円錐

円錐
底辺の半径がr、高さがh、斜辺の高さがc、角度がθの直円錐。
タイプ	立体図
顔	1 つの円形面と 1 つの円錐面
オイラー文字。	2
対称グループ	オー(2)
表面積	π r 2 + π rℓ
音量	( πr2h ) / 3​

円錐は、平らな底面（必ずしも円形とは限りませんが、多くの場合円形）から、底面に含まれない 頂点または頂点と呼ばれる点まで滑らかに細くなる3 次元の 幾何学的形状です。

円錐は、共通点である頂点と底辺上のすべての点を結ぶ線分、半直線、または直線の集合によって形成されます。線分の場合、円錐は底辺を超えて伸びませんが、半直線の場合は無限に伸びます。直線の場合、円錐は頂点から両方向に無限に伸びます。この場合、二重円錐と呼ばれることもあります。頂点で分割された二重円錐の2つの半分はそれぞれナップと呼ばれます。。

作者によっては、底辺は円、平面上の任意の1 次元二次形式、任意の閉じた1 次元図形、または上記のいずれかとすべての囲まれた点の組み合わせに制限される場合があります。囲まれた点が底辺に含まれている場合、円錐は立体オブジェクトです。そうでない場合は、開いた表面、つまり 3 次元空間内の2 次元オブジェクトです。立体オブジェクトの場合、これらの線または部分的な線によって形成される境界は側面と呼ばれます。側面が境界を持たない場合は、円錐面です。

円錐の軸は、円錐が円対称になる頂点を通る直線です。 初等幾何学では、円錐は直円、つまり軸に対して垂直な円の底面を持つものとされる。 ^[1]円錐が直円の場合、平面と側面の交差は円錐断面である。しかし、一般的には底面はどのような形でも良く^[2]、頂点はどこにあっても良い（ただし、通常は底面は有界で面積は有限であり、頂点は底面の平面の外側にあると想定される）。直円錐とは対照的に斜円錐は、軸が底面の中心を垂直に通過しないものである。^[3]

文脈に応じて、「円錐」は特に凸円錐または射影円錐を意味する場合もあります。円錐は、より高次元に一般化することもできます。

円錐の底辺の周囲は「準線」と呼ばれ、準線と頂点の間の各線分は、側面の「母線」または「生成線」です。(「準線」という用語のこの意味と円錐断面の準線の関係については、ダンデリン球を参照してください。)

円錐の「底半径」は、その底の半径です。これは単に円錐の半径と呼ばれることもあります。直円錐の開口角は、 2本の母線間の最大角度である。母線が軸に対して角度θ をなす場合、開口角は 2 θである。光学では、角度θは円錐の 半角。開口部と区別するためです。

頂点を含む領域が平面で切り取られた円錐は、切頂円錐と呼ばれます。切頂面が円錐の底面と平行な場合は、円錐台と呼ばれます。^[1] 楕円円錐は、底面が楕円形の円錐です。^[1]一般化円錐 は、頂点と境界上のすべての点を通る線の集合によって作成される面です（可視包も参照）。

円錐体の体積は 底面積と高さの積の3分の1である^[4]${\displaystyle V}$${\displaystyle A_{B}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

現代数学では、この式は微積分を使って簡単に計算できる。スケーリングを除けば、積分である。微積分を使わなくても、円錐をピラミッドと比較し、カヴァリエリの原理を適用することで、この式を証明できる。具体的には、円錐を（垂直にスケーリングされた）直角錐（立方体の 1/3 を形成する）と比較する。この式は、このような極小の議論を使わずには証明できない。多面体の面積の 2 次元の公式とは異なり、円の面積に似ているが、微積分が登場する前は、古代ギリシャ人は尽くし法を使って、それほど厳密な証明は認められていなかった。これが本質的にヒルベルトの 3 番目の問題の内容である。より正確に言えば、すべての多面体ピラミッドがはさみ合同（有限の断片に切り離して別の断片に再配置できる）であるわけではなく、したがって、体積は分解の議論だけで計算することはできない。^[5]$${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}}$$

均一な密度の円錐体の重心は、底辺の中心から頂点までの 4 分の 1 の距離、つまり 2 つを結ぶ直線上にあります。

半径r、高さhの円錐の場合、底辺は面積の円なので体積の公式は^{[6]となる。}${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

直円錐の斜高は、底面の円上の任意の点から円錐の表面に沿った線分を経由して頂点までの距離です。これはで与えられ、 は底面の半径、は高さです。これはピタゴラスの定理によって証明できます。 ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

直円錐の側面積は、円錐の底部の円の半径、円錐の斜面の高さです。^[4] 円錐の底部の円の表面積は、どの円の場合も同じです。したがって、直円錐の全表面積は、次のように表すことができます。 ${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

• 半径と高さ

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

（底面積と側面面積の合計、つまり斜高）${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

ここでは半径、 は高さです。${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

• 半径と斜高

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

ここでは半径、 は斜面の高さです。${\displaystyle r}$${\displaystyle \ell}$

• 円周と斜高

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

ここでは円周、 は斜高です。${\displaystyle c}$${\displaystyle \ell}$

• 頂点の角度と高さ

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

ここで、は頂角、は高さです。${\displaystyle \theta}$${\displaystyle h}$

扇形は、円錐の 1 つのナップの表面を展開することによって得られます。

• 半径R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• 弧の長さL

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• 中心角φ（ラジアン）

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

円錐の表面は次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle f(\theta,h)=(h\cos \theta,h\sin \theta,h),}$

ここで、は円錐の「周囲の」角度であり、 は円錐に沿った「高さ」です。 ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

高さ、口径 の直円錐は、軸が座標軸、頂点が原点であり、パラメトリックに次のように記述されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

ここで、はそれぞれ、 、 の範囲です。 ${\displaystyle s,t,u}$${\displaystyle [0,\theta )}$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle [0,h]}$

暗黙の形式では、同じ立体は不等式によって定義される。

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

どこ

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

より一般的には、頂点が原点にあり、軸がベクトル に平行で、開口部である直円錐は、次の暗黙のベクトル方程式で表されます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$

${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

ここで、 および はドット積を表します。 ${\displaystyle u=(x,y,z)}$${\displaystyle u\cdot d}$

デカルト座標系では、楕円錐は^[7]の形の方程式の軌跡である。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

これは、次の式で表される直角単位円錐のアフィン像です。円錐曲線のアフィン像は同じタイプ (楕円、放物線など) の円錐曲線である という事実から、次の式が得られます。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$

• 楕円錐の任意の平面断面は円錐断面です。

明らかに、任意の直円錐には円が含まれています。これは一般的な場合にも当てはまりますが、それほど明白ではありません (円のセクションを参照)。

楕円錐と同心球の交差は球面円錐です。

射影幾何学では、円柱は頂点が無限遠にある円錐です。^{[8]直感的には、底辺を固定し、頂点が無限遠に近づくにつれて極限をとると、側面の角度が}arctanで増加し、極限で直角を形成する円柱が得られます。これは、円筒円錐を考慮する必要がある退化した円錐の定義に役立ちます。

GB Halstedによれば、円錐は、シュタイナー円錐に使用される射影範囲ではなく 、射影性と軸線(遠近法ではない) のみを使用して、シュタイナー円錐と同様に生成されます。

「2つの共点のない非共線軸線が射影的だが遠近法的でない場合、相関平面の交わりは「2次の円錐面」、つまり「円錐」を形成します。」^[9]

円錐の定義は高次元に拡張されることがあります。凸円錐を参照してください。この場合、実ベクトル空間の凸集合 C は、 Cのすべてのベクトルxとすべての非負の実数aに対して、ベクトルaxがCにあるとき、円錐（頂点が原点）であるといいます。^{[2]この文脈では、円錐の類似物は通常特別なものではなく、実際、}多面体円錐 に関心が寄せられることが多いです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

さらに一般的な概念は、任意の位相空間で定義される 位相円錐です。

• 双円錐形
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• 罫線面
• 軸の翻訳

• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、大学微積分学と解析幾何学(第 2 版)、読書: Addison-Wesley、LCCN  76087042

ウィキメディア・コモンズには、コーンに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「Cone」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「二重円錐」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「一般化された円錐」。MathWorld。
• Maths Is Fun のインタラクティブな回転コーン
• 紙製コーンモデル
• 斜円錐の側面積
• 円錐を切る 円錐と平面の交差のインタラクティブなデモンストレーション