丁寧な数字

数論では、丁寧な数とは、連続する2つ以上の正の整数の和として表される正の整数である。丁寧でない正の整数は、無作為な数と呼ばれる。^{[1] [2]}無作為な数はまさに2の累乗であり、丁寧な数は2の累乗ではない自然数である。

ポライト数は階段数とも呼ばれる。これは、ポライト数を連続する整数に分割する様子をグラフィカルに表すヤング図（これらの図を描くフランス語表記法）が階段に似ているためである。^{[3] [4] [5]}合計に含まれるすべての数が厳密に 1 より大きい場合、そのようにして形成された数は台形数とも呼ばれ、台形に配置された点のパターンを表すためである。^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]}

数を連続する整数の和として表現し、このタイプの表現の数を数える問題は、シルベスター^[13] 、メイソン^{[14] 、 [15]} 、レベック^[16]、および他の多くの最近の著者によって研究されてきました。^{[1] [2] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}ポライト数は、ラインハルト多角形の辺の可能な数を表します。^[24]

最初の丁寧な数字は

3、5、6、7、9、10、11、12、13、14、15、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、...（OEIS の配列A138591 ）。

非礼儀数はちょうど2の累乗である。^[13]ランベック・モーザー定理から、n番目の礼儀数はf ( n  + 1) であることが分かる。ここで

${\displaystyle f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log _{2}n\right)\right\rfloor .}$

正の数の丁寧さは、連続する整数の和として表現できる方法の数として定義されます。すべてのxについて、 xの丁寧さは、1より大きいxの奇数の 約数の数に等しいです。 ^[13] 1、2、3、...の数の丁寧さは

0、0、1、0、1、1、1、0、2、1、1、1、1、1、3、0、1、2、1、1、3、...（OEISの配列A069283）。

例えば、9の丁寧さは2です。なぜなら、9には3と9という2つの奇数の約数があり、丁寧な表現が2つあるからです。

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

15の礼儀正しさは3である。なぜなら、15には3、5、15という3つの奇数の約数があり、（クリベッジのプレイヤーにはおなじみの）^[25] 3つの礼儀正しい表現が あるからである。

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8。

正の数の礼儀度を計算する簡単な方法は、数をその素因数に分解し、2 より大きいすべての素因数の累乗を取り、それらすべてに 1 を加え、こうして得られた数を互いに掛け合わせて 1 を引くことです。たとえば、90 の礼儀度は 5 です。3 の累乗は 2 で、5 の累乗は 1 なので、この方法を適用します。 ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5^{1}}$${\displaystyle (2+1)\times (1+1)-1=5}$

奇数の約数と丁寧な表現の関係を確認するために、数x の奇数の約数がy  > 1 であると仮定します。この場合、x / yを中心とするy個の連続する整数 (平均値がx / yとなる)の合計は xになります。

${\displaystyle x=\sum _{i={\frac {x}{y}}-{\frac {y-1}{2}}}^{{\frac {x}{y}}+{\frac {y-1}{2}}}i.}$

この合計の項の一部は 0 または負の場合があります。ただし、項が 0 の場合は省略でき、負の項は正の項を打ち消すために使用でき、xの丁寧な表現につながります。( y > 1という要件は 、丁寧な表現が複数の項を持つという要件に対応しています。同じ構成をy = 1 に適用すると、単純な 1 項表現x  =  x になります。) たとえば、丁寧な数x  = 14 には、7 という単一の非自明な奇数の約数があります。したがって、これは 14/7 = 2 を中心とする 7 つの連続する数の和です。

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3)。

最初の項−1は後の+1を打ち消し、2番目の項ゼロは省略できるため、丁寧な表現となる。

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5。

逆に、この構成からxのすべての丁寧な表現を形成できます。表現の項数が奇数の場合、x / y は中間の項になります。一方、項数が偶数で最小値がmの場合は、2 m  − 1 の数 −( m  − 1)、−( m  − 2)、...、−1、0、1、...、m  − 2、m − 1を含めることで、同じ合計と奇数の項を持つより長いシーケンスに一意に拡張できます。 この拡張の後、再びx / y が中間の項になります。この構成により、数の丁寧な表現と 1 より大きいその奇数の約数を1 対 1 対応に配置することができ、丁寧な数と丁寧さの特徴付けの全単射の証明が得られます。 ^{[13] [26]}より一般的には、同じ考え方により、連続する整数の和（ゼロ、負の数、単項表現を許容）としての表現と、奇数の約数（1を含む）との間に2対1の対応が与えられる。^[15]

この結果の別の一般化は、任意のnについて、 nをk 個の異なる値を持つ奇数に分割する数は、連続する数のk個の最大ランを持つ異なる数に分割する数に等しいと述べています。 ^{[13] [27] [28]} ここで、ランとは、次に大きい連続値と次に小さい連続値がパーティションの一部にならないような 1 つ以上の連続値です。たとえば、パーティション 10 = 1 + 4 + 5 には、1 と 4 + 5 の 2 つのランがあります。丁寧な表現には 1 つのランがあり、1 つの値dを持つパーティションは、積d ⋅ ( n / d )としてのnの因数分解と同等であるため、この結果の特別なケースk = 1 は、丁寧な表現と奇因数 (この場合は自明な表現n  =  nと自明な奇因数 1 を含む) 間の同値性を再び示しています。

丁寧な表現が1から始まる場合、そのように表現される数は三角数である。

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=1+2+\cdots +n.}$

それ以外の場合は、連続しない2つの三角数の差である。

${\displaystyle i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j>i\geq 2).}$

この2番目のケースは台形数と呼ばれます。^[12] 台形ではない丁寧な数も考えられます。そのような数は、1つの非自明な奇数約数のみを持つ三角数だけです。なぜなら、これらの数の場合、前述の全単射によれば、奇数約数は三角表現に対応し、他の丁寧な表現はあり得ないからです。したがって、台形ではない丁寧な数は、2の累乗に奇数の素数を掛けた形をとらなければなりません。ジョーンズとロードが指摘しているように、^[12]この形を持つ三角数は正確に2種類あります。

1. メルセンヌ素数2 ⁿ −  1 と最も近い2の累乗の半分との積によって形成される偶数完全数2 ^{n  − 1} (2 ⁿ  − 1) 、および
2. フェルマー素数2 ⁿ  + 1 と最も近い 2 の累乗の半分の積 2 ^{n  − 1} (2 ⁿ  + 1) 。

（ OEISのシーケンスA068195）。たとえば、完全数 28 = 2 ^{3 − 1} (2 ³  − 1) と数 136 = 2 ^{4 − 1} (2 ⁴  + 1) は、どちらもこのタイプのポライト数です。メルセンヌ素数は無限に存在すると推測されており、その場合、このタイプのポライト数も無限に存在することになります。

• Polite Numbers、NRICH、ケンブリッジ大学、2002 年 12 月
• Runsums、R. Knott の紹介。
• 台形数の集合にはパターンがあるのでしょうか? Intellectualism.org の 2003 年 10 月 2 日の今日の質問。展開された項の数によって色分けされた台形数を示す図付き。