線積分畳み込み

科学的視覚化において、線積分畳み込み（LIC ）は、ベクトル場（流体運動など）を高い空間解像度で視覚化する手法である。 ^[1] LIC手法は、1993年にブライアン・カブラルとリース・ケイシー・リードムによって初めて提案された。^[2]

LICでは、一様グリッド上のベクトル場のフィールドライン（曲線）に沿って離散数値線積分が実行される。積分演算は、フィルタカーネルと入力テクスチャ（多くの場合ホワイトノイズ）の畳み込みである。^[1]信号処理では、このプロセスは離散畳み込みとして知られている。^[3]

ベクトル場の従来の視覚化では、ベクトルの方向と大きさを表すために小さな矢印や線が使われます。この方法は空間解像度が低いため、表示可能なデータの密度が制限され、データの特徴がわかりにくくなる恐れがあります。^{[1] [3]}流線や粒子追跡技術などのより洗練された方法は、より明らかにすることができますが、適切なシードポイントに大きく依存します。^[1] LICなどのテクスチャベースの方法は、ベクトル場全体を点のような（ピクセル）解像度で描写するため、これらの問題を回避できます。^[1]

入力ベクトル場の磁力線を計算する他の積分ベースの手法と比較して、LIC には、磁力線の開始点と終了点を特定のベクトル場に合わせる必要がなく、ベクトル場の構造的特徴がすべて表示されるという利点があります。言い換えれば、LIC はベクトル場のトポロジーを表示します。^[要出典]

ユーザーテストでは、LICは重要なポイントを特定するのに特に優れていることがわかった。^[4]

LICは、出力値を磁力線に沿って強く相関させますが、直交方向では相関しません。^[1]その結果、磁力線は互いに対照的になり、背景から視覚的に際立ちます。

このプロセスは、次の例で直感的に理解できます。ベクトル フィールドの流れは、暗い色と明るい色のペイントの固定されたランダムなパターンを重ねることで視覚化できます。流れがペイントを通過すると、流体はペイントの色の一部を拾い、すでに獲得した色と平均化します。その結果、ランダムに縞模様になった、にじんだテクスチャが生成され、同じ流線に沿ったポイントは同様の色になる傾向があります。その他の物理的な例は次のとおりです。

• 川面に浮かぶ絵の具、油、泡の渦巻き模様
• ランダムに分布した鉄粉を用いた磁力線の可視化
• 強風によって細かい砂が吹き飛ばされる^[5]

入力ベクトル場と結果画像は離散化されていますが、連続的な観点から見ると意味があります。^{[1] を}何らかの領域 で与えられたベクトル場とします。入力ベクトル場は通常は離散化されていますが、場はのすべての点で定義されていると見なします。つまり、補間 を仮定します。流線、またはより一般的には場の線は、各点でベクトル場と接します。流線は、 の境界か、 の臨界点で終わります。簡単にするために、以下では臨界点と境界は無視します。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$

円弧の長さによってパラメータ化されたフィールドラインは、次のように定義されます。 が、 の点を通過するフィールドラインであるとします。すると、 における画像のグレー値は次のように設定されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\sigma }}(s)}{ds}}={\frac {\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))}{|\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))|}}.}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle D(\mathbf {r} )=\int _{-L/2}^{L/2}k(s)N({\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s))ds}$

ここで、は畳み込みカーネル、はノイズ画像、は追跡されるフィールド線分の長さです。 ${\displaystyle k(s)}$${\displaystyle N(\mathbf {r} )}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle D(\mathbf {r} )}$LIC画像の各ピクセルについて計算する必要があります。単純に実行すると、これは非常にコストがかかります。まず、ルンゲ・クッタ法のような常微分方程式を解く数値法を使用して磁力線を計算し、次に各ピクセルについて磁力線セグメントに沿った畳み込みを計算する必要があります。

最終的な画像は通常、何らかの方法で色付けされます。通常、 のスカラー フィールド(ベクトルの長さなど) を使用して色相が決定され、グレースケールの LIC 出力によって明るさが決定されます。 ${\displaystyle \Omega }$

畳み込みカーネルとランダムノイズの選択によって、異なるテクスチャが生成されます。たとえば、ピンクノイズは、天気の視覚化に適した、流れの速い領域がにじんで目立つ曇り模様を生成します。畳み込みをさらに改良することで、画像の品質を向上させることができます。^[6]

LIC はアルゴリズム的に、ベクトル フィールドとノイズ テクスチャを入力として受け取り、テクスチャを出力します。プロセスは、ベクトル フィールドのドメインで、目的の出力解像度でランダムなグレー レベル画像を生成することから始まります。次に、この画像のすべてのピクセルについて、固定された円弧長の前方および後方のストリームラインが計算されます。現在のピクセルに割り当てられる値は、このストリームラインのセグメント上にあるすべてのノイズ ピクセルのグレー レベルと適切な畳み込みカーネルの畳み込みによって計算されます。これにより、グレー レベルの LIC 画像が作成されます。

基本的な LIC 画像は、色やアニメーションのないグレースケール画像です。このような LIC 画像は、フィールド ベクトルの方向を伝えますが、方向は示しません。静止フィールドの場合は、アニメーションによってこれを改善できます。基本的な LIC 画像では、ベクトルの長さ (またはフィールドの強度) は表示されません。

ベクトルの長さ（または場の強さ）は通常、色でコード化されますが、アニメーションを使用することもできます。^{[2] [1]}

LIC 画像は、時間とともに変化するカーネルを使用してアニメーション化できます。ストリームラインからの一定時間のサンプルは引き続き使用されますが、静的カーネルを使用してストリームライン内のすべてのピクセルを平均化する代わりに、ウィンドウとして機能するHann 関数を乗算した周期関数から構築されたリップルのようなカーネルが使用されます (アーティファクトを防ぐため)。次に、周期関数を周期に沿ってシフトしてアニメーションを作成します。

すでに計算されたフィールドラインの一部を再利用し、畳み込みカーネルとしてボックス関数に特化し、畳み込み中の冗長な計算を回避することで、計算を大幅に高速化できます。^[1]結果として得られる高速LIC法は、任意の多項式である畳み込みカーネルに一般化できます。^[7]${\displaystyle k(s)}$

LICは流れの方向をエンコードしないため、方向が同じだが向きが反対の流線を区別することができません。^[8]有向線積分畳み込み法（OLIC）は、ランプ状の非対称カーネルと低密度ノイズテクスチャを使用してこの問題を解決します。^[8]カーネルは流線に沿って強度を非対称に変調し、方向をエンコードするトレースを生成します。ノイズテクスチャの低密度により、にじんだトレースが重なり合うのを防ぎ、読みやすさを向上させます。

FROLIC（Fast Rendering of Oriented Line Integral Convolution）は、連続したスミアではなく離散的なステップで各トレースをレンダリングすることでOLICを近似するバリエーションです。^{[8] [9]}

時間依存ベクトル場（非定常流）については、流れアニメーションの一貫性を維持する非定常流LICと呼ばれる変種が設計されている。^[10] UFLICのインタラクティブなGPUベースの実装が発表されている。^[11]

LIC画像の計算は高価であるが本質的に並列であるため、プロセスは並列化されており^[12]、GPUベースの実装が利用可能になったことで、PC上でインタラクティブになりました。

領域は2D領域である必要はないことに注意する。この方法は、多次元ノイズフィールドを使用して高次元領域に適用できる。しかし、高次元LICテクスチャの視覚化には問題がある。1つの方法は、手動で配置および回転する2Dスライスを使用してインタラクティブな探索を使用することである。領域は平坦である必要はなく、LICテクスチャは3D空間内の任意の形状の2D表面に対しても計算できる。^[13]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

この手法は、1993 年に初めて公開されて以来、次のような科学的および創造的な幅広い問題に適用されてきました。

ベクトル場の表現:

• 定常（時間に依存しない）流れ（流線）の可視化^[14]
• 2次元自律動的システムの視覚的探査^[15]
• 風のマッピング^[16]
• 水流マッピング

画像生成とスタイル設定のための芸術的効果:

• 鉛筆画^[17]（LIC鉛筆フィルタを用いた自動鉛筆画生成技術^[18]）
• 髪のテクスチャの自動生成^[19]
• マーブル模様を作る^[20]

地形の一般化:

• 一般的な陰影図の作成^[21]

• Raymond McGuire による GPU ベースの画像処理ツール
• ParaView : 線積分畳み込み
• LIC と RK4 に基づく 2D フロー可視化ツール。C++ と VTK を使用して開発。Andres Bejarano 著
• Wolfram Research (2008)、LineIntegralConvolutionPlot、Wolfram Language 関数、https://reference.wolfram.com/language/ref/LineIntegralConvolutionPlot.html (2014 年更新)。

• 加重算術平均

ウィキメディア・コモンズには、線積分畳み込みに関連するメディアがあります。

Wikibooks には、フラクタル/数学/LICに関する本があります。