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論理学および形式意味論において、「論理学」という用語は、伝統的論理学、三段論法、またはアリストテレス論理学とも呼ばれ、アリストテレスに始まり、古代史において主に彼の弟子である逍遥学派によってさらに発展した形式論理学へのアプローチを指す大まかな名称である。それは、西暦3世紀以降、ポルフィリオスの『イサゴーゲー』によって復活した。
項論理は中世に復活し、最初は10世紀にアルファラビウスによってイスラム論理学で、その後12世紀にキリスト教ヨーロッパで新論理学の出現とともに復活し、19世紀後半に述語論理学が登場するまで支配的な地位を保ちました。
しかし、より新しい論理体系に取って代わられたとしても、項論理は依然として論理学の研究において重要な役割を果たしている。現代の論理学は、項論理を根本的に断ち切るのではなく、むしろそれを拡張する傾向にある。
アリストテレスの論理学の著作は、総称して『オルガノン』と呼ばれる6つのテキストにまとめられています。これらのテキストのうち特に、『分析論前書』と『解釈論』の2つには、アリストテレスの判断と形式的推論に関する考察の中核が含まれており、アリストテレスの著作の中で主に用語論理を扱っているのはこの部分です。アリストテレスの論理学に関する現代の研究は、1951年にヤン・ルカシェヴィチが革命的なパラダイムを確立したことから始まった伝統に基づいています。 [ 1 ]ルカシェヴィチのアプローチは、1970年代初頭にジョン・コーコランとティモシー・スマイリーによって再び活力を得ており、これは1989年のロビン・スミスと2009年のギゼラ・ストライカーによる『分析論前書』の現代訳に影響を与えています。[ 2 ]
『前分析論』は、論理学を論証の研究として理解する最初の正式な論理学研究を表しています。論証とは、真偽の結論につながる一連の真偽の命題です。[ 3 ] 『前分析論』の中で、アリストテレスは三段論法と呼ばれる有効な論証と無効な論証の形式を特定しています。三段論法とは、少なくとも2つの前提と1つの結論という、少なくとも3つの文からなる論証です。アリストテレスはこれらを「定言命題」とは呼んでいませんが、伝統的にはそう呼ばれています。彼は『分析論』の中でこれらを簡潔に扱い、 『解釈論』の中でより詳しく扱っています。[ 4 ]三段論法の各命題（宣言文で表現できる種類の思考である命題）[ 5 ]は、動詞で結び付けられた主語と述語を持つ定言命題です。アリストテレスが『解釈論』で用いているように、定言命題の主語と述語を結びつける一般的な方法は、連結動詞（例：PはSである）を用いることである。しかし、『分析論前書』において、アリストテレスは通常の形式を否定し、彼独自の3つの形式を採用している。
アリストテレスはなぜこのような革新的な表現を導入したのか説明していませんが、学者たちは、その理由は、連結動詞とともに文字を使用するとギリシャ語で生じる曖昧さを避けるために、用語の代わりに文字を使用することが容易になるためではないかと推測しています。[ 6 ]アリストテレスは三段論法の命題を定式化する際に、コピュラ（「すべて／いくつか…は…である／そうでない」）の代わりに、「…はすべて／いくつか…に属する／属さない」または「…はすべて／いくつか…について言われている／言われていない」という表現を使用しています。[ 7 ]カテゴリー文には、全称肯定文（A）、全称否定文（E）、特定肯定文（I）、特定否定文（O）の4つの異なるタイプがあります。
中世に起源を持ち、用いられた象徴化の手法は、『分析論前書』の研究を大いに簡略化する。この伝統に倣い、以下を述べよう。
カテゴリー文は、以下のように省略することができます。
現代論理学の観点からすると、このように表現できる文の種類はごくわずかである。[ 8 ]
この理論の根底にある基本的な前提は、命題の形式モデルは項と呼ばれる2つの論理記号から構成されている（そのため「二項理論」または「項論理」と呼ばれる）こと、そして推論プロセスは命題から構築されるということである。
命題は普遍命題にも個別命題にもなり得るし、肯定命題にも否定命題にもなり得る。伝統的に、命題には次の4種類がある。
これは命題の四重構造と呼ばれた（伝統的な四角形のA、I、E、Oの文字の説明については、三段論法の種類を参照）。しかし、アリストテレスの本来の対立の四角形は、存在論的な意味合いを欠いているわけではない。
各前提と結論に用いられる命題の種類が組み合わさって、三段論法の「ムード」が決定されます。例えば、大前提、小前提、結論がすべて普遍肯定文（つまりA型）である場合、その三段論法はAAA型のムードを持ちます。
命題の基本構成要素は、語句（ギリシャ語：ὅρος horos ）である。horos （およびラテン語：terminus）の本来の意味は「極限」または「境界」である。この2つの語句は命題の外側に位置し、肯定または否定の行為によって結び付けられる。
アルノー（彼の『ポール・ロワイヤル論理学』は当時最も有名な文献であった）のような近世初期の論理学者にとって、それは「観念」や「概念」のような心理的な実体である。ジョン・スチュアート・ミルはそれを言葉とみなした。「すべてのギリシャ人は人間である」と主張することは、ギリシャ人という概念が人間という概念であるとか、「ギリシャ人」という言葉が「人間」という言葉であると言うことではない。命題は現実の事物や観念から構築できるものではないが、単なる無意味な言葉でもない。
「大項」とは三段論法の結論の述語であり、「小項」とは三段論法の結論の主語である。
アリストテレスにとって、単数と普遍の区別は、単なる文法上の区別ではなく、根本的な形而上学上の区別である。アリストテレスにとって単数形は第一実体であり、それはそれ自身にしか述語できない。「この」カリアスや「この」ソクラテスは他の何物にも述語できないので、すべてのソクラテスとは言わず、すべての人間と言うのである（『内在論』 7、『形而上学』 D9、1018a4）。それは「こちらへ来る人はカリアスである」という文のように、文法的な述語として用いられることもある。しかし、それは依然として論理的な主語である。
彼は普遍的（katholou）[ 9 ]二次的実体、属を、一次的実体、個別的（kath' hekaston）[ 9 ] [ 10 ]標本と対比している。普遍の形式的性質は、「常に、または大部分において」一般化できる限りにおいて、科学的研究と形式論理の両方の主題である。[ 11 ]
論理学において、「命題」とは単に言語の一形式、つまり主語と述語が組み合わさって何かが真か偽かを主張する特定の種類の文のことである。それは思考でもなければ、抽象的な実体でもない。 「propositio」という言葉はラテン語に由来し、三段論法の第一前提を意味する。アリストテレスは前提（ protasis ）という言葉を、何かが肯定または否定される文として用いている（『分析論後』 1. 1 24a 16）。したがって、前提もまた言葉の一形式である。
しかし、現代の哲学的論理学と同様に、それは文によって主張されるものを意味します。フレーゲやラッセル以前の著述家、例えばブラッドリーなどは、「判断」を文とは別のものとして語ることもありましたが、これは厳密には同じではありません。さらに混乱を招くことに、「文」という言葉はラテン語に由来し、「意見」または「判断」を意味するため、「命題」と同義です。
命題の論理的性質は、それが肯定命題（述語が主語について肯定されている）か否定命題（述語が主語について否定されている）かによって決まる。したがって、「すべての哲学者は死ぬ」は肯定命題である。なぜなら、哲学者の死すべき運命は普遍的に肯定されているからである。一方、「どの哲学者も死すべき運命ではない」は、哲学者の死すべき運命を個別に否定しているため、否定命題である。
命題の量は、それが普遍命題（述語がすべての主語または「全体」について肯定または否定される）か、特定命題（述語が特定の主語またはその「一部」について肯定または否定される）かによって決まる。存在の意味合いが想定される場合、否定されない限り、量化は少なくとも1つの主語の存在を意味する。
三段論法は、2つの前提から導き出される結論から構成されます。三段論法の本質的な特徴は、2つの前提に含まれる3つの項のうち、1つが必ず2回出現することです。これは「中間項」と呼ばれ、結論には現れません。中間項と大項（つまり、結論の述語）を含む前提を「大前提」と呼びます。中間項と小項（つまり、結論の主語）を含む前提を「小前提」と呼びます。例えば、次のようになります。
アリストテレスは、各前提における中項の役割に応じて、三段論法を第1、第2、第3の3種類に分類した。[ 12 ]中項が一方の前提の主語であり、他方の前提の述語である場合、前提は第1の形態となる。中項が両方の前提の述語である場合、前提は第2の形態となる。中項が両方の前提の主語である場合、前提は第3の形態となる。[ 13 ]中項が大前提の述語であり、小前提の主語である第4の形態は、アリストテレスの弟子テオフラストスによって追加されたものであり、アリストテレスの著作には登場しないが、アリストテレスが第4の形態の三段論法を知っていたという証拠がある。[ 14 ]
象徴的に言えば、アリストテレスの三つの図は次のように表すことができます。[ 15 ]
アリストテレスは『分析論前書』の中で、最初の図について次のように述べている。「…もしAがすべてのBについて述語として与えられ、BがすべてのCについて述語として与えられるならば、AがすべてのCについて述語として与えられることは必然である。」[ 16 ]
と=はすべてに述語として与えられ、すべてのに述語として与えられ、中世で使われた記号的方法を用いると、最初の図は次のように簡略化されます。[ 17 ]
あるいは、同じことを言うとすれば：
4つの三段論法命題a、e、i、oを最初の図に配置すると、アリストテレスは最初の図に対して以下の有効な演繹形式を導き出します。
中世では、記憶の助けとなる理由（各命題を表すために使用された母音のパターンに基づく）から、それぞれ「Barbara」、「Celarent」、「Darii」、「Ferio」と呼ばれていました。[ 18 ]
最初の図と他の2つの図との違いは、最初の図の三段論法は「完全」（つまり、追加の手順や前提なしに明らかに妥当）であるのに対し、2番目と3番目の図の三段論法はそうではないという点である。これは、最初の図が公理的であるのに対し、2番目と3番目の図は証明を必要とするため、アリストテレスの三段論法の理論において重要である。2番目と3番目の図の証明は常に最初の図に戻る。[ 19 ]
アリストテレスは第二の図について次のように述べている。「…もしMがすべてのNに属するがXには属さないならば、NもどのXにも属さない。なぜなら、もしMがどのXにも属さないならば、XもどのMにも属さないからである。しかしMはすべてのNに属していたので、XはどのNにも属さない（第一の図が再び現れるからである）。」[ 20 ]
上記の記述は、中世で用いられた記号的方法を用いることで簡略化できる。
4つの三段論法命題a、e、i、oを第2図に配置すると、アリストテレスは第2図に対して以下の有効な演繹形式を導き出す。
中世には、記憶の便宜上、それぞれ「カメストレス」、「チェーザレ」、「フェスティーノ」、「バロコ」と呼ばれていた。[ 21 ]
アリストテレスは第三の位格について次のように述べている。「…もしある項が同じもののすべてに属し、別の項が同じものの何にも属さない場合、あるいは両方が同じもののすべてに属するか、あるいは何にも属さない場合、私はそのような位格を第三の位格と呼ぶ。」普遍項に関して、「…PとRの両方がすべてのSに属する場合、必然的にPは何らかのRに属することになる。」[ 22 ]
簡略化：
4つの三段論法命題a、e、i、oを第3図に配置すると、アリストテレスはさらに4つの有効な演繹形式を展開する。
中世では、記憶の便宜上、これら4つの形式はそれぞれ「Disamis」、「Datisi」、「Bocardo」、「Ferison」と呼ばれていました。[ 18 ]
以下の表において、「条件付き」妥当性を持つ三段論法とは、その妥当性が存在含意に依存するもの（すなわち、小項または中項の少なくとも１つのインスタンスが実際に存在する場合にのみ妥当となるもの）を指します。無条件に妥当な三段論法は、存在含意に依存しません。すべての妥当な三段論法は、少なくとも１つの普遍前提（すなわち、A型またはE型の命題）を含まなければなりませんが、特定の前提（すなわち、I型またはO型の命題）を含まなくても構いません。
項論理は、ルネサンス期にヨーロッパで衰退し始め、ロドルフス・アグリコラ・フリシウス（1444-1485）やラムス（1515-1572）といった論理学者が場所論理を推進し始めた。ポート・ロワイヤル論理、あるいは「伝統的論理」と呼ばれる論理学の伝統は、命題を項ではなく観念の組み合わせとみなしたが、それ以外は項論理の多くの慣習に従った。この伝統は、特にイギリスで19世紀まで影響力を持ち続けた。ライプニッツは独自の論理計算体系を構築したが、彼の論理学に関する著作のほとんどは、 1900年頃にルイ・クチュラがライプニッツの遺稿を精査し、論理学における先駆的な研究を発表するまで、未発表のまま注目されることもなかった。
19世紀に行われた論理の代数化の試み、例えばブール（1815～1864年）やヴェン（1834～1923年）の研究などは、典型的には項論理の伝統に強く影響を受けた体系を生み出した。最初の述語論理は、フレーゲの画期的な『概念論』 （1879年）に示されたもので、その独特な記法もあって、1950年以前にはほとんど読まれなかった。現代の述語論理は、1880年代にチャールズ・サンダース・パースの著作から始まり、彼はペアノ（1858～1932年）やエルンスト・シュレーダー（1841～1902年）に影響を与えた。そして、バートランド・ラッセルとA・N・ホワイトヘッドの手によって完成され、彼らの『プリンキピア・マテマティカ』（1910～1913年）はペアノの述語論理の変形版を利用した。
用語論理は、伝統的なローマ・カトリック教育、特に神学校において、ある程度存続した。中世カトリック神学、特にトマス・アクィナスの著作は、アリストテレス的な色彩を強く帯びており、そのため用語論理はカトリック神学の推論の一部となった。例えば、カトリック神学校で使用するために書かれたジョイスの『論理学原理』 （1908年、第3版1949年）には、フレーゲやバートランド・ラッセルについての言及はない。[ 23 ]
一部の哲学者は、述語論理について次のように不満を述べている。
ギャレス・エヴァンスのような、完全に主流派に属する学術哲学者でさえ、次のように述べている。
ジョージ・ブールがアリストテレスの論理学を揺るぎなく受け入れていたことは、論理学史家のジョン・コーコランが『思考の法則』への分かりやすい入門書の中で強調している[ 24 ]。コーコランはまた、 『分析論前書』と『思考の法則』を逐一比較した著作も書いている[ 25 ] 。コーコランによれば、ブールはアリストテレスの論理学を完全に受け入れ、支持していた。ブールの目標は、アリストテレスの論理学を「下へ、上へ、そして超越する」ことであった。
より具体的に言うと、ブールはアリストテレスの主張に同意していました。ブールの「相違点」と呼べるものがあるとすれば、それはアリストテレスが述べていない点に関するものです。第一に、基礎の領域において、ブールはアリストテレスの論理学の4つの命題形式を方程式の形式に還元しました。これはそれ自体が革新的なアイデアでした。第二に、論理学の問題の領域において、ブールが論理学に方程式解法を加えたこと（これもまた革新的なアイデアでした）は、アリストテレスの推論規則（「完全三段論法」）に方程式解法の規則を補足する必要があるというブールの教義に基づいています。第三に、応用の領域において、ブールの体系は複数の項からなる命題や議論を扱うことができましたが、アリストテレスは2つの項からなる主語と述語の命題や議論しか扱うことができませんでした。例えば、アリストテレスの体系では、「正方形である四角形は、菱形である四角形ではない」から、「長方形である菱形である四角形は、正方形である四角形ではない」という結論を導き出すことはできなかった。
アリストテレスの三段論法の基礎には、特定の種類の議論の理論がある。それは、共通の項を1つ持つ2つの定言命題を前提とする議論である。