トレース（線形代数）

線型代数学において、正方行列Aの跡はtr( A ) ^[1]と表記され、その主対角要素の和である。これは正方行列 ( n × n ) に対してのみ定義される。 ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$

数理物理学では、tr( A ) = 0 の場合、行列はトレースレスであると言われます。この誤った名称は、パウリ行列の定義のように広く使用されています。

行列のトレースは、その固有値の合計です(重複度を数えます)。また、同じサイズの任意の行列AとBに対して、 tr( AB ) = tr( BA )です。したがって、類似の行列は同じトレースを持ちます。結果として、有限次元ベクトル空間をそれ自体にマッピングする線形演算子のトレースを定義できます。これは、基底に関してそのような演算子を記述するすべての行列が類似しているためです。

トレースは行列式の導関数と関連しています（ヤコビの公式を参照）。

n × n正方行列Aのトレースは次のように定義されます^{[1] [2] [3] : 34} ここで、a _{ii は}Aのi 行目とi 列目の要素を表します。 Aの要素は実数、複素数、またはより一般的には体Fの要素です。トレースは正方行列以外の行列には定義されません。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}$$

Aを行列とし 、$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}$$

それから $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1}$$

トレースは線形写像である。つまり、^{[1] [2]} すべての正方行列AとB、およびすべてのスカラーcに対して^[3]である^。34$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}}$$

行列とその転置行列は同じトレースを持つ: ^{[1] [2] [3] : 34} $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).}$$

これは、正方行列の転置が主対角線に沿った要素に影響を与えないという事実から直ちに分かります。

2 つの行列の積である正方行列のトレースはその要素の要素ごとの積の合計、つまりそのアダマール積のすべての要素の合計として書き直すことができます。直接的に言えば、 AとB が2 つのm × n行列 である場合、次のようになります。$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}$$

任意の実数m × n行列を長さmnのベクトルと見なすと（ベクトル化と呼ばれる操作）、 AとBに対する上記の操作は、標準的なドット積と一致する。上記の式によると、tr( A ^⊤ A )は平方和であるため非負であり、Aがゼロの場合にのみゼロに等しい。^{[4] : 7}さらに、上記の式で述べたように、tr( A ^⊤ B ) = tr( B ^⊤ A )である。これらは、内積に必要な正定値性と対称性を示しています。tr ( A ^⊤ B )をAとBのフロベニウス内積と呼ぶのが一般的です。これは、固定次元のすべての実数行列のベクトル空間上の自然な内積です。この内積から導かれるノルムはフロベニウスノルムと呼ばれ、コーシー・シュワルツの不等式で証明できるように、乗法性を満たします。A とBが同じサイズの半正定値実行列である 場合。フロベニウスの内積とノルムは、行列計算と統計学で頻繁に登場します。 $${\displaystyle 0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,}$$

フロベニウスの内積は、B をその複素共役に置き換えることによって、固定サイズのすべての複素行列の複素ベクトル空間上のエルミート内積に拡張できます。

フロベニウスの内積の対称性は、次のようにもっと直接的に表現できる。積のトレースの行列を入れ替えても結果は変わらない。AとBがそれぞれm × nとn × mの実数または複素数行列である場合、 [ 1 ^{] [2] [3] : 34  [注1]}

これは、 AB がBAに等しくないことと、どちらのトレースもtr( A )tr( B )に等しくないことの両方において注目に値します。^{[注 2]}トレースの相似不変性、つまり、同じ次元の任意の正方行列Aおよび任意の可逆行列Pに対してtr( A ) = tr( P ⁻¹ AP )となることは、基本的な帰結です。これは次のように証明されます。相似不変性は、 以下のように線形変換 のトレースを議論するためのトレースの重要な特性です。 $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).}$$

さらに、実列ベクトルおよびに対して、外積のトレースは内積と同等です。 ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$

より一般的には、トレースは円シフトに対して不変であり、つまり、

これは巡回特性として知られています。

任意の順列は許可されません。一般的に、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).}$$

ただし、3 つの 対称行列の積を考慮すると、次の理由から任意の順列が許可されます。 ここで、最初の等式は、行列のトレースとその転置が等しいためです。これは一般に 3 つ以上の因子に対しては当てはまらないことに注意してください。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),}$$

2 つの行列のクロネッカー積のトレースはそのトレースの積です。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).}$$

次の3つの性質は、 次の意味でスカラー倍数までの トレースを特徴付ける:がを満たす正方行列の空間上の線型関数である場合、およびは比例する。^{[注 3]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(xy)=f(yx),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {tr} }$

行列の場合、正規化を適用するとトレースに等しく なります。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle f(\mathbf {I} )=n}$${\displaystyle f}$

任意のn × n行列Aが与えられたとき、

ここで、λ ₁ , ..., λ _{n は}重複度を数えたAの固有値です。これは、 Aが実数行列で、固有値の一部 (またはすべて) が複素数であっても当てはまります。これは、上で説明したトレースの相似不変性とともに、 ジョルダン標準形の存在の結果と見なすことができます。

AとB の両方がn × n行列の場合、 AとBの(環論的)交換子のトレースは消えます: tr([ A , B ]) = 0、なぜならtr( AB ) = tr( BA )であり、tr は線形だからです。スカラーの交換子は自明であるため (アーベル リー代数であるため)、これを「トレースは、演算子からスカラーへのリー代数gl _n → kのマップである」と述べることができます。特に、相似不変性を使用すると、単位行列はどの行列のペアの交換子とも決して相似にならないことがわかります。

逆に、トレースがゼロの正方行列は、行列のペアの交換子の線形結合です。^{[注 4]}さらに、トレースがゼロの正方行列は、対角線がすべてゼロの正方行列と ユニタリに等価です。

行列のトレースは、特性多項式の定義の慣例に従って、 特性多項式の係数であり、符号が変更される場合もあります。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t^{n-1}}$

Aが実数または複素数の正方行列で表される線型演算子であり、λ ₁ , ..., λ _{n が}Aの固有値（代数的重複度に従ってリストされている）である場合、

これは、 A が常にそのジョルダン形式、つまり主対角線上にλ ₁ , ..., λ _{n を}持つ上三角行列に類似しているという事実から導かれます。対照的に、Aの行列式はその固有値の積です。つまり、 $${\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.}$$

このセクションの内容はすべて、代数的に閉じた体内の係数を持つ任意の正方行列にも適用されます。

ΔAが小さな要素を持つ正方行列で、Iが単位行列を表す場合、およそ

$${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).}$$

正確には、トレースは単位行列における行列式関数の微分であることを意味します。ヤコビの公式

$${\displaystyle d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}}$$

はより一般的であり、任意の正方行列における行列式の微分を、行列の トレースと共役に関して記述します。

このことから（またはトレースと固有値の関係から）、トレース関数、行列指数関数、および行列式の関係を導き出すことができます。$${\displaystyle \det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).}$$

トレースの関連する特徴付けは、線形ベクトル場にも適用されます。行列Aが与えられたとき、 R ⁿ上のベクトル場F をF ( x ) = Axで定義します。このベクトル場の成分は線形関数です ( Aの行で与えられます)。その発散div F は定数関数で、その値はtr( A )に等しくなります。

発散定理により、これを流れの観点から解釈することができます。F ( x ) が位置xにおける流体の速度を表し、U がR ⁿ内の領域である場合、Uからの流体の正味の流れはtr( A ) · vol( U )で与えられます。ここで、vol( U )はUの体積です。

トレースは線形演算子なので、導関数と交換可能です。 $${\displaystyle d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).}$$

一般に、ある線型写像f  : V → V（ここでVは有限次元 ベクトル空間）が与えられた場合、 fの行列表現のトレースを考慮することによって、つまりVの基底を選択し、この基底に対する行列としてf を記述し、この正方行列のトレースをとることによって、この写像のトレースを定義することができます。異なる基底は同様の行列を生じさせるため、結果は選択した基底に依存せず、線型写像のトレースを基底に依存しない方法で定義できる可能性があります。

このような定義は、V上の線型写像の空間End( V )とV ⊗ V * の間の標準同型を使って与えることができる。ここでV *はVの双対空間である。 vをV内に、g をV *内におく。すると、分解不可能な元v ⊗ gのトレースはg ( v )と定義される。一般の元のトレースは線型性によって定義される。すると、線型写像f  : V → Vのトレースは、上記の標準同型の下でfに対応するV ⊗ V *の元の、上記の意味でのトレースとして定義できる。 Vの明示的な基底と、対応するV *の双対基底を使うと、これが上記と同じトレースの定義を与えることを示すことができる。

この痕跡は「ハッチンソンのトリック」によって偏りなく推定できる。^[5]

任意の行列 と、 となる任意の乱数が与えられると、 が成り立ちます。(証明: 期待値を直接展開します。)${\displaystyle W\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle E[uu^{T}]=I}$${\displaystyle E[u^{T}Wu]=tr(W)}$

通常、ランダムベクトルは(正規分布) または(ラデマッハ分布) からサンプリングされます。 ${\displaystyle N(0,I)}$${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$

より洗練されたトレースの確率的推定器が開発されている。^[6]

2 x 2 実行列のトレースがゼロの場合、その平方は対角行列です。

2 × 2複素行列のトレースは、メビウス変換を分類するために使用されます。まず、行列は正規化されて、行列式が 1 になります。次に、トレースの平方が 4 の場合、対応する変換は放物型です。平方が区間[0,4)内にある場合、それは楕円型です。最後に、平方が 4 より大きい場合、変換は斜航型です。メビウス変換の分類を参照してください。

トレースは、群表現の指標を定義するために使用されます。群Gの 2 つの表現A、B  : G → GL ( V )は、すべてのg ∈ Gに対してtr( A ( g )) = tr( B ( g ))が成立する場合 ( Vの基底の変更を除いて)同値です。

トレースは二次形式の分布においても中心的な役割を果たします。

トレースとは、 n次元空間 (の要素を持つn × n行列)上の線型作用素のリー代数からスカラーのリー代数Kへのリー代数の写像です。K はアーベル型 (リー括弧が消える) なので、これがリー代数の写像であるという事実は、括弧のトレースが消えるという主張とまったく同じです。 ${\displaystyle \operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.}$$

この写像の核、つまりトレースがゼロの行列は、しばしば次のように言われる。痕跡なしまたはトレースフリーであり、これらの行列は単純リー代数 。これは特殊線型行列群のリー代数。特殊線型群は体積が変化しない行列で構成されますが、特殊線型リー代数無限小の体積を変えない行列です。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$

実際、演算子/行列は、トレースレス演算子/行列とスカラー演算子/行列に内部的に直接和分解されます。スカラー演算子への射影マップは、トレースの観点から、具体的には次のように表現できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$$${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .}$$

正式には、トレース (余単位マップ) を「スカラーの包含」の単位マップと合成して、スカラーにマッピングするマップを取得し、nを掛けます。 nで割ると、これが投影になり、上記の式が得られます。 ${\displaystyle K\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}}$

短完全列に関して、 は リー群の (ここで) に類似しています 。しかし、トレースは自然に分割されるため (スカラーの倍数を介して) となりますが、行列式の分割はn乗根のスカラーの倍数となり、これは一般に関数を定義しないため、行列式は分割されず、一般線型群は分解されません。 $${\displaystyle 0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0}$$$${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1}$$${\displaystyle K^{*}=K\setminus \{0\}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K}$$${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.}$$

双線形形式（X 、 Yは正方行列） はキリング形式 と呼ばれ、リー代数の分類に使用されます。 $${\displaystyle B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} }$$

トレースは双線形形式を定義します。 $${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).}$$

この形式は対称的、非退化的^{[注 5]}であり、次の意味で結合的である: $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).}$$

_{複雑な単純リー代数（ n}など）の場合、そのような双線形形式はすべて互いに比例します。特に、キリング形式^{[引用が必要]}に比例します。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

2つの行列XとYがトレース直交であるとは、 $${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.}$$

リー代数 の一般表現への一般化があり、 はリー代数の準同型である。上のトレース形式は上記のように定義されます。双線型形式は 対称であり、巡回性により不変です。 ${\displaystyle (\rho ,{\mathfrak {g}},V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V).}$${\displaystyle {\text{tr}}_{V}}$${\displaystyle {\text{End}}(V)}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))}$$

行列のトレースの概念はヒルベルト空間上のコンパクト作用素のトレースのクラスに一般化され、フロベニウスノルムの類似物はヒルベルト・シュミットノルムと呼ばれます。

Kがトレースクラス演算子である場合、任意の正規直交基底 に対して、トレースはによって与えられ 、有限であり正規直交基底に依存しません。^[7]${\displaystyle (e_{n})_{n}}$$${\displaystyle \operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,}$$

部分トレースは、演算子値トレースの別の一般化です。積空間A ⊗ B上に存在する線型演算子Zのトレースは、 AとB上の部分トレースに等しいです。 $${\displaystyle \operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).}$$

部分トレースのさらなる特性と一般化については、トレースされたモノイドカテゴリを参照してください。

A が体k上の一般結合代数である場合、 A上のトレースは、交換子上で消える任意のマップtr : A ↦ kとして定義されることが多い。つまり、すべてのa、b ∈ Aに対してtr([ a、b ]) = 0である。このようなトレースは一意に定義されるわけではないが、少なくとも非ゼロのスカラーによる乗算によって常に変更可能である。

スーパートレースは、トレースをスーパー代数の設定に一般化したものです。

テンソル収縮の操作により、トレースが任意のテンソルに一般化されます。

GommeとKlein（2011）は、ブロック行列上で動作する行列トレース演算子を定義し、テンソル表記を必要とせずに動的経済モデルの2次摂動解を計算するために使用しました。^[8]${\displaystyle \operatorname {trm} }$

ベクトル空間Vが与えられると、 ( v , φ)をスカラーφ( v )に写すことで得られる自然な双線型写像V × V ^∗ → Fが存在する。テンソル積V ⊗ V ^∗の普遍性は、この双線型写像がV ⊗ V ^∗上の線型関数によって誘導されることを自動的に意味する。^[9]

同様に、自然な双線型写像V × V ^∗ → Hom( V , V )は、( v , φ)を線型写像w ↦ φ( w ) vに写すことで得られます。テンソル積の普遍性は、前に使用したのと同じように、この双線型写像が線型写像V ⊗ V ^∗ → Hom( V , V )によって誘導されることを示しています。Vが有限次元の場合、この線型写像は線型同型です。^{[9]この基本的な事実は、} Vの（有限の）基底の存在の直接的な帰結であり、任意の線型写像V → Vは（有限個の）階数 1 の線型写像の和として表すことができるとも言えます。同型の逆を上で得られた線型汎関数と合成すると、 Hom( V , V )上の線型汎関数になります。この線型汎関数はトレースとまったく同じです。

トレースの定義を対角要素の和として用いると、行列式tr( AB ) = tr( BA )は簡単に証明でき、上で示したとおりである。現在の観点では、線型写像SとT を考え、それらを階数 1 の写像の和と見なすので、線型関数φ _iとψ _jおよび非ゼロベクトルv _iとw _jが存在し、 V内の任意のuに対してS ( u ) = Σ φ _i ( u ) v _iかつT ( u ) = Σ ψ _j ( u ) w _jとなる。すると

${\displaystyle (S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}}$

Vの任意のuに対して成り立つ。階数 1 の線型写像u ↦ ψ _j ( u ) φ _i ( w _j ) v _{i は}トレースψ _j ( v _i ) φ _i ( w _j )を持ち、したがって

${\displaystyle \operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).}$

SとT を逆にして同じ手順に従うと、まったく同じ式が得られ、tr( S ∘ T )はtr( T ∘ S )に等しいことが証明されます。

End( V )とV ⊗ V ^∗の基本的な同一性は、任意の線型写像を階数 1 の線型写像の和として表現できることと同等であるため、上記の証明はテンソル積に基づいていると見なすことができます。このように、証明はテンソル積の表記法で記述できます。次に、( v , φ , w , ψ )をφ ( w ) v ⊗ ψに 送ることで得られる多重線型写像V × V ^∗ × V × V ^∗ → V ⊗ V ^{∗ を}検討します。さらにトレース写像と合成するとφ ( w ) ψ ( v )となり、代わりに( w , ψ , v , φ )から始めてもこれは変わりません。また、( f , g )を合成f ∘ gに代入して得られる双線型写像End( V ) × End( V ) → End( V )を考えることもできる。これは線型写像End( V ) ⊗ End( V ) → End( V )によって誘導される。これは線型写像V ⊗ V ^∗ ⊗ V ⊗ V ^∗ → V ⊗ V ^∗と一致することがわかる。トレース写像との合成時に確立された対称性は、2つのトレースの等式を確立する。^[9]

任意の有限次元ベクトル空間Vに対して、自然な線型写像F → V ⊗ V 'が存在する。線型写像の言語では、これはスカラーcに線型写像c ⋅id _Vを割り当てる。これは共評価写像と呼ばれることもあり、トレースV ⊗ V ' → Fは評価写像と呼ばれる。^{[9]これらの構造は、}カテゴリ理論の抽象的な設定でカテゴリカルなトレースを定義するために公理化することができる。

• 計量テンソルに対するテンソルのトレース
• 特性関数
• フィールドトレース
• ゴールデン・トムソン不等式
• 特異な痕跡
• シュペヒトの定理
• トレースクラス
• 身元をトレース
• トレース不等式
• フォン・ノイマンの痕跡不等式