倍加時間

倍増時間とは、人口規模や価値が倍になるのにかかる時間のことです。これは、人口増加、インフレ、資源採掘、消費財、複利、悪性腫瘍の発生量など、時間とともに増加する傾向のある多くの事柄に適用されます。相対的な成長率（絶対的な成長率ではなく）が一定の場合、その量は指数関数的に増加し、倍増時間または倍増期間は一定になります。この倍増時間は、成長率から直接計算できます。

この時間は、2の自然対数を成長指数で割ることによって計算できます。または、70を成長率で割ることによって近似できます^{[ 1 ]}（より大まかですが、丸めれば72で割ります。この式の詳細と導出については、 72の法則を参照してください）。

倍加時間は指数関数的成長方程式の特性単位（自然な尺度単位）であり、指数関数的減衰の逆数は半減期である。

例えば、2022年のカナダの純人口増加率は2.7%で、72を2.7で割ると、人口が倍増するのに約27年かかることがわかります。したがって、この増加率が一定のままであれば、カナダの人口は2023年の約3900万人から2050年には約7800万人に倍増することになります。^{[ 2 ]}

倍増時間の概念は、バビロニアの数学における貸付金の利息に由来する。紀元前2000年頃の粘土板には、「月利1/60（複利なし）の場合、倍増時間はいくらか」という問題が含まれている。これは年利12/60 = 20%となり、したがって倍増時間は100%の成長/20%の成長/年 = 5年となる。^{[ 3 ] [ 4 ]}さらに、一定期間後に貸付金の元金の2倍を返済することは、当時の一般的な商業慣行であった。紀元前1900年のアッシリアの一般的な貸付は、金2ミナを貸し、5年後に4ミナを取り戻すというものであった^{[ 3 ]。}また、当時のエジプトのことわざは「富を利息のつく場所に置けば、倍になって戻ってくる」であった。^{[ 3 ] [ 5 ]}

成長率が倍増するまでの時間を調べることで、単に成長率を見るよりも、成長が長期的に及ぼす影響をより直感的に理解することができる。

時間t内で一定の成長率r % の場合、倍加時間T _dの式は次のようになります。

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {\ln(2)}{\ln(1+{\frac {r}{100}})}}}$

一般的な経験則は、x=0 のときの分母 ln(1+x) をテイラー級数展開することによって導き出すことができます。${\displaystyle \ln(1+x)\approx x}$さらに高次の項を無視すると（これは次の仮定に対応します）${\displaystyle r/100\ll 1}$（したがって、rが小さいほどより良い近似値となる）：

${\displaystyle T_{d}=t{\frac {\ln {2}}{\frac {r}{100}}}=t{\frac {100\ln {2}}{r}}}$

$\displaystyle \approx t{\frac {69.3}{r}}\approx t{\frac {70}{r}}$

この「70の法則」は、成長率が25%未満の場合は10%以内、60%未満の場合は20%以内の精度で倍増時間を正確に算出します。成長率が高くなるほど、この法則は倍増時間を過小評価する傾向が強くなります。

この表には、この式を用いて計算されたいくつかの倍加時間が示されている。

単純な倍加時間の公式：

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{t/T_{d}}}$

どこ

• N ( t ) = 時刻tにおけるオブジェクトの数
• Td = 倍加期間（対象物の数_が倍になるのにかかる時間）
• N ₀ = 初期オブジェクト数
• t = 時間

例えば、年間成長率が4.8%の場合、倍増期間は14.78年であり、倍増期間が10年というのは、7%から7.5%（実際には約7.18%）の成長率に相当する。

資源消費の継続的な増加にこれを当てはめると、1回の倍増期間における総消費量は、それ以前のすべての期間における総消費量に等しくなります。このことから、ジミー・カーター米大統領は1977年の演説で、過去20年間における世界の石油消費量は、それ以前のすべての期間における消費量よりも多かったと指摘しました（1950年から1970年にかけての世界の石油消費量はほぼ指数関数的に増加し、倍増期間は10年未満でした）。

増加する量の2つの測定値、時刻t _{1における}q ₁と時刻t _{2における}q ₂が与えられ、一定の成長率を仮定すると、倍加時間は次のように計算できます。

${\displaystyle T_{d}=(t_{2}-t_{1})\cdot {\frac {\ln(2)}{\ln({\frac {q_{2}}{q_{1}}})}}.}$

一定の負の相対成長率または指数関数的減衰を示す物質の倍加時間に相当する概念は半減期である。

eを基数とする同等の概念はeフォールディングです。

指数関数的増殖（太線）と指数関数的減衰（細線）の倍加時間と半減期、およびそれらの70/ tと72/ tの近似値を比較したグラフ。SVG版では、グラフにカーソルを合わせると、そのグラフとその補グラフが強調表示されます。

細胞倍加時間は、成長率（単位時間あたりの倍加回数）を用いて以下の方法で計算できます。

成長率：

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{rt}}$

または

${\displaystyle r={\frac {\ln \left(N(t)/N_{0}\right)}{t}}}$

どこ

• ${\displaystyle N(t)}$= 時刻tにおける細胞数
• ${\displaystyle N_{0}}$= 時刻 0 における細胞数
• ${\displaystyle r}$= 成長率
• ${\displaystyle t}$＝時間（通常は時間単位）

倍加時間：

$倍加時間 = 成長率$

以下は、各細胞の既知の倍加時間です。

• アルバート・アレン・バートレット
• 二進対数
• 電子折りたたみ
• 指数関数的減衰
• 指数関数的成長
• 人生の半分
• 相対成長率
• 72の法則

• 倍加時間計算機
• http://geography.about.com/od/populationgeography/a/populationgrow.htm 2006年8月28日にWayback Machineにアーカイブされました