時間依存ベクトル場

数学において、時間依存ベクトル場はベクトル解析における構成要素であり、ベクトル場の概念を一般化したものです。これは、時間の経過とともに変化するベクトル場と考えることができます。あらゆる瞬間において、ユークリッド空間または多様体上のあらゆる点にベクトルを対応付けます。

多様体M上の時間依存ベクトル場は、開集合からの写像である。${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} \times M}$の上${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X:\Omega \subset \mathbb {R} \times M&\longrightarrow TM\\(t,x)&\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M\end{aligned}}}$

すべての${\displaystyle (t,x)\in \Omega }$、${\displaystyle X_{t}(x)}$は${\displaystyle T_{x}M}$。

すべての$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$その集合は

${\displaystyle \Omega _{t}=\{x\in M\mid (t,x)\in \Omega \}\subset M}$

空でない、${\displaystyle X_{t}}$は、開集合上で定義された通常の意味でのベクトル場である。${\displaystyle \Omega _{t}\subset M}$。

多様体M上の時間依存ベクトル場Xに対して、次の微分方程式を関連付けることができます。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(t,x)}$

これは定義上、非自律的と呼ばれる。

上記の方程式の積分曲線（Xの積分曲線とも呼ばれる）は、

${\displaystyle \alpha :I\subset \mathbb {R} \longrightarrow M}$

そのため${\displaystyle \forall t_{0}\in I}$、${\displaystyle (t_{0},\alpha (t_{0}))}$Xの定義域の要素であり、

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{0}}=X(t_{0},\alpha (t_{0}))}$。

時間依存ベクトル場${\displaystyle X}$の上${\displaystyle M}$ベクトル場として考えることができる$\displaystyle {\tilde {X}}}$の上${\displaystyle \mathbb {R} \times M,}$どこ${\displaystyle {\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}$依存しない${\displaystyle t.}$

逆に、時間依存ベクトル場に関連付けられている${\displaystyle X}$の上${\displaystyle M}$時間に左右されない$\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \mathbb {R} \times M\ni (t,p)\mapsto {\dfrac {\partial }{\partial t}}{\Biggl |}_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}$

の上$\displaystyle \mathbb {R} \times M.}$座標では、

$\displaystyle {\tilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).}$

自律微分方程式のシステム$\displaystyle {\tilde {X}}}$非自律的なものと同等である${\displaystyle X,}$そして${\displaystyle x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})}$は、積分曲線の集合間の全単射である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle {\tilde {X}},}$それぞれ。

時間依存ベクトル場Xの流れは、一意の微分可能な写像である。

${\displaystyle F:D(X)\subset \mathbb {R} \times \Omega \longrightarrow M}$

すべての$\displaystyle (t_{0},x)\in \Omega }$、

${\displaystyle t\longrightarrow F(t,t_{0},x)}$

積分曲線は${\displaystyle \alpha }$Xのうち、${\displaystyle \alpha (t_{0})=x}$。

XとYを滑らかな時間依存ベクトル場とし、${\displaystyle F}$Xの流れ。以下の恒等式が証明できる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}Y_{t}\right)\right)_{p}}$

また、同様の方法で時間依存テンソル場を定義し、以下の仮定の下で同様の恒等式を証明することができます。${\displaystyle \eta }$は滑らかな時間依存テンソル場です。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta _{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left({\mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}\eta _{t_{1}}+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}\eta _{t}\right)\right)_{p}}$

この最後の恒等式は、ダルブーの定理を証明するのに役立ちます。

• Lee, John M., 『滑らかな多様体入門』、Springer-Verlag、ニューヨーク (2003) ISBN 0-387-95495-3滑らかな多様体に関する大学院レベルの教科書。