コンパートメントモデル（疫学）

モデルの完全な仕様については、矢印には区画間の遷移率をラベル付けする必要があります。SとIの間では、遷移率は次のようになります。${\displaystyle d(S/N)/dt=-\beta SI/N^{2}}$、 どこ${\displaystyle N}$総人口は、${\displaystyle \beta }$は、1人あたりの平均接触回数に、感受性のある人と感染性のある人との接触における疾病伝播の確率を掛けたものであり、$SI/N²$これは、感染性のある感受性のある個人が関与する可能性のある接触全体の割合です。（これは、分子間のランダムな衝突によって化学反応が起こり、反応速度が2つの反応物の濃度に比例するという化学の質量作用の法則と数学的に類似しています。 ^{[ 15 ]}）

IとRの間では、遷移率は感染者の数に比例すると仮定される。${\displaystyle \gamma I}$個人が平均的な期間感染力を持つ場合${\displaystyle D}$、 それから${\displaystyle \gamma =1/D}$これは、個人が感染状態にある期間が指数分布に従う確率変数であるという仮定と同等である。「古典的な」SIRモデルは、IR遷移率に、より複雑で現実的な分布（例えば、アーラン分布）を使用することで修正できる。 ^{[ 16 ]}

感染区画からの除去がない特殊なケースでは（${\displaystyle \gamma =0}$) SIRモデルは非常に単純なSIモデルに帰着し、そのSIモデルにはロジスティック解があり、最終的にはすべての個人が感染する。

例えばインフルエンザなどの伝染病の動態は、出生と死亡の動態よりもはるかに速いことが多いため、単純なコンパートメントモデルでは出生と死亡は省略されることが多い。上記で説明した、いわゆる生命動態（出生と死亡、時には人口動態と呼ばれる）のないSIRシステムは、次の常微分方程式系で表すことができる。^{[ 11 ] [ 17 ]}

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta }{N}}IS,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta }{N}}IS-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}\right.}$

どこ${\displaystyle S}$感受性人口のストックを単位人数で表したもので、${\displaystyle I}$感染者のストックは、単位人数で表されます。${\displaystyle R}$は、除去された人口（死亡または回復による）のストックを単位人数で表したものであり、${\displaystyle N}$これは、これら3つの合計を人数単位で表したものです。${\displaystyle \beta }$感染率は、感染者1人あたり1日あたりの感染者数という単位で定数であり、${\displaystyle \gamma }$は、時間が単位日で表される場合の、感染者1人あたり1日あたりに回復する人の割合を表す単位分数で表される回復率定数です。

このモデルは、ウィリアム・オグルヴィ・カーマックとアンダーソン・グレイ・マッケンドリックによって初めて提唱されたもので、現在カーマック＝マッケンドリック理論と呼ばれるものの特殊なケースであり、マッケンドリックがロナルド・ロスと共同で行った研究に基づいていた。

このシステムは非線形ですが、その解析解を陰関数形式で導出することが可能です。^{[ 10 ]}まず、以下から次の点に注意してください。

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}$

したがって、次のことが言える。

${\displaystyle S(t)+I(t)+R(t)={\text{定数}}=N,}$

人口の不変性を数学的に表現する${\displaystyle N}$なお、上記の関係式から、3つの変数のうち2つの変数に関する方程式だけを調べればよいことがわかります。

第二に、感染性クラスの動態は以下の比率に依存することに留意する。

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }},}$

いわゆる基本再生産数（基本再生産率とも呼ばれる）。この比率は、すべての被験者が感受性を持つ集団において、単一の感染から予想される新規感染数（これらの新規感染は二次感染と呼ばれることもある）として導出される。^{[ 18 ] [ 19 ]}この考え方は、接触間の典型的な時間が次のようになるとすれば、おそらくより容易に理解できるだろう。${\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}$除去までの一般的な時間は${\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}$ここから、感染者が隔離されるまでに平均して他者と接触する回数は次のようになる。${\displaystyle T_{r}/T_{c}.}$

最初の微分方程式を3番目の微分方程式で割り、変数を分離して積分すると、

${\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}$

どこ${\displaystyle S(0)}$そして${\displaystyle R(0)}$それぞれ、感受性のある被験者と除去された被験者の初期数である。${\displaystyle s_{0}=S(0)/N}$感受性のある個人の初期の割合については、 ${\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}$そして ${\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}$感受性のある個体と除去された個体の割合はそれぞれ限界値で表されます。${\displaystyle t\to \infty ,}$1つは

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}$

（この極限では感染性コンパートメントが空になることに注意してください）。この超越方程式は、ランベルトW関数^{[ 20 ]}、すなわち、

${\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}$

これは、SIRモデルの単純な仮定に合致する流行の終末期には、$s_0=0$人口のすべてが排除されたわけではないため、一部の人は感染しやすい状態のまま残っているはずです。流行の終息につながる原動力は、感染者の数の減少です。流行は通常、感染しやすい人が完全にいなくなったからといって終息するわけではありません。

基本再生産数と初期感受性の両方の役割は極めて重要である。実際、感染者の方程式を次のように書き換えると次のようになる。

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}$

これは、以下のことをもたらす。

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}$

それから：

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}$

つまり、感染者数の増加を伴う本格的な流行が発生する（人口のかなりの割合に達する可能性がある）。逆に、

${\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}$

それから

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}$

つまり、感受性人口の初期規模に関わらず、この病気は本格的な流行を引き起こすことは決してない。したがって、基本再生産数と初期感受性の両方が極めて重要であることは明らかである。

死亡率によって特徴付けられる人口を考えてみましょう${\displaystyle \mu }$出生率${\displaystyle \Lambda }$、そして伝染病が蔓延している場所。^{[ 11 ]}集団作用伝播モデルは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

疾患のない平衡状態（DFE）は以下のとおりです。

${\displaystyle \left(S(t),I(t),R(t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}$

この場合、基本再生産数を導き出すことができます。

${\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma }},}$

これは閾値特性を持つ。実際、生物学的に意味のある初期値とは無関係に、次のことが示される。

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}$

点 EE は風土病平衡と呼ばれます (病気は完全に根絶されず、集団内に残ります)。ヒューリスティックな議論により、次のことが示されます。${\displaystyle R_{0}}$これは、感受性の高い集団において、単一の感染者が引き起こす平均感染数と解釈できます。上記の関係は生物学的には、この数が1以下であれば病気は消滅し、1より大きい場合は病気は集団内で永久に風土病として残ることを意味します。

1927年、WO KermackとAG McKendrickは、感受性、感染、および感染の3つのコンパートメントのみを持つ固定集団を考慮したモデルを作成しました。${\displaystyle S(t)}$; 感染した、${\displaystyle I(t)}$回復し、${\displaystyle R(t)}$このモデルで使用される区画は、次の 3 つのクラスで構成されています。^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle S(t)}$は、時刻 t においてまだ病気に感染していない個人、または集団の中で病気にかかりやすい個人を表すために使用されます。
• ${\displaystyle I(t)}$これは、その病気に感染しており、感受性のある人々に病気を広める可能性のある人々を指します。
• ${\displaystyle R(t)}$これは、感染後、予防接種または死亡によって病気から解放された人々を対象とする区分です。この区分に属する人々は、再び感染したり、他人に感染を広げたりすることはありません。

このモデルの流れは、以下のように考えることができる。

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}$

固定人口を使用して、${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$3 つの関数では、値が解決されます${\displaystyle N}$SIRモデルを解くためにシミュレーションを使用する場合、シミュレーション内では一定に保たれるべきである。あるいは、シミュレーションを実行せずに解析近似^{[ 12 ]}を使用することもできる。モデルは、以下の値で開始される。${\displaystyle S(t=0)}$、${\displaystyle I(t=0)}$そして${\displaystyle R(t=0)}$これらは、時刻がゼロの時点での感受性者、感染者、回復者のカテゴリーに属する人数です。SIRモデルが常に成り立つと仮定すると、これらの初期条件は独立ではありません。^{[ 12 ]}その後、フローモデルは、各時点の3つの変数を、設定値で更新します。${\displaystyle \beta }$そして${\displaystyle \gamma }$シミュレーションでは、まず感受性者から感染者を更新し、次に次の時点 (t=1) で感染者から回復者を更新します。これは、3 つのカテゴリ間の人の流れを表します。流行中、このモデルでは感受性カテゴリは移動しません。${\displaystyle \beta }$流行の経過とともに変化し、${\displaystyle \gamma }$これらの変数は流行の期間を決定するものであり、各サイクルごとに更新する必要がある。

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-\beta SI}$

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\beta SI-\gamma I}$

${\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}$

これらの方程式の定式化にはいくつかの仮定が置かれました。まず、集団内の個人は、他のすべての個人と同様に、以下の割合で病気に感染する確率が等しいとみなされなければなりません。${\displaystyle a}$そして同じ割合${\displaystyle b}$単位時間あたりに個人が接触する人数。次に、${\displaystyle \beta }$の乗算である${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$これは感染確率に接触率を掛けたものです。さらに、感染者が接触すると${\displaystyle b}$単位時間当たりの人数はわずか数人であるのに対し、${\displaystyle S/N}$それらのうちの 1 個は感染しやすい。したがって、すべての感染性ウイルスは感染させることができる。${\displaystyle abS=\beta S}$感受性のある人、したがって、単位時間あたりに感染者によって感染する感受性のある人の総数は${\displaystyle \beta SI}$2番目と3番目の式では、感受性クラスから離脱する人口は感染クラスに入る人口と等しいと考えます。ただし、割合に等しい数は${\displaystyle \gamma }$（これは平均回復率/死亡率を表し、${\displaystyle 1/\gamma }$感染者の平均感染期間）は、単位時間あたりこのクラスから離脱して、除去されたクラスに入ろうとしています。同時に発生するこれらのプロセスは、集団作用の法則と呼ばれ、集団内の 2 つのグループ間の接触率は、関係する各グループの大きさに比例するという広く受け入れられている考え方です。最後に、感染と回復の速度は出生と死亡の時間スケールよりもはるかに速いと想定されているため、これらの要因はこのモデルでは無視されます。^{[ 26 ]}

上記の微分方程式で定義される古典的なSIRモデルの唯一の定常状態解はI=0であり、SとRは任意の値をとることができます。Sコンパートメントに何らかの入力を加えることで、3つのコンパートメントを維持したままモデルを変更し、定常状態の風土病解を得ることができます。

例えば、感受性の予想される期間は${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]}$どこ${\displaystyle T_{L}}$生存期間（平均寿命）を反映し、${\displaystyle T_{S}}$これは、感染する前の感受性状態にある時間を反映しており、以下のように簡略化できます^{[ 27 ]}：

${\displaystyle \operatorname {E} [\min(T_{L}\mid T_{S})]=\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}$

つまり、感受性のある人の数は、感受性のある区画に入る人の数である。${\displaystyle \mu N}$感受性期間の倍数：

${\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}$

同様に、定常状態における感染者数は、感受性状態から感染状態に移行する人数（感受性者数×感染率）である。${\displaystyle \lambda ={\tfrac {\beta I}{N}},}$感染期間の倍数${\displaystyle {\tfrac {1}{\mu +v}}}$:

${\displaystyle I={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}\lambda {\frac {1}{\mu +v}}.}$

SIR モデルには、出生と死亡を考慮したもの、回復しても免疫がないもの (SIS モデル)、免疫が短期間しか持続しないもの (SIRS)、感染者が感染力を持たない潜伏期間があるもの (SEIS および SEIR)、乳児が免疫を持って生まれるもの (MSIR) など、多くの修正版があります。また、ワクチン接種、検出、ノミ、ダニ、蚊などの感染ベクターのためのコンパートメントを追加することもできます。コンパートメントモデルは、複数のリスクグループや、複数の病原体の相互作用をモデル化するためにも使用できます。^{[ 28 ] [ 8 ]}

例えば、風邪やインフルエンザなどの感染症は、長期的な免疫をもたらさない。こうした感染症は一時的な抵抗力を与えるかもしれないが、感染から回復しても長期的な免疫は得られず、再び感染しやすくなる。

モデルは以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}$

Nを総人口とすると、次のことが成り立つことに注意してください。

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}$。

したがって、次のことが言える。

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}$、

つまり、感染の動態はロジスティック関数によって支配されるため、${\displaystyle \forall I(0)>0}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\beta }{\gamma }}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=0,\\[6pt]&{\frac {\beta }{\gamma }}>1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }I(t)=\left(1-{\frac {\gamma }{\beta }}\right)N.\end{aligned}}}$

このモデルには、変数変換を行うことで解析解を求めることが可能です。${\displaystyle I=y^{-1}}$そしてこれを平均場方程式に代入すると、^{[ 29 ]}基本再生産率が1より大きい値となる。解は次のように与えられる。

${\displaystyle I(t)={\frac {I_{\infty }}{1+Ve^{-\chi t}}}}$。

どこ${\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N}$風土病感染集団は、${\displaystyle \chi =\beta -\gamma }$、 そして${\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1}$システムが閉鎖系であると仮定すると、感受性のある人口は${\displaystyle S(t)=N-I(t)}$。

エージェントの数が整数であることが明らかな場合（数万人未満の個体数を持つ集団）、離散的なエージェントによって引き起こされる疾病拡散プロセスの固有の変動により不確実性が生じる。^{[ 30 ]}このシナリオでは、コンパートメント方程式によって予測される疾病の進化は、観測された結果から大きく乖離する。これらの不確実性により、流行がコンパートメント方程式によって予測されるよりも早く終息する可能性さえある。

特殊なケースとして、以下の仮定を置くと通常のロジスティック関数が得られる。${\displaystyle \gamma =0}$これはSIRモデルでも考慮できます。${\displaystyle R=0}$つまり、除去は行われない。これがSIモデルである。^{[ 31 ]}微分方程式系は${\displaystyle S=N-I}$したがって、以下のように簡略化されます。

${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}$

長期的には、SIモデルでは、すべての個人が感染することになる。

感受性者-感染者-回復者-死亡者モデルは、回復者（具体的には、病気を生き延びて免疫を獲得した個人）と死亡者を区別します。^{[ 18 ]} SIRDモデルは、4つの部分に基づく半解析解を持っています。^{[ 32 ]}このモデルは、次の微分方程式系を使用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\mu I,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \beta ,\gamma ,\mu }$それぞれ感染率、回復率、死亡率である。^{[ 33 ]}

感受性者-感染者-回復者-ワクチン接種者モデルは、感受性者集団へのワクチン接種を考慮した拡張SIRモデルである。^{[ 34 ]}このモデルは、次の微分方程式系を使用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta (t)IS}{N}}-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta (t)IS}{N}}-\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \beta ,\gamma ,v}$それぞれ感染率、回復率、ワクチン接種率を表す。半時間初期条件の場合${\displaystyle S(0)=(1-\eta )N}$、${\displaystyle I(0)=\eta N}$、${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$および一定の比率${\displaystyle k=\gamma (t)/\beta (t)}$そして${\displaystyle b=v(t)/\beta (t)}$このモデルは近似的に解かれていた。^{[ 34 ]}パンデミックの発生には${\displaystyle k+b<1-2\eta }$そしてワクチン接種率が著しく低下している。${\displaystyle b_{c}}$それ以上の定常状態のサイズ${\displaystyle S_{\infty }}$感受性コンパートメントは比較的近いままで、${\displaystyle S(0)}$任意の初期条件を満たす${\displaystyle S(0)+I(0)+R(0)+V(0)=N}$解決済みの特殊ケースにマッピングできます${\displaystyle R(0)=V(0)=0}$[ ^{34 ]​}

このモデルの数値解は、リアルタイムの再生産数を計算するものです。${\displaystyle R_{t}}$COVID-19の対策は、コミュニティ内のさまざまな集団からの情報に基づいて実施できます。^{[ 25 ]}数値解法は、解析解を得ることが困難であったり、境界条件や特殊なパラメータなどの要件によって制限されている場合に、複雑な運動ネットワークを分析するためによく使用される方法です。数値積分を離散時間ステップのリーマン和に変換することで次のステップを計算するために再帰方程式を使用します。たとえば、昨日の元金と利率を使用して今日の利率を計算します。これは、利率が日中固定されていると仮定しています。数値ステップサイズに対する解析的補正が含まれていない場合、計算には予測誤差が含まれます。たとえば、年間回収の利率が月利率の12倍に単純化されている場合、予測誤差が導入されます。したがって、時間ステップが参照点から遠く離れている場合、計算結果には累積誤差が伴い、誤差を推定するために収束テストが必要です。ただし、この誤差は通常、データ適合には許容されます。データセットを短い時間ステップでフィッティングする場合、基準点が近いため、基準点から長い期間を予測する場合に比べて誤差は比較的小さくなります。${\displaystyle R_{t}}$引き出されたものは、基本再生産数と比較することができる。${\displaystyle R_{0}}$ワクチン接種前は、${\displaystyle R_{t}}$政策立案者と一般市民に、社会的距離の確保やマスク着用などの社会的緩和活動の有効性を示す指標を提供する。${\displaystyle {\frac {R_{t}}{R_{0}}}}$大規模ワクチン接種の下では、疾病制御の目標は実効再生産数を減少させることである。${\displaystyle R_{e}={\frac {R_{t}S}{N}}<1}$、 どこ${\displaystyle S}$は、その時点での感受性人口の数であり、${\displaystyle N}$は総人口です。${\displaystyle R_{e}<1}$感染拡大は収束し、1日の新規感染者数は減少する。

感受性者-感染者-回復者-ワクチン接種者-死亡者（SIRVD）流行コンパートメントモデルは、SIRモデルを拡張し、ワクチン接種キャンペーンと時間依存の致死率が流行発生に及ぼす影響を組み込んでいます。このモデルは、SIR、SIRV、SIRD、SIモデルを特殊なケースとして包含し、個々の時間依存率が異なる割合間の遷移を規定します。^{[ 35 ]}このモデルは、人口割合について次の微分方程式系を使用します。${\displaystyle S,I,R,V,D}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I-\psi (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=v(t)S,\\[6pt]&{\frac {dD}{dt}}=\psi (t)I\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle a(t),v(t),\mu (t),\psi (t)}$それぞれ感染率、ワクチン接種率、回復率、死亡率を表す。半時間初期条件の場合${\displaystyle S(0)=1-\eta }$、${\displaystyle I(0)=\eta }$、${\displaystyle R(0)=V(0)=D(0)=0}$および一定の比率${\displaystyle k=\mu (t)/a(t)}$、${\displaystyle b=v(t)/a(t)}$、 そして${\displaystyle q=\psi (t)/a(t)}$モデルは、関数形式に関係なく、いくつかの特殊なケースでは近似的に、そして正確に解かれていました。${\displaystyle a(t)}$^{[ 35 ]}これは、上記のSIRVDモデル方程式を同等の、しかし簡略化された形式で書き直すことによって達成される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{d\tau }}=-SI-b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dI}{d\tau }}=SI-[k(\tau )+q(\tau )]I,\\[6pt]&{\frac {dR}{d\tau }}=k(\tau )I,\\[6pt]&{\frac {dV}{d\tau }}=b(\tau )S,\\[6pt]&{\frac {dD}{d\tau }}=q(\tau )S\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle \tau (t)=\int _{0}^{t}a(\xi )d\xi }$

は、次元を縮小した無次元時間である。感染率の時間依存性${\displaystyle I(\tau )}$そして新規感染率${\displaystyle j(\tau )=S(\tau )I(\tau )}$ワクチン接種の効果を考慮した場合や、死亡率と回復率のリアルタイム依存性が乖離する場合、これらの違いは異なる。これらの違いは、定常比率と徐々に減少する死亡率について強調されている。^{[ 35 ]}定常比率の場合、完了したパンデミックの波の測定されたCOVID-19データからSIRVDモデルのすべてのパラメータを分析的に抽出する診断方法を構築することができる。^{[ 35 ]}

SIRVBモデルはSIRVモデルに画期的な経路を追加する。^{[ 36 ]}

反応速度式は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-a(t)SI-v(t)S+b(t)[\mu (t)I+v(t)S],\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}=a(t)SI-\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=[1-b(t)]\mu (t)I,\\[6pt]&{\frac {dV}{dt}}=[1-b(t)]v(t)S,\\[6pt]\end{aligned}}}$

感染率${\displaystyle a(t)}$次のように書くことができます${\displaystyle \beta (t)/N}$回復率${\displaystyle \mu (t)}$定数に単純化できる${\displaystyle \gamma }$、${\displaystyle v(t)}$ワクチン接種率は、${\displaystyle b(t)}$ブレークスルー率とは、免疫を獲得した人のうち再感染しやすい人の割合（<1）のことです。

麻疹を含む多くの感染症において、赤ちゃんは感受性のある状態で生まれるのではなく、母親の抗体（胎盤を介して、さらに初乳からも受け継がれる）による保護のおかげで、生後数ヶ月間は病気に対する免疫を持っています。これは受動免疫と呼ばれます。この詳細な情報は、モデルの冒頭にMクラス（母体由来免疫）を追加することで示すことができます。

これを数学的に表現するために、追加の区画M ( t )が追加されます。これにより、次の微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

結核などの感染症にかかった人の中には、完全に回復せず、自身は病気を発症しないものの、感染を保菌し続ける人がいる。そのような人は、感染性コンパートメントに戻って症状を発症する場合（結核の場合など）もあれば、症状を発症しないまま保菌状態のまま他人に感染させ続ける場合もある。この最も有名な例はおそらくメアリー・マロンで、彼女は22人に腸チフスを感染させた。保菌コンパートメントはCと表記される。

多くの重要な感染症において、感染後もまだ感染力を持たない潜伏期間がかなり長く存在します。この期間中、感染者はE区画（曝露状態）にあるとみなされます。

遅延期間がパラメータを持つ指数分布に従う確率変数であると仮定する${\displaystyle a}$（つまり平均遅延期間は${\displaystyle a^{-1}}$）また、出生率に伴う生命力動態の存在も想定している。${\displaystyle \Lambda }$死亡率に等しい${\displaystyle N\mu }$（合計数${\displaystyle N}$（定数）の場合、モデルは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}$

我々は持っています${\displaystyle S+E+I+R=N,}$しかし、これは出生率と死亡率が等しいという単純化された仮定に基づいているため、一定であるにすぎない。一般に${\displaystyle N}$は変数です。

このモデルにおける基本再生産数は次のとおりです。

${\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}.}$

SIRモデルと同様に、この場合も、疾病のない平衡状態（N ,0,0,0）と風土病平衡状態EEが存在し、生物学的に意味のある初期条件とは無関係に、

${\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}$

それは次のように主張する。

${\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}$

${\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE.}$

接触率が周期的に変動する場合${\displaystyle \beta (t)}$DFEのグローバルな魅力の条件は、周期係数を持つ以下の線形システムである。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}$

安定している（つまり、複素平面上の単位円内にフロケの固有値を持つ）。

SEISモデルは、SEIRモデル（上記）と似ていますが、最後に免疫を獲得しない点が異なります。

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {S}}}}}$

このモデルでは、感染しても免疫は獲得されないため、回復した個体は再び感染しやすい状態に戻り、S ( t )区画へと移行します。このモデルは、以下の微分方程式で表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S+\gamma I\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\epsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

受動免疫や潜伏期間といった要因を考慮した疾病の場合、MSEIRモデルが用いられる。

${\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dt}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dt}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}$

MSEIRSモデルはMSEIRモデルに似ていますが、Rクラスの免疫は一時的なものであり、一時的な免疫が終了すると個人は再び感染しやすくなります。

${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}$

詳細な分析のためのより詳細なモデルを開発する場合、モデルは主に特定の疾患の特定の発生シナリオ向けに生成され、入院区分や検出動態などの特定の研究課題に対応する区分が含まれます。これらのモデルは多くの場合特定の状況に合わせて調整されていますが、さまざまな疾患に使用できる複雑なモデルも存在します。汎用モデルを作成しようとする試みの1つは、12の区分を含み、よく知られているSEIRモデルに感染の第2段階、検出区分、および2回のワクチン接種を追加して拡張しています。さらに、外部病原体を介して塗抹感染が組み込まれています。${\displaystyle P}$単純なベクター集団は以下に含まれる${\displaystyle S_{V}}$そして${\displaystyle I_{V}}$さらに、出生や死亡といった人口動態も組み込むことができる。このような複雑なモデルは、感染動態のより深い理解と、さまざまな医薬品および非医薬品介入の導入を可能にする。^{[ 8 ]}

病気にかかる確率は時間とともに一定ではないことはよく知られています。パンデミックが進行するにつれて、パンデミックへの対応策によって接触率が変化する可能性がありますが、単純なモデルでは接触率は一定と仮定されています。マスク着用、ソーシャルディスタンス、ロックダウンなどの対策は、パンデミックの拡大速度を遅らせる形で接触率を変化させます。

さらに、風邪ウイルスのように冬に流行しやすい病気など、季節性のある病気もあります。麻疹、おたふく風邪、風疹などの小児疾患は、学校の年間スケジュールと強い相関関係があり、学校の休暇中はこれらの病気にかかる確率が劇的に低下します。したがって、多くの種類の病気については、周期的に（「季節的に」）接触率が変動する感染力を考慮する必要があります。

${\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}$

期間Tは1年とする。

したがって、私たちのモデルは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}$

（回復のダイナミクスは容易に以下から導き出せる）${\displaystyle R=N-S-I}$）、すなわち、周期的に変化するパラメータを持つ非線形微分方程式系です。この種の力学系は、非線形パラメトリック共鳴という非常に興味深く複雑な現象を起こす可能性があることはよく知られています。以下の条件が満たされる場合、次のことが容易にわかります。

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}$

一方、積分が 1 より大きい場合、病気は消滅せず、そのような共鳴が生じる可能性があります。たとえば、周期的に変化する接触率をシステムの「入力」と考えると、出力は入力の周期の倍数である周期関数になります。これにより、接触率の振動の周期と風土病平衡付近の減衰振動の擬似周期との相互作用として、いくつかの感染症の 4 年 (典型的には 2 年) の流行発生を説明するのに貢献することができました。注目すべきことに、場合によっては、その挙動は準周期的またはカオス的である可能性もあります。

時空間コンパートメントモデルは、感受性者、感染者、回復者の総数ではなく、それらの密度を記述します。したがって、感染者の空間分布をモデル化することも可能です。ほとんどの場合、これはSIRモデルと拡散方程式を組み合わせることによって行われます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}S=D_{S}\nabla ^{2}S-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&\partial _{t}I=D_{I}\nabla ^{2}I+{\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&\partial _{t}R=D_{R}\nabla ^{2}R+\gamma I,\end{aligned}}}$^{[ 37 ]}

どこ${\displaystyle D_{S}}$、${\displaystyle D_{I}}$そして${\displaystyle D_{R}}$は拡散定数である。これにより、反応拡散方程式が得られる。（次元上の理由から、パラメータは${\displaystyle \beta }$（単純なSIRモデルと比較して変更する必要がある。）この種の初期のモデルは、ヨーロッパにおける黒死病の蔓延をモデル化するために使用された。^{[ 38 ]}このモデルの拡張は、例えば、社会的距離の確保などの非医薬品的介入の効果を組み込むために使用された。^{[ 39 ]}

社会的接触、疾患の重症度と致死率、予防措置の有効性は、高齢者と若年者など、相互作用するサブグループ間で大きく異なる可能性があるため、相互作用リンクを介して相互に接続された各サブグループ用の個別のSEIRモデルを使用することができます。^{[ 37 ]}このような相互作用サブポピュレーションSEIRモデルは、COVID-19パンデミックを大陸規模でモデル化するために使用され、懸念されるウイルス変異株の波の中でワクチンへのアクセスが制限されている状況で、パンデミックの短縮と症例数および死亡者数の減少を約束する、個別化された加速サブポピュ^{レーションを対象}としたワクチン接種戦略を開発しました[40]。

SIR モデルは、通常必要とされる均質混合条件よりも現実的な接続形式をモデル化するために、さまざまな種類のネットワークで研究されてきました。ある時間ステップで感染した隣人のそれぞれから感染する確率が p であるネットワーク上の伝染病の単純なモデルは、エルデシュ レニー ランダムグラフ上の巨大コンポーネント形成と同様の結果をもたらします。^{[ 41 ]}ベクターを介した伝播経路を持つ確率的コンパートメント モデルが最近開発され、複数のランダム ウォーカー アプローチが実装され、ワッツ ストロガッツ 型およびバラバシ アルバート型のランダム グラフにおける拡散ダイナミクスを調査し、都市、道路、交通ネットワークなどの複雑な現実世界の環境における人間の移動パターンを模倣します。このモデルは、デング熱、マラリア (蚊による伝播)、疫病 (ノミによる伝播) などのベクター媒介感染症のクラスを捉えています。

伝染病の動態は、人々の行動が時間とともにどのように変化するかに依存します。たとえば、伝染病の初期には、人々は無知で不注意ですが、伝染病の発生と警戒の後、さまざまな制限に従い始め、伝染病の蔓延は減少する可能性があります。時間が経つにつれて、一部の人々は制限に疲れたり、不満を感じたりして、特に新規感染者数が減少すると、制限に従わなくなります（疲弊）。しばらく休んだ後、再び制限に従うことができます。しかし、この休止期間中に、第2波が到来し、第1波よりもさらに強力になる可能性があります。社会動態を考慮する必要があります。社会的ストレスの社会物理学モデルは、古典的な伝染病モデルを補完します。^{[ 42 ]}

最も単純なSIR-社会的ストレス（SIR _SS）モデルは、次のように構成されます。感受性のある個人（S）は、行動の種類によって3つのサブグループに分けられます。流行を知らない、または認識していない（S _ign）、合理的に抵抗する（S _res）、外部刺激に反応しない疲弊した（S _exh）（これは一種の不応期です）。言い換えると、S(t) = S _ign (t) + S _res (t) + S _exh (t) となります。象徴的に、社会的ストレスモデルは「反応スキーム」（Iは感染した個人を表します）で表すことができます。

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{ign}}}+2{\mathcal {I}}\to {\mathcal {S_{res}}}+2{\mathcal {I}}}}}$–動員反応（ここでいう自己触媒的形態とは、遷移速度が感染率Iの二乗に比例することを意味する）
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{res}}}\to {\mathcal {S_{exh}}}}}}$－防疫措置による疲労が原因で生じる疲弊過程。
• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{exh}}}\to {\mathcal {S_{ign}}}}}}$–初期状態への緩やかな弛緩（不応期の終了）。

SIRの主な流行反応

• ${\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S_{...}}}+{\mathcal {I}}\to {\mathcal {2I}}}}}$

異なる反応速度定数を持つ${\displaystyle \beta }$S_サイン、S _res、S _exhの場合。おそらく S _resの場合、${\displaystyle \beta }$_{S Sign}および S _Signよりも低い。

国間の違いは、13か国におけるCOVID-19流行について計算された動員率と疲弊率という2つの運動定数に集中している。^{[ 42 ]}この流行におけるすべての国のこれらの定数は、公開されているデータに SIR _SSモデルを適合させることで抽出できる。^{[ 43 ]}

古典的なSIRモデルに基づいて、流行波の基本的な動態、パラメータに対する解の依存性、およびさまざまなタイプの解に対する予測可能性の期間の依存性を説明するために、Korteweg-de Vries (KdV)-SIR方程式とその解析解が提案されている。^{[ 44 ]} KdV-SIR方程式は次のように記述される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt}}-\sigma _{o}^{2}I+{\frac {3}{2}}{\frac {\sigma _{o}^{2}}{I_{max}}}I^{2}=0}$。

ここ、

${\displaystyle \sigma _{o}=\gamma (R_{o}-1)}$、

${\displaystyle R_{o}={\frac {\beta }{\gamma }}{\frac {S_{o}}{N}}}$、

そして

${\displaystyle I_{max}={\frac {S_{o}}{2}}{\frac {(R_{o}-1)^{2}}{R_{o}^{2}}}}$。

${\displaystyle S_{o}}$状態変数の初期値を示します${\displaystyle S}$パラメータ${\displaystyle \sigma _{o}}$（σゼロ）および${\displaystyle R_{o}}$（R₀）は、それぞれ時間に依存しない相対成長率と基本再生産数である。 ${\displaystyle I_{max}}$状態変数の最大値を示します ${\displaystyle I}$（感染者数について）。KdV-SIR方程式は、進行波座標系においてKorteweg–De Vries方程式と同じ形式をとります。KdV-SIR方程式の解析解は次のように表されます。

${\displaystyle I=I_{max}sech^{2}\left({\frac {\sigma _{o}}{2}}t\right)}$、

これは孤立波解を表す。

感染症が存在する場合、主な課題の1つは、予防措置、可能であれば集団予防接種プログラムの確立によって、その感染症を根絶することです。新生児が（生涯免疫を与えるワクチンで）一定の割合で予防接種を受ける疾患を考えてみましょう。${\displaystyle P\in (0,1)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle V}$はワクチン接種を受けた被験者の集団である。以下のことがすぐにわかる。

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP,}$

したがって、我々は長期的な挙動について検討する。${\displaystyle S}$そして${\displaystyle I}$それによって、以下のことが主張される。

${\displaystyle R_{0}(1-P)\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=DFE=\left(N\left(1-P\right),0\right)}$

${\displaystyle R_{0}(1-P)>1,\quad I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),I(t)\right)=EE=\left({\frac {N}{R_{0}(1-P)}},N\left(R_{0}(1-P)-1\right)\right).}$

つまり、もし

${\displaystyle P<P^{*}=1-{\frac {1}{R_{0}}}}$

ワクチン接種プログラムは病気の根絶には成功せず、むしろ、ワクチン接種がない場合よりも低いレベルではあるものの、風土病として残るだろう。つまり、数学モデルによれば、基本再生産数が18にも達する病気の場合、病気を根絶するためには少なくとも新生児の94.4%にワクチンを接種する必要があるということである。

現代社会は、「合理的」な免除、すなわち、感染によるリスクとワクチン接種による損害のリスクを「合理的」に比較した結果、家族が子供にワクチンを接種させないという決定という課題に直面している。この行動が本当に合理的かどうか、つまり、それが同様に疾病の根絶につながるかどうかを評価するには、ワクチン接種率が感染者数の増加関数であると単純に仮定すればよい。

${\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0.}$

このような場合、根絶条件は次のようになります。

${\displaystyle P(0)\geq P^{*},}$

つまり、基準となるワクチン接種率は「義務的ワクチン接種」の閾値よりも高くなければならないが、免除の場合にはこの条件は満たされない。したがって、「合理的」な免除は、ワクチン接種率の高さによる現在の低い感染率のみに基づいており、接種率の低下による将来の感染再拡大を考慮していないため、近視眼的である可能性がある。

新生児以外の者にもρの割合でワクチン接種が行われる場合、感受性者とワクチン接種者に関する方程式は次のように修正する必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N(1-P)-\mu S-\rho S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\mu NP+\rho S-\mu V\end{aligned}}}$

次のような根絶条件につながる：

${\displaystyle P\geq 1-\left(1+{\frac {\rho }{\mu }}\right){\frac {1}{R_{0}}}}$

この戦略では、感受性のある集団の中から、特定の年齢層（幼児や高齢者など）に一定期間にわたって繰り返しワクチン接種を行います。この戦略を用いることで、感受性のある集団を直ちに排除することができ、麻疹などの感染症を全人口から根絶することが可能になります。T時間ごとに、感受性のある対象者の一定割合pが、比較的短い時間（疾病の動態に比べて）でワクチン接種を受けます。これにより、感受性のある対象者とワクチン接種を受けた対象者について、以下の衝動的な微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}$

I = 0と設定すると、感受性のある被験者の動態は次のように表されることが容易にわかる。

${\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}$

そして、根絶条件は以下のとおりである。

${\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}$

膨大な文献が、ワクチン接種はゲームとして捉えることができると認識している。全員がワクチン接種を受けた集団では、いかなる伝染病もすぐに終息するため、新たにワクチン接種を受ける人はワクチン接種に全く関心を持たない。逆に、誰もワクチン接種を受けていない集団に到着した人は、ワクチン接種を受けるインセンティブを大いに持つことになる（そのような集団では伝染病が蔓延する）。したがって、個人は集団全体とは逆の行動をとることに関心を持っているように見える。しかし、集団はすべての個人の総和であり、上記の主張は誤りであるはずである。したがって、実際にはナッシュ均衡が達成される。^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}このような状況に対処するための技術的ツールには、ゲーム理論や平均場ゲーム理論などの現代的なツールが含まれる。^{[ 53 ] [ 54 ]}