の質量の水平方向の変位を表し、x ₂ ( t )は右側の質量の変位を表します。

加速度（時間に関するx ( t )の2次微分）を と表すと、運動方程式は次のようになります。 ${\textstyle {\ddot {x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}}$$

通常モードの振動運動（ωは両方の質量で同じ）を期待しているので、次のようにします。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

これらを運動方程式に代入すると次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}}$$

指数係数を省略し（すべての項に共通するため）、簡略化すると次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}}$$

行列表現では次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$$

左側の行列が可逆である場合、唯一の解は自明解( A ₁、A ₂ ) = ( x ₁、x ₂ ) = (0、0)です。 自明でない解は、左側の行列が特異である、つまり可逆ではないωの値に対して見つかります。 したがって、行列の行列式は 0 に等しくなければならないため、次のようになります。

$${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$$

ωを解くと、2つの正の解は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

ω _{1 を}行列に代入し、 ( A ₁ , A ₂ )を解くと、(1, 1)が得られます。 ω _{2 を}代入すると、 (1, −1)が得られます。 （これらのベクトルは固有ベクトルであり、周波数は固有値です。）

最初の通常モードは次のとおりです。 $${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$$

これは、両方の質量が同時に同じ方向に移動することに相当します。このモードは反対称と呼ばれます。

2 番目の通常モードは次のとおりです。

$${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$$

これは、質量の中心が静止したまま、質量が反対方向に移動することに相当します。このモードは対称と呼ばれます。

一般解は、問題の 初期条件によって決定されるc ₁、c ₂、φ ₁、およびφ ₂の通常モードの重ね合わせです。

ここで示したプロセスは、ラグランジアン力学またはハミルトン力学の形式論を使用して一般化および定式化できます。

定在波は、通常モードの連続形式です。定在波では、すべての空間要素（つまり、（x、y、z）座標）が同じ周波数と位相で振動していますが（同時に平衡点に到達します）、それぞれ振幅が異なります。

定在波の一般的な形は次のとおりです。

$${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$$

ここで、f ( x、y、z ) は振幅の位置への依存性を表し、余弦/正弦は時間の振動を表します。

物理的には、定在波は波とその反射の干渉（重ね合わせ）によって形成されます（ただし、反対に、移動する波は定在波の重ね合わせであると言うこともできます）。媒体の幾何学的形状によって干渉パターンが決まり、それによって定在波のf ( x , y , z )形式が決まります。この空間依存性は、通常モードと呼ばれます。

通常、 ( x、y、z )に連続的に依存する問題の場合、単一または有限数の通常モードは存在せず、無限の数の通常モードが存在します。問題が有界である場合 (つまり、有限の空間セクションで定義されている場合)、数えられる数の通常モードが存在します (通常、n = 1、2、3、...と番号が付けられます)。問題が有界でない場合は、通常モードの連続スペクトルが存在します。

いかなる温度の固体でも、一次粒子（原子や分子など）は静止しておらず、平均位置の周りで振動しています。絶縁体では、固体が熱エネルギーを蓄える能力は、ほぼ完全にこれらの振動によるものです。固体の多くの物理的特性（弾性率など）は、粒子が振動する周波数がわかれば予測できます。最も単純な仮定（アインシュタインによる）は、すべての粒子が同じ固有周波数νで平均位置の周りを振動するというものです。これは、すべての原子が周波数νで独立に振動するという仮定と同じです。アインシュタインは、これらの振動の許容エネルギー状態は高調波、つまりhνの整数倍であるとも仮定しました。波形のスペクトルは、正弦波密度変動（または熱フォノン）のフーリエ級数を使用して数学的に記述できます。

その後、デバイは各振動子が常に隣接する振動子と密接に結合していることを認識しました。したがって、アインシュタインの同一の非結合振動子を同数の結合振動子に置き換えることで、デバイは 1 次元固体の弾性振動を、張られた弦の数学的に特殊な振動モードの数と相関させました (図を参照)。最も低いピッチまたは周波数の純音は基本音と呼ばれ、その周波数の倍数は倍音と呼ばれます。彼は振動子の 1 つに固体ブロック全体の基本振動の周波数を割り当てました。残りの振動子には、その基本周波数の倍音の周波数を割り当てましたが、これらすべての周波数のうち最も高い周波数は、最小の基本単位の運動によって制限されます。

結晶の通常の振動モードは、一般的に、それぞれ適切な振幅と位相を持つ多数の倍音の重ね合わせです。より長い波長 (低周波) のフォノンは、まさに音響理論で考慮される音響振動です。縦波と横波の両方が固体を伝搬できますが、一般的に、流体では縦波のみがサポートされます。

縦モードでは、粒子の平衡位置からの変位は、波の伝播方向と一致します。機械的な縦波は、圧縮波とも呼ばれます。横モードでは、個々の粒子は波の伝播に対して垂直に移動します。

量子論によれば、特性周波数νを持つ結晶固体の通常振動モードの平均エネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle E(\nu )={\frac {1}{2}}h\nu +{\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}$$

項(1/2) hν は「ゼロ点エネルギー」、つまり振動子が絶対零度で持つエネルギーを表す。E ( ν ) は高温では 古典的な値kTに近づく。

$${\displaystyle E(\nu )=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {h\nu }{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$$

熱力学の式を知ることで、

$${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$$

通常モードあたりのエントロピーは次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\nu \right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(\nu \right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(\nu \right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)\end{aligned}}}$$

自由エネルギーは:

$${\displaystyle F(\nu )=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\right)}$$

これは、kT ≫ hνの場合、次のようになる傾向があります。

$${\displaystyle F(\nu )=kT\log \left({\frac {h\nu }{kT}}\right)}$$

内部エネルギーと比熱を計算するには、νとν + dνの間の周波数における通常の振動モードの数を知る必要があります。この数をf ( ν ) dνとします。通常の振動モードの総数は3 Nなので、関数f ( ν ) は次のように表されます。

$${\displaystyle \int f(\nu )\,d\nu =3N}$$

積分は結晶のすべての周波数にわたって実行されます。すると、内部エネルギーU は次のように表されます。

$${\displaystyle U=\int f(\nu )E(\nu )\,d\nu }$$

量子力学における束縛状態はモードに類似している。量子システムにおける波は、物質の変位ではなく、確率振幅の振動である。振動周波数fは、 E = hf （ hはプランク定数）によってモードエネルギーと関連している。したがって、原子のようなシステムは、一定のエネルギーのモードの線形結合で構成される。これらのエネルギーは、特定の原子に特有のものである。空間内の一点における確率振幅の（複素）二乗は、その場所で電子を測定する確率を与える。この確率の空間分布は、原子に特有のものである。^{[2] : I49–S5}

通常モードは、地球上で大地震による長波長の地震波が干渉して定在波を形成することで生成されます。

弾性、等方性、均質な球の場合、回転楕円体モード、トロイダルモード、ラジアルモード（またはブリージングモード）が発生します。回転楕円体モードは、P波とSV波（レイリー波など）のみを伴い、倍音数nと角度次数lに依存しますが、方位角次数mの縮退があります。lが増加すると、基本分岐が表面により近く集中し、 lが大きいとレイリー波になりやすくなります。トロイダルモードは、SH波（ラブ波など）のみを伴い、流体の外核には存在しません。ラジアルモードは、 l = 0の回転楕円体モードのサブセットにすぎません。縮退は地球上には存在しません。これは、回転、楕円性、3Dの不均一な速度と密度構造によって解消されるためです。

各モードは分離できると仮定できる場合（自己結合近似）、または周波数が近い多くのモードが共振する場合（相互結合近似）があります。自己結合は位相速度のみを変更し、大円の周りの波の数は変更しないため、定在波パターンが引き伸ばされたり縮んだりします。モード相互結合は、地球の自転、非球面弾性構造、または地球の楕円率によって発生し、基本的な回転楕円体モードとトロイダルモードの混合につながります。

• 反共鳴
• 臨界速度
• 調和振動子
• ハーモニックシリーズ（音楽）
• 赤外線分光法
• リーキーモード
• 機械的共鳴
• モーダル解析
• モード（電磁気）
• 準正規モード
• シュトゥルム・リウヴィル理論
• ねじり振動
• 円形膜の振動

• ブレビンズ、ロバート D. (2001)。固有振動数とモード形状の公式(再版)。マラバー、フロリダ: クリーガー出版。ISBN 978-1575241845。
• Tzou, HS; Bergman, LA, 編 (2008).分散システムのダイナミクスと制御. ケンブリッジ [イギリス]:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521033749。
• シアラー、ピーター M. (2009)。地震学入門（第 2 版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。pp. 231–237。ISBN 9780521882101。

• ハーバード大学の通常モードに関する講義ノート