質量作用の法則

GuldbergとWaageの1864年の論文で示された速度式は微分できなかったため、以下のように簡略化された。^{[ 11 ]}化学力は反応物の活性質量の積に直接比例すると仮定された。

${\displaystyle {\mbox{affinity}}=\alpha [A][B]\!}$

これは、以前の理論の指数 a と b を 1 に設定することと同等である。比例定数は親和定数 k と呼ばれた。「理想的な」反応の平衡条件は、このように簡略化された形で表された。

${\displaystyle k[A]_{\text{eq}}[B]_{\text{eq}}=k'[A']_{\text{eq}}[B']_{\text{eq}}}$

[A] _eq、[B] _eqなどは平衡状態における活性物質量である。初期反応物量p、qなどを用いて表すと、次のようになる。

${\displaystyle (p-\xi )(q-\xi )={\frac {k'}{k}}(p'+\xi )(q'+\xi )}$

親和係数の比 k'/k は平衡定数として認識できる。速度論的側面から見ると、反応速度 v は化学親和力（力）の合計に比例すると示唆されている。最も単純な形では、これは次の式で表される。

${\displaystyle v=\psi (k(px)(qx)-k'(p'+x)(q'+x))\!}$

どこ${\displaystyle \psi }$は比例定数です。実際には、GuldbergとWaageはAとA'などの相互作用を考慮したより複雑な式を使用しました。これらのより複雑な式にいくつかの簡略化近似を行うことで、速度式を積分し、平衡量を求めることができました。${\displaystyle \xi }$計算できる。1867年の論文における広範な計算は、簡略化された概念、すなわち、

反応速度は、反応に関与する反応物の有効質量の積に比例する。

これは、集団行動の法則に関する別の表現である。

1879年の論文^{[ 14 ]}では、反応速度が濃度の積に比例するという仮定が、ボルツマンが1872年に気体運動論で展開したように（ボルツマン方程式）、独立衝突の頻度という観点から微視的に正当化された。また、平衡条件の元の理論は、任意の化学平衡に適用できるように一般化できるとも提案された。

$\displaystyle {\text{親和性}}=k[{\ce {A}}]^{\alpha }[{\ce {B}}]^{\beta }\dots }$

指数α、βなどは、反応の化学量論係数として初めて明確に特定された。

プラズマ中では、原子のイオン化は、各イオン化状態と次のイオン化状態および自由電子との間の化学平衡として理解することができる。

${\displaystyle {\ce {A{}<=> A+ + e-}}}$

${\displaystyle {\ce {A+ <=> A^2+ + e-}}}$

${\displaystyle {\ce {A^2+ <=> A^3+ + e-}}}$

等

したがって、各反応に対して質量作用の法則が生じ、理想的に希薄な極限では、それはサハのイオン化方程式となる。^{[ 29 ]}

質量作用の法則は半導体物理学にも影響を与える。ドーピングに関係なく、電子密度と正孔密度の積は平衡状態では一定である。この定数はシステムの熱エネルギー（つまりボルツマン定数の積）に依存する。${\displaystyle k_{\text{B}}}$温度、${\displaystyle T}$）、バンドギャップ（伝導帯と価電子帯のエネルギー差）も同様です。${\displaystyle E_{g}\equiv E_{C}-E_{V}}$）および価電子帯の有効状態密度${\displaystyle (N_{V}(T))}$伝導${\displaystyle (N_{C}(T))}$バンド。平衡電子が${\displaystyle (n_{o})}$そして穴${\displaystyle (p_{o})}$密度が等しい場合、それらの密度は固有キャリア密度と呼ばれます。${\displaystyle (n_{i})}$これは、${\displaystyle n_{o}}$そして${\displaystyle p_{o}}$完全結晶の場合。最終生成物はフェルミ準位に依存しないことに注意してください。${\displaystyle (E_{F})}$:

${\displaystyle n_{o}p_{o}=\left(N_{C}e^{-{\frac {E_{C}-E_{F}}{k_{\text{B}}T}}}\right)\left(N_{V}e^{-{\frac {E_{F}-E_{V}}{k_{\text{B}}T}}}\right)=N_{C}N_{V}e^{-{\frac {E_{g}}{k_{\text{B}}T}}}=n_{i}^{2}}$

ヤコフ・フレンケルは、凝縮物質における拡散過程を、素粒子のジャンプと準化学的相互作用の集合として表現した。ヘンリー・アイリングは、絶対反応速度の理論をこの拡散の準化学的表現に適用した。拡散の質量作用の法則は、フィックの法則のさまざまな非線形バージョンにつながる。^{[ 30 ]}

ロトカ・ボルテラ方程式は、捕食者と被食者の系の動態を記述する。被食者に対する捕食率は、捕食者と被食者が出会う頻度に比例すると仮定される。この頻度は、被食者の数xと捕食者の数yを用いてxyと表される。これは、質量作用の法則の典型的な例である。

質量作用の法則は、数理疫学における疾病伝播のコンパートメントモデルの基礎を形成しており、このモデルでは、人間、動物、またはその他の個体の集団が、感受性、感染、および回復（免疫）のカテゴリーに分けられます。質量作用の原理は、疫学におけるコンパートメントモデルの伝播項の中核をなすものであり、疾病の動態を抽象化する上で有用です。^{[ 31 ]} SIRモデルの質量作用の法則の定式化は、次の「準化学」的な基本反応系に対応します。

構成要素のリストは、S（感受性のある個体）、I（感染した個体）、R（除去された個体、または致死性を無視すれば回復した個体）である。

基本的な反応のリストは次のとおりです。

${\displaystyle {\ce {S + I -> 2I}}}$

${\displaystyle {\ce {I -> R}}}$。

免疫が不安定な場合は、サイクルを閉じる RからSへの移行を追加する必要があります（SIRSモデル）。

${\displaystyle {\ce {R -> S}}}$。

数理疫学においては、成分や素反応を追加することで、質量作用の法則モデルという豊かな体系が開発された。

人間や動物の集団における個体は、理想溶液中の分子とは異なり、均一に混ざり合うことはありません。疾患によっては、この不均一性が非常に大きいため、古典的なSIRモデルや、SISやSEIRといった単純な一般化モデルの計算結果が妥当でない場合があります。このような状況では、より高度なコンパートメントモデルや、分布型反応拡散モデルが有用となる可能性があります。