サークルグループ

数学において、円群は、またはで表され、絶対値が1であるすべての複素数の乗法群、つまり複素平面上の単位円または単に単位複素数である^[1]。${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ $${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$$

円群は、すべての非ゼロ複素数の乗法群である⁠ ⁠の部分群を形成します。 はアーベルなので、も同様にアーベルである ことがわかります。${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

円群の単位複素数は、原点を中心とした複素平面の回転を表し、角度の測度によってパラメータ 化できます 。${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

これは円群の 指数写像です。

円群はポントリャーギン双対性とリー群の理論において中心的な役割を果たします。

円群の表記は、標準位相（下記参照）では円群が 1-トーラスであるという事実に由来します。より一般的には、（と 自身の直積）は幾何学的には- トーラスです。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

円群は特殊直交群⁠ ⁠と同型です。 ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

円群について考える 1 つの方法は、角度 を加える方法を記述するものであり、0° から 360° までの角度または または のみが許可されます。たとえば、図は 150° に 270° を加える方法を示しています。答えは150° + 270° = 420°ですが、円群の観点から考えると、円を 1 周したという事実を「忘れる」可能性があります。したがって、答えを 360° 調整して、420° ≡ 60° ( mod 360° ) になります。 ${\displaystyle \in [0,2\pi )}$${\displaystyle \in (-\pi ,+\pi ]}$

もう 1 つの説明は、通常の (実数の) 加算の観点からであり、0 から 1 の間の数字のみが許可されます (1 は完全な回転に対応します: 360° または⁠ ⁠${\displaystyle 2\pi }$ )、つまり、実数を整数で割ったもの: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$。これは、小数点の前にある数字を捨てることで実現できます。たとえば、0.4166... + 0.75 を計算する場合、答えは 1.1666... ですが、先頭の 1 を捨てることができるため、答え (円グループ内) は   ⁠ ⁠   のため、0.166... がいくらか優先されます。 ${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle 0.1{\bar {6}}\in [0,1)}$

円群は単なる抽象的な代数的対象ではありません。複素平面の部分空間として見なすと、自然な位相を持ちます。乗算と反転は⁠ ⁠上の連続関数なので、円群は位相群の構造を持ちます。さらに、単位円は複素平面の閉部分集合なので、円群は(それ自体が位相群とみなされる) の閉部分群です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$

さらに言うと、円は 1 次元の実多様体であり、乗法と反転は円上の実解析写像です。これにより、円群は1 パラメータ群の構造、つまりリー群のインスタンスになります。実際、同型性を除いて、これは唯一の 1 次元コンパクトで連結なリー群です。さらに、すべての次元コンパクトで連結なアーベル リー群は⁠ ⁠と同型です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

円群は数学において様々な形で現れる。ここでは、より一般的な形のいくつかを挙げる。具体的には、 $${\displaystyle \mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).}$$

ここでスラッシュ (/) は商群を表すことに注意してください。

すべての 1×1ユニタリ行列の集合は明らかに円群と一致します。ユニタリ条件は、その要素の絶対値が 1 であるという条件に相当します。したがって、円群は最初のユニタリ群である⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$と標準同型です。

指数関数は、加法的な実数から円群への写像を介して 群準同型 を生じさせる。${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$$${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

最後の等式はオイラーの公式または複素指数です。実数 θ は、正のx軸から反時計回りに測った単位円上の角度 (ラジアン単位) に対応します 。この写像が準同型であることは、単位複素数の乗算が角度の加算に対応するという事実からわかります。 $${\displaystyle e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.}$$

この指数写像は明らかに ⁠ ⁠ から ⁠ ⁠ への全射関数です。しかし、単射ではありません。この写像の核は⁠ ⁠のすべての整数倍の集合です。第一同型定理により、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$$

再スケール後、 は⁠ ⁠と同型であるとも言えます。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

複素数が2×2実行行列として実現される場合（複素数を参照）、単位複素数は単位行列式を持つ2×2直交行列に対応する。具体的には、 $${\displaystyle e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).}$$

この関数は、 が行列の乗算である ため、 円群が特殊直交群と同型であることを示しています。 ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$$${\displaystyle f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),}$$${\displaystyle \times }$

この同型性は、単位複素数による乗算が複素数（および実数）平面における適切な回転であり、そのような回転はすべてこの形式であるという幾何学的解釈を持ちます。

次元が 0 より大きいコンパクト リー群には、円群と同型な部分群があります。これは、対称性の観点から考えると、連続的に作用するコンパクト対称群には、1 パラメータの円部分群が作用すると予想されることを意味します。物理システムにおける結果は、たとえば、回転不変性や自発的な対称性の破れで見られます。 ${\displaystyle \mathrm {G} }$

円群には多くの部分群がありますが、その唯一の適切な閉部分群は1 の根で構成されます。各整数⁠ ⁠${\displaystyle n>0}$に対して、⁠ の 1 の根は、同型を除いて一意である⁠ ⁠の順序 ⁠ ⁠の巡回群を形成します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

実数があらゆる自然数⁠ ⁠に対してb進有理数の完備化であるのと同様に、円群は⁠ ⁠に対するプリューファー群の完備化であり、直接極限⁠ ⁠によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z} }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

円群の表現は簡単に記述できます。シューアの補題から、アーベル群の 既約 複素表現はすべて 1 次元であることがわかります。円群はコンパクトであるため、任意の表現は⁠ ⁠ 内の値をとる必要があります。したがって、円群の既約表現は、円群からそれ自身への 準同型写像にすぎません。$${\displaystyle \rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }}$$${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T} }$

各整数に対して、⁠ ⁠による円群の表現を定義できます。これらの表現はすべて同値ではありません。この表現は⁠ ⁠と共役です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{n}}$${\displaystyle \phi _{n}(z)=z^{n}}$${\displaystyle \phi _{-n}}$${\displaystyle \phi _{n}}$$${\displaystyle \phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.}$$

これらの表現は円群の指標にすぎません。の指標群は明らかに⁠ ⁠によって生成される無限巡回群です。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \phi _{1}}$$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}$$

円群の既約な実表現は、自明な表現（1次元）と ⁠ ⁠ に値を取る表現です。ここでは、表現が⁠ ⁠と同等であるため、正の整数⁠ ⁠のみを持ちます。 $${\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},}$$${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \rho _{-n}}$${\displaystyle \rho _{n}}$

円群は可分群である。その捩れ部分群は、すべての に対するの-乗根全体の集合によって与えられ、 ⁠ ⁠と同型である。可分群の構造定理と選択公理を合わせると、 は⁠ ⁠のコピー数を持つ の直和と同型であることが分かる。^[2]${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

直和の濃度が正しいためには、 のコピーの数は(連続体の濃度)でなければなりません。しかし、のコピーの直和は⁠ ⁠と同型であり、⁠ ⁠上の次元のベクトル空間も同様です。したがって、 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$$

同型性も 同様の方法で証明できます。なぜなら は、その捩れ部分群が⁠ ⁠の捩れ部分群と同じである可分アーベル群でもあるからです。 $${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

• 単位円上の有理点群
• 1パラメータサブグループ
• n球
• 直交群
• 位相係数（量子力学への応用）
• 回転数
• ソレノイド

• ジェームズ、ロバート C.; ジェームズ、グレン (1992)。数学辞典 (第 5 版)。チャップマン & ホール。ISBN 9780412990410。

• Hua Luogeng (1981)単位円から始める、Springer Verlag、ISBN 0-387-90589-8。 

• 同相写像と円上の群構造